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专题19 数列中常见的求和问题
1、（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条
对称轴把纸对折，规格为 的长方形纸，对折1次共可以得到 ，
两种规格的图形，它们的面积之和 ，对折2次共可以得到 ， ，
三种规格的图形，它们的面积之和 ，以此类推，则对折4次共可以得到不同规
格图形的种数为______；如果对折 次，那么 ______ .
2、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设 是公比不为1的等比数列， 为 ，
的等差中项．
（1）求 的公比；
（2）若 ，求数列 的前 项和．
3、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））设等比数列{a }满足 ， ．
n
（1）求{a }的通项公式；
n（2）记 为数列{log a }的前n项和．若 ，求m．
3 n
4、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））设数列{a }满足a =3， ．
n 1
（1）计算a ，a ，猜想{a }的通项公式并加以证明；
2 3 n
（2）求数列{2na }的前n项和S ．
n n
5、【2021年乙卷文科】设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．已知 ， ， 成等
差数列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ．
6、【2021年新高考1卷】已知数列 满足 ，
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和.．
题组一、利用周期性（规律性求和）
1-1、（2022·江苏宿迁·高三期末）记 表示不超过实数 的最大整数，记 ，则 的值为（
）
A．5479 B．5485 C．5475 D．5482
2、（2022·湖南郴州·高三期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称
号.设 ，用 表示不超过x的最大整数，则 称为高斯函数.已知数列 满足 ，且
，若 数列 的前n项和为 ，则 （ ）
A．4950 B．4953 C．4956 D．4959
题组二、裂项相消求和
2-1、（2022·河北张家口·高三期末）已知 是数列 的前 项和， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .2-2、（2022·河北深州市中学高三期末）已知数列 的前n项和为 ， ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，若数列 的前n项和为 ，证明： ．
2-3、（2022·河北唐山·高三期末）已知 是数列 的前n项和， ，且 ．
(1)证明： 为常数列；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
题组三、分组求和
3-1、（2022·山东莱西·高三期末）已知数列 的前n项和为 ，且 ， ， 为等差数列；数列 满
足 ， .
(1)求数列 的前n项和 ；3-2、（2022·山东青岛·高三期末）给定数列 ，若满足 ，对于任意的 ，都
有 ，则称 为“指数型数列”.
(1)已知数列 的通项公式为 ，证明： 为“指数型数列”；
(2)若数列 满足： ；
（I）判断 是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；
(Ⅱ)若 ，求数列 的前 项和 .
3-3、（2022·山东临沂·高三期末）设数列 的前n项和为 ，且满足 ，
．
(1)求数列的通 项公式：
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
题组四、错位相减4-1、（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知 是公差为1的等差数列，且 ， ， 成等比
数列．
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前n项和．
4-2、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设 是公比不为1的等比数列， 为 ，
的等差中项．
（1）求 的公比；
（2）若 ，求数列 的前 项和．
4-3、（2022·广东汕尾·高三期末）已知等比数列 满足 是 的等差中项．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 项和 .题组五、奇偶项
5-1、（2022·山东烟台·高三期末）已知数列 满足 ， ．
(1)记 ，证明：数列 为等比数列，并求 的通项公式；
(2)求数列 的前2n项和 ．
5-2、(2022·江苏新高考基地学校第一次大联考期中)
(10分)已知等差数列满足，n∈N*．
(1)求的通项公式；
(2)设求数列的前2n项和．
5-3、(2022·江苏南通海安市期中)
已知数列满足a＝1，a ＝
1 n＋1
(1)从下面两个条件中选一个，写出b，b，并求数列的通项公式；
1 2
①b＝a ＋3；②b＝a －a ．
n 2n－1 n 2n＋1 2n－1
(2)求数列的前n项和为S．
n1、（2022·江苏如东·高三期末）已知数列{an}的各项均为正数，其前n页和为Sn，且a ＝2，
1
.
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)求数列 的前n项和.
2、（2022·广东汕尾·高三期末）已知等比数列 满足 是 的等差中项．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 项和 .
3、．(2022·江苏南通市区期中)(本题满分10分)已知数列是公比为正数的等比数列，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和S．
n4、（2022·广东·铁一中学高三期末）已知数列 的前 项和为 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）数列 ， 表示不超过 的最大整数，求 的前1000项和 .
5、（2022·河北保定·高三期末）在数列 中， ，且数列 是公差为2的等差数列.
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
6、（2022·山东临沂·高三期末）设数列 的前n项和为 ，且满足 ，
．
(1)求数列的通 项公式：
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
