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高中数学二轮复习讲义——选填题部分
第 1 讲 基本初等函数
从近三年高考情况来看，本节内容是高考中的热点内容，常以基本初等函数为载体，以绝对值或分
段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零
点）、不等式的解法等.
题型一、基本初等函数的图像问题
1．在同一平面直角坐标系中，函数 ， ( 1)（ 且 ）的部分图象可能
f (x)=xa(x>0) g(x)=log x+ a>0 a≠1
1 2
a
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当a＞1时，幂函数 在 递增且过 ，由 1 ，得 ( 1)（
f (x)=xa (0,+∞) (0,0) 0< <1 g(x)=log x+ a>0
a 1 2
a
且a≠1）在 ( − 1 ,+∞ ) 递减函数，且g(0)=log 1 >0；
2 1 2
a
当0＜a＜1，幂函数 在 是递增且过 ，由1 ，得 ( 1)（ 且 ）
f (x)=xa (0,+∞) (0,0) >1 g(x)=log x+ a>0 a≠1
a 1 2
a
在 ( − 1 ,+∞ ) 是递增函数，且g(0)=log 1 <0 .
2 1 2
a
当x→+∞时，幂函数f (x)=xa在a＞1时比在0＜a＜1增长的快.故选：A
1
2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2−x，则不等式f(x)<－ 的解集是_______．
2
【答案】(－∞，－1)
【详解】∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.
当x<0时，－x>0,f(x)＝－f(－x)＝－(1－2x)＝2x－1.
1 1 3
当x>0时，由1－2−x<－ ，( )x> ，得x∈∅；
2 2 2
1
当x＝0时，f(0)＝0<－ 不成立；
2
1 1
当x<0时，由2x－1<－ ，2x< ，得x<－1.
2 2
综上可知x∈(－∞，－1)．
3．已知函数f (x)=x2+ex−1(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是
（ ）
A．( 1 ) B． C． D．
−∞, (−∞,√e) (−∞,1) (1,√e)
√e
【答案】C
【详解】f (x)=x2+ex−1(x<0)关于y轴对称的函数为：
，
f(−x)=x2+e−x−1(x>0)
函数f (x)=x2+ex−1(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)图象上存在关于y轴对称的点，
即f(−x)=g(x)有解，
即 ，整理的： ，
x2+e−x−1=x2+ln(x+a) e−x−1=ln(x+a)
y=e−x−1和y=ln(x+a)的图像存在交点，如图：临界值在x=0处取到（虚取），此时a=1，
故当a<1时y=e−x−1和y=ln(x+a)的图像存在交点，
故选：C.
4．设函数 1 x， 1 x 的零点分别为 ，则（ ）
f (x)=log x−( ) f (x)=log x−( ) x ,x
1 2 2 2 1 2 1 2
2
A．01>x >0，
1 2
于是有 logx 1=( 1 ) x 1 <( 1 ) x 2 =logx 2=logx 1 2 ，得 x < 1 ，
2 2 2 1 2 1 x
2 2
故选：A．
题型二、比较大小
1
1．已知x＝lnπ，y＝log 2，z= ，则（ ）
5
√e
A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x
【答案】D．
1 1 1 1
【解答】解：∵x＝lnπ＞1，y＝log 2＜log √5= ，1＞z= ＞ = ，
5 5 2 √e √4 2
∴y＜z＜x，
故选：D．
2．已知a＝log 6，b＝log 10，c＝log 14，则a，b，c的大小关系是（ ）
3 5 7A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c
【答案】B．
【解答】解：a＝log 6＝1+log 2，b＝log 10＝1+log 2，c＝log 14＝1+log 2，
3 3 5 5 7 7
而log 2＞log 2＞log 2，
3 5 7
∴c＜b＜a．
故选：B．
(12) 13
3．已知a=log 13 ,b= 14，c=log 14，则a,b,c的大小关系为（ ）
12 13 13
A．a>b>c B．c>a>b C．b>c>a D．a>c>b
【答案】D
(12) 13
【详解】根据指数函数的图像与性质可知01，c=log 14>1，所以b最小；
12 13
lg13 lg14 lg213−lg12⋅lg14
而由对数换底公式化简可得a−c=log 13−log 14= − =
12 13 lg12 lg13 lg12⋅lg13
2
由基本不等式可知 [1 ] ，代入上式可得
lg12⋅lg14< (lg12+lg14)
2
2
[1 ]
lg213− (lg12+lg14)
lg213−lg12⋅lg14 2
>
lg12⋅lg13 lg12⋅lg13
lg213− (1 lg168 ) 2 ( lg13+ 1 lg168 ) ⋅ ( lg13− 1 lg168 )
2 2 2 (lg13+lg√168)⋅(lg13−lg√168)
= = = >0
lg12⋅lg13 lg12⋅lg13 lg12⋅lg13
所以a>c，
综上可知a>c>b，
故选：D.
2 e2
4．设a=2√e，b= ，c= ，则（ ）
ln2 4−ln4
A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a
【答案】D．e2 e2
x √e c= =f( )
【解答】解：设f(x)= ，则a= =f(√e)，b＝f（2）， e2 2 ．
lnx ln√e ln( ) 2
2
lnx−1
因为f '(x)= ，所以当1＜x＜e时，f'（x）＜0；当x＞e时，f'（x）＞0．
(lnx) 2
所以f（x）在（1，e）单调递减，在（e，+∞）单调递增．
e2
因为f（2）＝f（4），且1＜√e＜2＜e＜ ＜4，
2
e2
所以f(√e)＞f(2)=f(4)＞f( )，即a＞b＞c．
2
故选：D．
5．设x、y、z为正数，且2x＝3y＝5z，则（ ）
A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z
【答案】B．
【解答】x、y、z为正数，
lgk lgk lgk
令2x＝3y＝5z＝k＞1．lgk＞0．则x= ，y= ，z= ．
lg2 lg3 lg5
lgk lgk lgk
∴3y = ，2x= ，5z = ．
lg√33 lg√2 lg√55
∵√33=√6 9＞√6 8=√2，√2=1√032＞ 1√025=√55．
∴ lg 0．
lg√33＞ √2＞lg√55＞
∴3y＜2x＜5z．
故选：D．
1
6．设a＝0.1e0.1，b= ，c＝﹣ln0.9，则（ ）
9
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b
【答案】C．
1 1 1
【解答】解：构造函数f（x）＝lnx+ ，x＞0，则f'（x）= − ，x＞0，
x x x2
当f'（x）＝0时，x＝1，
0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）在x＝1处取最小值f（1）＝1，1
∴lnx＞1− ，
x
1 1 1
∴ln0.9＞1− =− ，∴﹣ln0.9＜ ，∴c＜b；
0.9 9 9
10 9 1 10
∵﹣ln0.9＝ln ＞1− = ，∴ ＞e0.1，
9 10 10 9
1
∴0.1e0.1＜ ，∴a＜b；
9
1
(x2−1)ex+1
设g（x）＝xex+ln（1﹣x）（0＜x＜1），则g'(x)=(x+1)ex+ = ，
x−1 x−1
令h（x）＝ex（x2﹣1）+1，h′（x）＝ex（x2+2x﹣1），
当0＜x＜√2−1时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，
当√2−1＜x＜1时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，
∵h（0）＝0，∴当0＜x＜√2−1时，h（x）＜0，
当0＜x＜√2−1时，g′（x）＞0，g（x）＝xex+ln（1﹣x）单调递增，
∴g（0.1）＞g（0）＝0，∴0.1e0.1＞﹣ln0.9，∴a＞c，
∴c＜a＜b．
故选：C．
题型三、复合函数的单调性与值域
1．若函数y＝log （x2﹣ax+1）有最小值，则a的取值范围是（ ）
a
A．0＜a＜1 B．0＜a＜2，a≠1 C．1＜a＜2 D．a≥2
【答案】C．
【解答】解：令g（x）＝x2﹣ax+1（a＞0，且a≠1），g（x）开口向上；
①当a＞1时，g（x）在R上恒为正；
∴△＝a2﹣4＜0，解得1＜a＜2；
②当0＜a＜1时，x2﹣ax+1没有最大值，从而不能使得函数y＝log （x2﹣ax+1）有最小值，不符合题意．
a
综上所述：1＜a＜2；
故选：C．
2．若函数f（x）=log （﹣x2+4x+5）在区间（3m﹣2，m+2）内单调递增，则实数m的取值为（ ）
1
2
4 4 4 4
A．[ ，3] B．[ ，2] C．[ ，2） D．[ ，+∞）
3 3 3 3【答案】C．
【解答】解：先保证对数有意义﹣x2+4x+5＞0，解得﹣1＜x＜5，
4
又可得二次函数y＝﹣x2+4x+5的对称轴为x=− =2，
2×(−1)
由复合函数单调性可得函数f（x）=log （﹣x2+4x+5）的单调递增区间为（2，5），
1
2
要使函数f（x）=log （﹣x2+4x+5）在区间（3m﹣2，m+2）内单调递增，
1
2
{ 3m−2≥2
4
只需 m+2≤5 ，解关于m的不等式组得 ≤m＜2，
3
3m−2＜m+2
故选：C．
3．已知函数f（x）＝lg（x2﹣2x﹣3）在（a，+∞）单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，2] C．[5，+∞） D．[3，+∞）
【答案】D．
【解答】解：∵函数f（x）＝lg（x2﹣2x﹣3）在（a，+∞）单调递增，
∴t＝x2﹣2x﹣3在（a，+∞）大于零且单调递增，
∴1≤a，且a2﹣2a﹣3≥0，求得a≥3，
故选：D．
4．若函数y=a2x+2ax−1(a>0且a≠1)在x∈[−1,1]上的最大值为14，求a的值.
1
【答案】3或
3
【详解】解：令ax=t，∴t>0，
则 ，其对称轴为 .
y=t2+2t−1=(t+1) 2−2 t=−1
该二次函数在[−1,+∞)上是增函数.
①若a>1，∵x∈[−1,1]，∴t=ax∈ (1 ,a ) ，
a
故当t=a，即x=1时，
，解得 ( 舍去).
y =a2+2a−1=14 a=3 a=−5
max
②若0
