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微专题05 数列经典题型精练
【秒杀总结】
1、给出S 与a 的递推关系，求a，常用思路是：一是转化为a 的递推关系，再求其通项
n n n n
公式；二是转化为 S 的递推关系，先求出S 与n之间的关系，再求a.
n n n
2、在利用放缩法证明数列不等式时，要注意放缩的方向，在放缩方向明确之后，放大得太
多，或者缩小得太多，可以适当进行调整，比如从第二项开始放缩或者第三项开始放缩.
3、几种常见的数列放缩方法：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
（7） ；
（8） ；
（9）
；
（10）
；（11）
；
（12） ；
（13） .
【典型例题】
例1．（2023·上海·高三专题练习）已知数列 各项均为正数， 为前n项的和，且 ，
， 成等差数列．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）设 ， 为数列 的前n项和，求 ；
（3）设 为数列 的前n项积，是否存在实数a，使得不等式 对一
切 都成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．
例2．（2023·浙江·高三开学考试）已知 为数列 的前 项和， ， ， 成等差数
列，且 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，证明： ．
例3．（2023·浙江·温州中学高三阶段练习）如图，已知曲线 及曲线
．从 上的点 作直线平行于 轴，交曲线 于点 ，再从点作直线平行于 轴，交曲线 于点 ．点 的横坐标构成数列
（Ⅰ）试求 与 之间的关系，并证明： ；
（Ⅱ）若 ，求证： ．
例4．（2023·浙江·慈溪中学高三期中）已知数列 是公差大于0的等差数列，其前 项
和为 ，且 成等比数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，其前 项和为 ，则是否存在正整数 ，使得
成等差数列？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
例5．（2023·江西·高三阶段练习（理））已知首项为1的数列 的前 项和为 ，且
．
（1）求证：数列 是等差数列；
（2）求数列 的通项公式；（3）若数列 满足 ，求证： ．
例6．（2023·浙江·无高三期中）已知数列 的各项均为正数，前 项和为 ， ，
，若对任意的正整数 ，有
（1）求 的通项公式；
（2）设数列 满足 ，求证： ．
【过关测试】
1．（2023·山东日照·高三校联考期末）已知数列 的各项均为非零实数，其前 项和为
，且 .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ， ，求证：数列 是等差数列，并求其前 项和.
2．（2023·全国·高三专题练习）若正项数列 的前 项和 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若对于任意的 ，都有 成立，求 的最大值.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ， ．(1)证明：数列 为等比数列，求 的通项公式．
(2)若数列 的前 项和为 ，且 恒成立，求实数 的取值范
围．
4．（2023·广西梧州·统考一模）已知函数 .
(1)求函数 的最小值；
(2)证明： .
5．（2023·全国·高三专题练习）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成
新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“Z拓展”．如数列1，2第1次“Z拓
展”后得到数列1，3，2，第2次“Z拓展”后得到数列1，4，3，5，2．设数列a、b、c
经过第n次“Z拓展”后所得数列的项数记为 ，所有项的和记为 ．
(1)求 、 ；
(2)若 ，求n的最小值；
(3)是否存在实数a、b、c，使得数列 为等比数列？若存在，求a、b、c满足的条件；
若不存在，说明理由．
6．（2023·全国·高三专题练习）在数列 中， ， ，且对任意的 ，都有
.
(1)证明： 是等比数列，并求出 的通项公式；(2)若 ，求数列 的前 项和 .
7．（2023春·全国·高三校联考开学考试）已知 为数列 的前 项和， ，
．
(1)求 ；
(2)若 ，证明： ．
8．（2023·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末）已知数列 的前 项和为 ，
， ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和为 ．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足： ，设 为
的前 项和，证明：
(1)数列 单调递减；
(2) ．10．（2023·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）已知数列 ， 其前 项
和分别为 ， 且分别满足 ， .
(1)求数列 ， 的通项公式.
(2)将数列 ， 的各项按 ， ， ， … ， 顺序排列组成数列 ，求数列
的前 项和 .
11．（2023·山东滨州·高三统考期末）设公差不为0的等差数列 的前 项和为 ，若
，且 ， ， 成等比数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求满足条件 的正整数 的最大值．
12．（2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末）已知数列 的通项公式为
，等比数列 满足 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ， 的前n项和分别为 ， ，求满足 （ ）的所有数对 ．
13．（2023·福建·统考一模）已知正项数列 的前n项和为 ，且
．
(1)求数列 的通项公式；(2)将数列 和数列 中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列 ，求
的前50项和．
14．（2023·辽宁·校联考模拟预测）记正项数列 的前n项积为 ，且 ．
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)记 ，求数列 的前2n项和 ．
15．（2023·湖北武汉·高三统考期末）已知数列 满足 ， ，
， 表示数列 的前 项和
(1)求证：
(2)求使得 成立的正整数 的最大值
16．（2023·湖南株洲·高三校联考期末）已知数列 满足
(1)求证： 为等差数列；
(2)令 ，求数列 的前 项和 .17．（2023·天津北辰·高三校考期末）已知 为等差数列， 为等比数列，
．
(1)求 和 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前n项和 ；
(3)记 ．是否存在实数 ，使得对任意的 ，恒有 ？
若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由．
18．（2023春·江苏南京·高三南京市第一中学校考开学考试）在①
；② ；③ ， ，三个条件
中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．注：如果选择多个条件分别作答，按第一
个解答计分．
已知正项数列 的前n项和为 ，且______，
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，若数列 满足 ，求证： ．
19．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，且
．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)记 的前 项和为 ，若 ，均有 ，求实数 的取值
范围．20．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知二项式 的展开式的各项系数
和构成数列 数列 的首项 ，前 项和为 ，且当 时，有
．
(1)求 和 ；
(2)设数列 的前 项和为 ，若 对任意的正整数 恒成立，求实数
的取值范围．
