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专题 6-3 数列求和
目录
.....................................................................................1
题型一：倒序相加法................................................................................................................................1
（1）求证：点P的纵坐标是定值；......................................................................................................3
（2）Sm＝a＋a＋a＋…＋am..............................................................................................................4
1 2 3
题型二：分组求和法................................................................................................................................6
(2)3332.......................................................................................................................................................7
(2)6.............................................................................................................................................................9
题型三：裂项相消法..............................................................................................................................11
(3)证明见解析.........................................................................................................................................14
题型四：错位相减法..............................................................................................................................21
(2)证明见解析.........................................................................................................................................22
题型五：奇偶项分类讨论......................................................................................................................28
题型六：插入新数列求和......................................................................................................................37
(2)142.......................................................................................................................................................39
................................................................44
题型一：倒序相加法
【典例分析】
例题1．（2021·江苏·高二专题练习）设函数 ，设 ，
．
（1）求数列 的通项公式．
例题2．（2021·全国·高二课时练习）设奇函数 对任意 都有求 和 的值；
数列 满足： ，数列 是等差
数列吗？请给予证明；
【提分秘籍】
倒序相加法，即如果一个数列的前 项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则
可使用倒序相加法求数列的前 项和.
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知f(x)＝ (x∈R)，P(x，y)，P(x，y)是函数y＝
1 1 1 2 2 2
f(x)的图像上的两点，且线段PP 的中点P的横坐标是 .
1 2
（1）求证：点P的纵坐标是定值；
（2）若数列{an}的通项公式是an＝ ，求数列{an}的前m项
和Sm.
2．（2021·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和 ，函数
对一切实数 总有 ，数列 满足
分别求数列 、 的通项公式.3．（2021·江苏·高二专题练习）设函数 ，设 ，
．
（1）计算 的值．
（2）求数列 的通项公式．
题型二：分组求和法
【典例分析】
例题1．（2022·新疆和静高级中学高二阶段练习）（1）已知等差数列 满足
， ，数列 满足 ， .求 ， 的通项公式；
（2）在数列 中， ， ，
①求证： 是等比数列；
②求数列 的前 项和 .
例题2．（2022·上海市甘泉外国语中学高一期末）在等差数列 中， ，前12项的和 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 为以1为首项，3为公比的等比数列，求数列 前8项的和.
例题3．（2022·山西运城·高二阶段练习）已知数列 的前 项和为 ， ，
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
【提分秘籍】
1如果一个数列可写成 的形式，而数列 ， 是等差数列或等比数列或
可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.
2如果一个数列可写成 的形式，在求和时可以使用分组求和法.
【变式演练】
1．（2022·上海虹口·一模）在等差数列 中， ，且 ， ， 构成等比数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，记 为数列 的前 项和，若 ，求正整数 的最小值．
2．（2022·全国·高三专题练习）给定数列 ，若满足 ，对于任意的，都有 ，则称 为“指数型数列”.若数列 满足：
；
(1)判断 是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
3．（2022·福建泉州·高三开学考试）已知数列 各项均为正数，且
．
(1)求 的通项公式
(2)设 ，求
题型三：裂项相消法
【典例分析】例题1．（2022·浙江·慈溪中学高二阶段练习）已知数列 为等差数列，
.
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求 的前 项和 .
例题2．（2022·福建·高三阶段练习）从① ；② ；③
三个选项中，任选一个填入下列空白处，并求解.已知数列 ， 满足 ，
且 ， ，______，求数列 的前 项和 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
例题3．（2022·山东·日照市教育科学研究中心高三期中）已知等差数列 ，分别从
下表第一、二、三行中各取一个数，依次作为 ， ， ，且 ， ， 中任何两个数
都不在同一列．公比大于1的等比数列 的前三项恰为数列 前5项中的三个项．第一列 第二列 第三列
第一行 8 0 2
第二行 7 4 3
第三行 9 12 4
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
例题4．（2022·天津·南开中学高三阶段练习）记 是公差不为0的等差数列 的前
项和，已知 ， ，数列 满足 ，且 .
(1)求 的通项公式，并证明数列 是等比数列；
(2)若数列 满足 ，求 的前 项和的最大值、最小值.
(3)求证：对于任意正整数 ， .
【提分秘籍】
常见的裂项技巧
类型一：等差型
1 1 1 1
① = ( − )
n(n+k) k n n+k1 1 1 1 1 1
特别注意 k=1, = − ;k=−1, = −
n(n+1) n n+1 n(n−1) n−1 n
②
1 1 1 1 1
如： = ( − )（尤其要注意不能丢前边的 ）
4n2 −1 2 2n−1 2n+1 2
类型二：无理型
1 1
① = (√n+k−√n)
√n+k+√n k
如：
类型三：指数型
①
如：
类型四：通项裂项为“ ”型
如：①
②
本类模型典型标志在通项中含有 乘以一个分式.
【变式演练】
1．（2022·江苏·高三阶段练习）已知 为正项数列 的前n项的乘积，且
．
(1)求 的通项公式；(2)若 ，求证： ．
2．（2022·福建省永泰县第二中学高三期中）已知正项数列 的前 项和为 ，且 和
满足： .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ， 的前 项和为 ，若对任意 ， 都成立，求整数 的最
大值.
3．（2022·陕西·高三期中（文））已知正项数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)证明： .
4．（2022·河北唐山·高三阶段练习）设正项数列 的前n项和为 ，且
．
(1)求 的通项公式；
(2)若 是首项为5，公差为2的等差数列，求数列 的前n项和 ．题型四：错位相减法
【典例分析】
例题1．（2022·辽宁·本溪高中高三阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且
， ．
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)求证：数列 是等差数列；
(3)求数列 的前 项和 ．
例题2．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））己知数列 的前 项和为 ，
且 ，________________．请在① ；② ， ， 成等比数列；
③ ，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．
(1)求数列 的通项公式；(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
例题3．（2022·福建·莆田第六中学高二阶段练习）已知数列 满足 且
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，求 的前 项和为 .
【提分秘籍】
错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构
成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求.q倍错位相减法：若数列{c
n
}的通项公式
，其中{a }、{b }中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已
n n
知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相
减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q倍错位相减法．
温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合.
2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留.
【变式演练】
1．（2022·山东·利津县高级中学高三阶段练习）数列 是各项均为正数的等比数列，且
， ， ，
(1)求数列 的通项公式，并证明数列 是等差数列；(2)令 ，求数列 的前 项和 .
2．（2022·广东·广州思源学校高二期中）已知等差数列 满足， ，且 ，
， 成等比数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 的通项公式为 ，求数列 的前 项和．
3．（2022·湖南省桃源县第一中学高三期中）已知 为等差数列，前 项和为
， 是首项为3且公比 大于0的等比数列， ， ， .
(1)求 和 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
题型五：奇偶项分类讨论
【典例分析】
例题1．（2022·福建·厦门一中高二阶段练习）数列 的前 项和为 ，数列 的前 项积为 ，且 ．
(1)求 和 的通项公式；
(2)若 ，求 的前 项和 ．
例题2．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知数列 满足 .
(1)请在集合 中任取一个元素作为 的值，求数列 的通项公式；
(2)①若第（1）问取 ，令 ，求数列 的前 项和 ．
②若第（1）问取 ，求数列 的前 项和 ．
注：如果同时选择 的两个取值分别解答，按第一个解答计分．
例题3．（2022·广东茂名·模拟预测）设数列 的首项 ， ．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和
【提分秘籍】
类型一：
通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如：角度1：求 的前 项和
角度2：求 的前 项和
类型二：
通项含有 的类型；例如：
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的各项均为正数的等比数列， ，
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
2．（2022·湖南师大附中高二期中）已知数列 的首项 ，且满足 ．
(1)求证：数列 为等比数列；(2)设数列 满足 求最小的实数m，使得
对一切正整数k均成立．
3．（2022·山东·青岛二中高二阶段练习）已知数列 的前 项和为 ， ，
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
4．（2022·福建·莆田华侨中学模拟预测）已知数列 满足 .
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)当n为偶数时，求数列 的前n项和 .
题型六：插入新数列求和
【典例分析】
例题1．（2022·湖北武汉·高二期末）已知 是递增的等比数列，且 ，．
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列
中是否存在 项 （其中 成等差数列）成等比数列.若存在，求出这样的
项；若不存在，请说明理由．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）设数列 的前 项和为 ， ， ，
.
(1)证明： 为等差数列；
(2)设 ，在 和 之间插入 个数，使这 个数构成公差为 的等差数列，求
的前 项和.
例题3．（2022·江苏·常熟中学高二期中）已知数列 的前 项和为 ，
(1)求 的通项公式：
(2)保持数列 中各项先后顺序不变，在 与 之间插入 个1，使它们和
原数列的项构成一个新的数列 ，记 的前 项和为 ，求 的值.
例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ，且满足
.(1)求 的通项公式；
(2)在 和 中插入 个相同的数 ，构成一个新数列 ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ，求 的前 项和 ．
【变式演练】
1．（2022·福建泉州·高三阶段练习）已知公差不为0的等差数列 中， ， 是
和 的等比中项.
(1)求数列 的通项公式：
(2)保持数列 中各项先后顺序不变，在 与 之间插入 ，使它们和原数
列的项构成一个新的数列 ，记 的前 项和为 ，求 的值.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列 的前 项和为 ，
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 和 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列
中是否存在 项 （其中 是公差不为 的等差数列）成等比数列？若存在，求出
这 项；若不存在，请说明理由．
3．（2022·福建福州·高三期中）已知公差不为0的等差数列 中， ， 是 和的等比中项.
(1)求数列 的通项公式：
(2)保持数列 中各项先后顺序不变，在 与 之间插入 ，使它们和原数
列的项构成一个新的数列 ，记 的前n项和为 ，求 的值.
4．（2022·云南·高三阶段练习）已知等差数列 满足 ，设 .
(1)求 的通项公式，并证明数列 为等比数列；
(2)将 插入 中， 插入 中， 插入 中， ，依此规律得到新数列
，求该数列前20项的和.
1．（2022·四川自贡·一模（理））等比数列 的各项均为正数，且 ，
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，若数列为 的前n项和 ，比较 与 的大小.2．（2022·四川省遂宁市第二中学校模拟预测（文））已知数列 ， 满足
，且 ．
(1)若数列 为等比数列，公比为q， ，求 的通项公式；
(2)若数列 为等差数列， ，求 的前n项和 ．
3．（2022·全国·模拟预测）已知正项数列 的前n项和为 ，且满足 ，
.
(1)证明：数列 为等差数列，并求数列 的通项公式；
(2)记 ，若数列 的前m项和 ，求m的值.
4．（2022·陕西渭南·一模（文））已知等差数列 的前 项和为 ，不等式
的解集为 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .5．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）已知等比数列 的公比 ，且
， 是 ， 的等差中项，数列 满足：数列 的前 项和为
.
(1)求数列 、 的通项公式；
(2)若 ， ，求数列 的前 项和 .
6．（2022·浙江·三门县观澜中学模拟预测）已知数列 满足 ，
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 满足： ， 的前 项和为 ，求证： .
7．（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校模拟预测（文））已知数列 的前 项和 满
足 ．
(1)求 ，并证明数列 为等比数列；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．8．（2022·四川雅安·模拟预测（理））给出以下条件：① ， ， 成等比数列；
② ， ， 成等比数列；③ 是 与 的等差中项．从中任选一个，补充在下面
的横线上，再解答．
已知单调递增的等差数列 的前n项和为 ，且 ，______．
(1)求 的通项公式；
(2)令 是以2为首项，2为公比的等比数列，数列 的前n项和为 ．若 ，
，求实数 的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
9．（2022·江苏·盐城市第一中学模拟预测）已知数列 是公比为 的等比数列，前 项
和为 ，且满足 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．10．（2022·湖北·黄石市有色第一中学模拟预测）已知等差数列 前 项和为 （
），数列 是等比数列， ， ， ， .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)若 ，设数列 的前 项和为 ，求 .
11．（2022·河南河南·模拟预测（理））设等差数列 的前 项和为 ，已知
.
(1)求数列 的通项公式;
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
12．（2022·江西九江·三模（理））已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，
.
(1)求 ；
(2)求数列 的前 项和.13．（2022·山东聊城·三模）设数列 的前n项和为 ，且满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前15项的和.
14．（2022·浙江·湖州市菱湖中学模拟预测）已知递增数列 的前 项和为 ，且
，数列 满足 ，
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)记 ，数列 的前 项和为 ，若不等式 对
一切 恒成立，求 的取值范围．
15．（2022·全国·模拟预测）在数列 中， ， ，且对任意的 ，都有
.
(1)证明： 是等比数列，并求出 的通项公式；(2)若 ，求数列 的前 项和 .
16．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且
， ，数列 满足 ，其中 .
(1)分别求数列 和 的通项公式；
(2)在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，求数列
的前 项和
17．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）已知数列 中，满足
对任意 都成立，数列 的前n项和为 ．
(1)若 是等差数列，求k的值；
(2)若 ，且 是等比数列，求k的值，并求 ．
