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6.4 求和方法（精讲）（提升版）
思维导图考点呈现例题剖析
考点一 公式法求和
【例1】（2022·江苏江苏·高三期末）已知数列 满足 .
(1)设 ，求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前20项和 .
【一隅三反】
1．（2022·全国·模拟预测）设数列 的前n项和为 ，且 .
(1)求 ；
(2)证明：当 时， .2．（2022·湖南·一模）已知数列 的前n项和为 ， ．
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)记数列 的前n项和为 ，证明： ．
3．（2022·广东深圳·一模）已知数列 的首项 ，且满足 ．
(1)证明： 是等比数列；
(2)求数列 的前n项和 ．
考点二 裂项相消求和【例2-1】（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知 是等差数列 的前 项和， ， ，公差
，且___________.从① 为 与 等比中项，②等比数列 的公比为 ，
这两个条件中，选择一个补充在上面问题的横线上，使得符合条件的数列 存在并作答.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，求证： .
【例2-2】（2022·广东肇庆·模拟预测）已知数列 是等比数列，且 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ，并证明： .【例2-3】（2022·广东梅州·二模）已知 是数列 的前 项和， ，___________.
① ， ；②数列 为等差数列，且 的前 项和为 .从以上两个条件中任选一个
补充在横线处，并求解：
(1)求 ；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【例2-4】（2022·广东茂名·二模）已知数列 满足 ， ， ．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．【一隅三反】
1．（2022·广东梅州·二模）已知 是数列 的前 项和， ，___________.
① ， ；②数列 为等差数列，且 的前 项和为 .从以上两个条件中任选一个
补充在横线处，并求解：
(1)求 ；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
2．（2022·全国·模拟预测）已知数列 满足 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求 的前n项和 .3．（2022·全国·模拟预测）已知正项数列 的前n项和为 ，给出以下三个条件：① ，
；② ；③ ， .从这三
个条件中任选一个解答下面的问题.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
4．（2022·江苏南通·模拟预测）已知正项数列{ }中， ， 是其前n项和，且满足
(1)求数列{ }的通项公式：
(2)已知数列{ }满足 ，设数列{ }的前n项和为 ，求 的最小值.考点三 错位相减求和
【例3】（2022·广东茂名·二模）已知数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求证：数列 为等差数列；
(2)求数列 的前n项和 ．
【一隅三反】
1．（2022·广东广东·一模）设数列 的前n项和为 ，满足 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求 的前n项和 ．2．（2021·浙江·高考真题）已知数列 的前n项和为 ， ，且 .
（1）求数列 的通项；
（2）设数列 满足 ，记 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，
求实数 的取值范围.
3．（2021·全国·高考真题（理））记 为数列 的前n项和， 为数列 的前n项积，已知
．
（1）证明：数列 是等差数列;
（2）求 的通项公式．考点四 分组转化求和
【例4-1】（2022·全国·模拟预测（理））已知正项数列 的前n项和为 ，满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 .
【例4-2】（2022·山东日照·模拟预测）已知数列 中， ， ， （ ）， ，
， ， 成等差数列．
(1)求k的值和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．【一隅三反】
1．（2022·安徽·高三期末（理））已知数列 的前n项和 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和．
2．（2022·全国·模拟预测（理））已知数列 满足 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前2n项的和3．（2022·湖南·高三阶段练习）已知数列 中， ， ，令 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前14项和.
考点五 周期数列
【例5】（2022·江西赣州·一模）设正项数列 的前 项和为 ，已知 .
(1)求 的通项公式；
(2)记 ， 是数列 的前 项和，求 .【一隅三反】
1．（2022·江苏·高三专题练习）已知数列 的通项公式 ， ，其前 项和为 ，则
______．
2．（2022·全国·高三专题练习（理））数列 的通项公式为 ，前 项和为 ，则 ＝
________.
考点六 倒序相加法
【例6】（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，数列 满足 ，则
（ ）
A．2018 B．2019 C．4036 D．4038
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则
的值为（ ）
A．1 B．2 C．2020 D．2021
2．（2022·全国·高三专题练习）已知 是 上的奇函数，，则数列 的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则
（ ）
A．2018 B．2019
C．4036 D．4038
