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高中数学二轮复习讲义——选填题部分
第 1 讲 基本初等函数
从近三年高考情况来看，本节内容是高考中的热点内容，常以基本初等函数为载体，以绝对值或分
段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零
点）、不等式的解法等.
题型一、基本初等函数的图像问题
1．在同一平面直角坐标系中，函数 ， ( 1)（ 且 ）的部分图象可能
f (x)=xa(x>0) g(x)=log x+ a>0 a≠1
1 2
a
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当a＞1时，幂函数 在 递增且过 ，由 1 ，得 ( 1)（
f (x)=xa (0,+∞) (0,0) 0< <1 g(x)=log x+ a>0
a 1 2
a
且a≠1）在 ( − 1 ,+∞ ) 递减函数，且g(0)=log 1 >0；
2 1 2
a
当0＜a＜1，幂函数 在 是递增且过 ，由1 ，得 ( 1)（ 且 ）
f (x)=xa (0,+∞) (0,0) >1 g(x)=log x+ a>0 a≠1
a 1 2
a
在 ( − 1 ,+∞ ) 是递增函数，且g(0)=log 1 <0 .
2 1 2
a
当x→+∞时，幂函数f (x)=xa在a＞1时比在0＜a＜1增长的快.故选：A
1
2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2−x，则不等式f(x)<－ 的解集是_______．
2
【答案】(－∞，－1)
【详解】∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.
当x<0时，－x>0,f(x)＝－f(－x)＝－(1－2x)＝2x－1.
1 1 3
当x>0时，由1－2−x<－ ，( )x> ，得x∈∅；
2 2 2
1
当x＝0时，f(0)＝0<－ 不成立；
2
1 1
当x<0时，由2x－1<－ ，2x< ，得x<－1.
2 2
综上可知x∈(－∞，－1)．
3．已知函数f (x)=x2+ex−1(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是
（ ）
A．( 1 ) B． C． D．
−∞, (−∞,√e) (−∞,1) (1,√e)
√e
【答案】C
【详解】f (x)=x2+ex−1(x<0)关于y轴对称的函数为：
，
f(−x)=x2+e−x−1(x>0)
函数f (x)=x2+ex−1(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)图象上存在关于y轴对称的点，
即f(−x)=g(x)有解，
即 ，整理的： ，
x2+e−x−1=x2+ln(x+a) e−x−1=ln(x+a)
y=e−x−1和y=ln(x+a)的图像存在交点，如图：临界值在x=0处取到（虚取），此时a=1，
故当a<1时y=e−x−1和y=ln(x+a)的图像存在交点，
故选：C.
4．设函数 1 x， 1 x 的零点分别为 ，则（ ）
f (x)=log x−( ) f (x)=log x−( ) x ,x
1 2 2 2 1 2 1 2
2
A．0<x x <1 B．x x =1 C．1<x x <2 D．x x ≥2
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】A
【详解】令 得： 1 x，令 得： 1 x ，
f (x)=0 log2x=( ) f (x)=0 log x=( )
1 2 2 1 2
2
分别画出左右两边函数的图象，如图所示．
由指数与对数函数的图象知：x >1>x >0，
1 2
于是有 logx 1=( 1 ) x 1 <( 1 ) x 2 =logx 2=logx 1 2 ，得 x < 1 ，
2 2 2 1 2 1 x
2 2
故选：A．
题型二、比较大小
1
1．已知x＝lnπ，y＝log 2，z= ，则（ ）
5
√e
A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x
【答案】D．
1 1 1 1
【解答】解：∵x＝lnπ＞1，y＝log 2＜log √5= ，1＞z= ＞ = ，
5 5 2 √e √4 2
∴y＜z＜x，
故选：D．
2．已知a＝log 6，b＝log 10，c＝log 14，则a，b，c的大小关系是（ ）
3 5 7A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c
【答案】B．
【解答】解：a＝log 6＝1+log 2，b＝log 10＝1+log 2，c＝log 14＝1+log 2，
3 3 5 5 7 7
而log 2＞log 2＞log 2，
3 5 7
∴c＜b＜a．
故选：B．
(12) 13
3．已知a=log 13 ,b= 14，c=log 14，则a,b,c的大小关系为（ ）
12 13 13
A．a>b>c B．c>a>b C．b>c>a D．a>c>b
【答案】D
(12) 13
【详解】根据指数函数的图像与性质可知0<b= 14<1，
13
由对数函数的图像与性质可知a=log 13>1，c=log 14>1，所以b最小；
12 13
lg13 lg14 lg213−lg12⋅lg14
而由对数换底公式化简可得a−c=log 13−log 14= − =
12 13 lg12 lg13 lg12⋅lg13
2
由基本不等式可知 [1 ] ，代入上式可得
lg12⋅lg14< (lg12+lg14)
2
2
[1 ]
lg213− (lg12+lg14)
lg213−lg12⋅lg14 2
>
lg12⋅lg13 lg12⋅lg13
lg213− (1 lg168 ) 2 ( lg13+ 1 lg168 ) ⋅ ( lg13− 1 lg168 )
2 2 2 (lg13+lg√168)⋅(lg13−lg√168)
= = = >0
lg12⋅lg13 lg12⋅lg13 lg12⋅lg13
所以a>c，
综上可知a>c>b，
故选：D.
2 e2
4．设a=2√e，b= ，c= ，则（ ）
ln2 4−ln4
A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a
【答案】D．e2 e2
x √e c= =f( )
【解答】解：设f(x)= ，则a= =f(√e)，b＝f（2）， e2 2 ．
lnx ln√e ln( ) 2
2
lnx−1
因为f '(x)= ，所以当1＜x＜e时，f'（x）＜0；当x＞e时，f'（x）＞0．
(lnx) 2
所以f（x）在（1，e）单调递减，在（e，+∞）单调递增．
e2
因为f（2）＝f（4），且1＜√e＜2＜e＜ ＜4，
2
e2
所以f(√e)＞f(2)=f(4)＞f( )，即a＞b＞c．
2
故选：D．
5．设x、y、z为正数，且2x＝3y＝5z，则（ ）
A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z
【答案】B．
【解答】x、y、z为正数，
lgk lgk lgk
令2x＝3y＝5z＝k＞1．lgk＞0．则x= ，y= ，z= ．
lg2 lg3 lg5
lgk lgk lgk
∴3y = ，2x= ，5z = ．
lg√33 lg√2 lg√55
∵√33=√6 9＞√6 8=√2，√2=1√032＞ 1√025=√55．
∴ lg 0．
lg√33＞ √2＞lg√55＞
∴3y＜2x＜5z．
故选：D．
1
6．设a＝0.1e0.1，b= ，c＝﹣ln0.9，则（ ）
9
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b
【答案】C．
1 1 1
【解答】解：构造函数f（x）＝lnx+ ，x＞0，则f'（x）= − ，x＞0，
x x x2
当f'（x）＝0时，x＝1，
0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）在x＝1处取最小值f（1）＝1，1
∴lnx＞1− ，
x
1 1 1
∴ln0.9＞1− =− ，∴﹣ln0.9＜ ，∴c＜b；
0.9 9 9
10 9 1 10
∵﹣ln0.9＝ln ＞1− = ，∴ ＞e0.1，
9 10 10 9
1
∴0.1e0.1＜ ，∴a＜b；
9
1
(x2−1)ex+1
设g（x）＝xex+ln（1﹣x）（0＜x＜1），则g'(x)=(x+1)ex+ = ，
x−1 x−1
令h（x）＝ex（x2﹣1）+1，h′（x）＝ex（x2+2x﹣1），
当0＜x＜√2−1时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，
当√2−1＜x＜1时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，
∵h（0）＝0，∴当0＜x＜√2−1时，h（x）＜0，
当0＜x＜√2−1时，g′（x）＞0，g（x）＝xex+ln（1﹣x）单调递增，
∴g（0.1）＞g（0）＝0，∴0.1e0.1＞﹣ln0.9，∴a＞c，
∴c＜a＜b．
故选：C．
题型三、复合函数的单调性与值域
1．若函数y＝log （x2﹣ax+1）有最小值，则a的取值范围是（ ）
a
A．0＜a＜1 B．0＜a＜2，a≠1 C．1＜a＜2 D．a≥2
【答案】C．
【解答】解：令g（x）＝x2﹣ax+1（a＞0，且a≠1），g（x）开口向上；
①当a＞1时，g（x）在R上恒为正；
∴△＝a2﹣4＜0，解得1＜a＜2；
②当0＜a＜1时，x2﹣ax+1没有最大值，从而不能使得函数y＝log （x2﹣ax+1）有最小值，不符合题意．
a
综上所述：1＜a＜2；
故选：C．
2．若函数f（x）=log （﹣x2+4x+5）在区间（3m﹣2，m+2）内单调递增，则实数m的取值为（ ）
1
2
4 4 4 4
A．[ ，3] B．[ ，2] C．[ ，2） D．[ ，+∞）
3 3 3 3【答案】C．
【解答】解：先保证对数有意义﹣x2+4x+5＞0，解得﹣1＜x＜5，
4
又可得二次函数y＝﹣x2+4x+5的对称轴为x=− =2，
2×(−1)
由复合函数单调性可得函数f（x）=log （﹣x2+4x+5）的单调递增区间为（2，5），
1
2
要使函数f（x）=log （﹣x2+4x+5）在区间（3m﹣2，m+2）内单调递增，
1
2
{ 3m−2≥2
4
只需 m+2≤5 ，解关于m的不等式组得 ≤m＜2，
3
3m−2＜m+2
故选：C．
3．已知函数f（x）＝lg（x2﹣2x﹣3）在（a，+∞）单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，2] C．[5，+∞） D．[3，+∞）
【答案】D．
【解答】解：∵函数f（x）＝lg（x2﹣2x﹣3）在（a，+∞）单调递增，
∴t＝x2﹣2x﹣3在（a，+∞）大于零且单调递增，
∴1≤a，且a2﹣2a﹣3≥0，求得a≥3，
故选：D．
4．若函数y=a2x+2ax−1(a>0且a≠1)在x∈[−1,1]上的最大值为14，求a的值.
1
【答案】3或
3
【详解】解：令ax=t，∴t>0，
则 ，其对称轴为 .
y=t2+2t−1=(t+1) 2−2 t=−1
该二次函数在[−1,+∞)上是增函数.
①若a>1，∵x∈[−1,1]，∴t=ax∈ (1 ,a ) ，
a
故当t=a，即x=1时，
，解得 ( 舍去).
y =a2+2a−1=14 a=3 a=−5
max
②若0<a<1，∵x∈[−1,1]，
∴t=ax∈ ( a, 1) ，故当t= 1 ，即x=−1时，y = (1 +1 ) 2 −2=14.
a a max a1 1
∴a= 或− (舍去).
3 5
1
综上可得a=3或 .
3
1+x
5．函数f(x)=ln ，则下列关于函数f（x）的说法正确的是（ ）
1−x
A．函数f（x）在区间（﹣1，1）上是减函数
B．值域为（﹣∞，+∞）
C．图象关于原点对称
D．有反函数
【答案】BCD．
1+x 1+x
【解答】解：因为函数f(x)=ln ，所以 ＞0，解得﹣1＜x＜1，
1−x 1−x
故f（x）的定义域为（﹣1，1），
1+x 2
因为函数f(x)=ln =ln（﹣1+ ），
1−x 1−x
2
因为函数y= 在（﹣1，1）上是增函数，y＝lnx是增函数，
1−x
1+x 2
由复合函数的单调性可知函数f(x)=ln =ln（﹣1+ ）为增函数，故A错误；
1−x 1−x
2 2
因为x∈（﹣1，1），所以1﹣x∈（0，2），则 ∈（1，+∞），﹣1+ ∈（0，+∞），
1−x 1−x
2
所以ln（﹣1+ ）∈（﹣∞，+∞），即f（x）的值域为（﹣∞，+∞），故B正确；
1−x
1−x 1+x 1+x
f（﹣x）＝ln =ln( ) −1=−ln =−f（x），
1+x 1−x 1−x
所以函数f（x）为奇函数，故图象关于原点对称，故C正确；
y＝ln1+x，ey 1+x，x ey−1，互换x，y的位置，可得y ex−1，
= = =
1−x 1−x ey+1 ex+1
即f（x）的反函数为y ex−1，故D正确．
=
ex+1
故选：BCD．题型四、指、对运算
1
1．已知函数f（x）满足：x≥4，则f（x）=( ) x；当x＜4时f（x）＝f（x+1），则f（2+log 2 3）＝（ ）
2
1 1 1 3
A． B． C． D．
24 12 8 8
【答案】A．
【解答】解：∵3＜2+log 3＜4，所以f（2+log 3）＝f（3+log 3），且3+log 3＞4
2 2 2 2
1
∴f（2+log 3）＝f（3+log 3） 1 1 1 1 1 log 1 1 1
2 2 =( ) 3+log 2 3= ×( ) log 2 3= ×( ) 1 2 3= × =
2 8 2 8 2 8 3 24
故选：A．
2．设a＝log 0.3，b＝log 0.3，则（ ）
0.2 2
A．a+b＜ab＜0 B．ab＜a+b＜0 C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b
【答案】B．
lg0.3 lg0.3
【解答】解：∵a＝log 0.3= ，b＝log 0.3= ，
0.2 2
−lg5 lg2
5 10
lg0.3lg lg0.3⋅lg
∴ lg0.3 lg0.3 lg0.3(lg5−lg2) 2， lg0.3 lg0.3 3 ，
a+b= − = = ab=− ⋅ =
lg2 lg5 lg2lg5 lg2lg5 lg2 lg5 lg2lg5
10 5 lg0.3
∵lg ＞lg ， ＜0，
3 2 lg2lg5
∴ab＜a+b＜0．
故选：B．
3．若2a+log a＝4b+2log b，则（ ）
2 4
A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2 D．a＜b2
【答案】B．
【解答】解：因为2a+log a＝4b+2log b＝22b+log b；
2 4 2
因为22b+log b＜22b+log 2b＝22b+log b+1即2a+log a＜22b+log 2b；
2 2 2 2 2
令f（x）＝2x+log x，由指对数函数的单调性可得f（x）在（0，+∞）内单调递增；
2
且f（a）＜f（2b） a＜2b；
故选：B． ⇒
4．已知55＜84，134＜85．设a＝log 3，b＝log 5，c＝log 8，则（ ）
5 8 13
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【答案】A．
3 3
【解答】解：由 log 5= log 8，
4 5 4 8
3 3
∵ ，而
log 54＞log 3 log 84＜log 5
5 5 8 8
∴log 3＜log 5，即a＜b；
5 8
∵55＜84，∴5＜4log 8，∴log 8＞1.25，∴b＝log 5＜0.8；
5 5 8
∵134＜85，∴4＜5log 8，∴c＝log 8＞0.8，∴c＞b，
13 13
综上，c＞b＞a．
故选：A．
5
5．已知a＞b＞1，若log b+log a= ，ab＝ba，则a＝ ，b＝ ．
a b
2
【答案】4；2．
【解答】解：设t＝log a，由a＞b＞1知t＞1，
b
5 1 5
代入log b+log a= 得t+ = ，
a b
2 t 2
1
即2t2﹣5t+2＝0，解得t＝2或t= （舍去），
2
所以log a＝2，即a＝b2，
b
因为ab＝ba，所以b2b＝ba，则a＝2b＝b2，
解得b＝2，a＝4，
故答案为：4；2．
题型五、数学文化及新定义
1．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记
录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝4+lgV．已知某同学视力的五分记录法的
数据为3.9，则其视力的小数记录法的数据约为（ ）（1√010≈1.259）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【答案】C．
【解答】解：∵L＝4+lgV，某同学视力的五分记录法的数据为3.9，
1 1 1
∴lgV＝0.1，即lg = ，解得V = ≈0.8．
V 10 1√010
故选：C．2．有学者根据公布数据建立了某地新冠肺炎累计确诊病例数 R（t）（t的单位：天）的Logistic模型：R
K 1
（t）= ，其中K为最大确诊病例数，N为非零常数，当R（t*）= K时，标志着疫情初步得到
1+eN(t−50) 2
控制，则此时t*约为（ ）
A．50 B．53 C．60 D．66
【答案】A．
K 1
【解答】解：∵R（t）= ，R（t*）= K，
1+eN(t−50) 2
K 1
∴ = K，整理得eN(t∗−50)=1，
1+eN(t∗−50) 2
∴N（t*﹣50）＝0，
又∵N为非零常数，
∴t*＝50，
故选：A．
3．某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过 1%．已知过滤过程中的污
染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：时）之间的函数关系为 （k为正常
P=P ⋅e−kt
0
数，P 为原污染物数量）．该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了90%，那么
0
要按规定排放废气，至少还需要过滤（ ）
A．10小时 B．4小时 C．2小时 D．少于1小时
【答案】B．
【解答】解：∵前4个小时废气中的污染物被过滤掉了90%，
又∵过滤过程中的污染物的残留数量 P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：时）之间的函数关系为
（k为正常数，P 为原污染物数量），
P=P ⋅e−kt 0
0
1
∴（1﹣90%）P =P e−4k，即0.1＝e﹣4k，解得k=− ln0.1，
0 0 4
∵规定排放时污染物的残留含量不得超过1%，
1 t ln0.1 t 4ln0.01
∴ P =P ⋅e4 ，即 ln0.1=ln0.01，解得t = =8，
100 0 0 4 ln0.1
∴要按规定排放废气，至少还需要过滤8﹣4＝4小时．
故选：B．4．2021年3月20日，“沉睡三千年，一醒惊天下”的三星堆遗址向世人展示了其重大考古新发现﹣﹣6
个三星堆文化“祭祀坑”现已出土500余件重要文物．为推测文物年代，考古学者通常用碳14测年法推算，
碳14测年法是根据碳14的衰变程度来计算出样品的大概年代的一种测量方法.2021年，考古专家对某次考
古的文物样本上提取的遗存材料进行碳14年代测定，检测出碳14的残留量约为初始量的68%，已知碳14
的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间）是5730年，以此推算出该文物大致年代是（ ）（参
考数据：log❑ 10≈﹣19034.7，log❑ 68≈﹣34881）
5730√0.5 5730√0.5
A．公元前1400年到公元前1300年 B．公元前1300年到公元前1200年
C．公元前1200年到公元前1100年 D．公元前1100年到公元前1000年
【答案】C．
【解答】解：设样本中碳14初始值为k，衰减率为p，经过x年后，残留量为y，则有y＝k（1﹣p）x，
1 1 1 1 x
由碳14的半衰期是5730年，则k(1−p) 5730= k，即1−p=( )5730，所以y=k⋅( )5730，
2 2 2
1 x 68
由题意可知，k⋅( )5730=68%k，所以x=log =log 68−2log 10≈3188，
2 5730√0.5100 5730√0.5 5730√0.5
2021年之间的3188年大致是公元前1167年，则大致年代为公元前1200年到公元前1100年．
故选：C．
