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专题20 数列综合问题的探究
1、【2022年全国乙卷】嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳
1
飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{b }：b =1+ ，
n 1 α
1
1
1 b =1+
b =1+ 3 1
2 1 ， α + ，…，依此类推，其中α ∈N∗(k=1,2,⋯)．则
α + 1 1 k
1 α α +
2 2 α
3
（ ）
A．b <b B．b <b C．b <b D．b <b
1 5 3 8 6 2 4 7
2、【2020年新课标2卷理科】0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列 满足
，且存在正整数 ，使得 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足
的最小正整数 为这个序列的周期.对于周期为 的0-1序列 ，
是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足
的序列是（ ）
A． B． C． D．
3、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））数列 满足 ，前16
项和为540，则 ______________.
4、（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知数列 满足 ，
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；（2）求 的前20项和.
{S } 1
5、【2022年新高考1卷】记S 为数列{a }的前n项和，已知a =1, n 是公差为 的等差数列．
n n 1 a 3
n
(1)求{a }的通项公式；
n
1 1 1
(2)证明：
+ +⋯+ <2．
a a a
1 2 n
6、【2022年新高考2卷】已知{a }为等差数列，{b }是公比为2的等比数列，且a −b =a −b =b −a ．
n n 2 2 3 3 4 4
(1)证明：a =b ；
1 1
(2)求集合{k|b =a +a ,1≤m≤500}中元素个数．
k m 1
题组一 等差、等比数列的含参问题
1-1、（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知数列{a }的前n项和为S ，且2a －S ＝2，记数列
n n n n
的前n项和为T，若对于任意n∈N*，不等式k＞T 恒成立，则实数k的取值范围为（
n n
）A． B．
C． D．
1-2、（2022·山东莱西·高三期末）已知数列 的前n项和为 ，且 ， ， 为等差数列；数列 满
足 ， .
(1)求数列 的前n项和 ；
(2)若对于 ，总有 成立，求实数m的取值范围.
1-3、（2022·湖北武昌·高三期末）已知数列 满足 ， ，且对任意 ，都有
．
(1)求证： 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)求使得不等式 成立的最大正整数m．1-4、（2022·湖北襄阳·高三期末）设 是正项等比数列， 是等差数列，已知 ， ，
， ．
(1)求 和 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，是否存在实数 、 ，使得 前 项和为 ，如果
存在，求实数 、 的值，如果不存在，请说明理由．
题组二 等差、等比数列中的不等或证明问题
2-1、（2022·河北深州市中学高三期末）已知数列 的前n项和为 ， ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，若数列 的前n项和为 ，证明： ．
2-2、（2022·山东泰安·高三期末）在等比数列 中， 分别是下表第一，二，三列中的某一个数，
且 中的任何两个数不在下表中的同一行，设数列 的前 项和为 .
第一列 第二列 第三列
第一行 1 16第二行 2 7
第三行 5 12 8
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明：数列 中的任意连续三项按适当顺序排列后，可以成等差数列.
2-3、（2022·山东青岛·高三期末）已知数列 满足： .
(1)求证：存在实数 ，使得 ；
(2)求数列 的通项公式.
题组三 等差、等比数列定义型问题
3-1、（2022·山东青岛·高三期末）在数列 中，若 ，( 为常数)，则称 为
“等方差数列”，p称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）
A． 是等方差数列B．若数列 既是等方差数列，又是等差数列，该数列必为常数列
C．正项等方差数列 的首项 ，且 是等比数列，则
D．若等方差数列 的首项为2，公方差为2，若将 ，… 这种顺序排列的10个数作为某种密码，
则可以表示512种不同密码
3-2、（2022·山东德州·高三期末）定义在区间 上的函数 ，如果对于任意给定的等比数
列 ， 仍是等比数列，则称 为“保等比数列函数”.下列函数是“保等比数列函数”的为（
）
A． B． C． D．
3-3、（2022·山东青岛·高三期末）给定数列 ，若满足 ，对于任意的 ，都
有 ，则称 为“指数型数列”.
(1)已知数列 的通项公式为 ，证明： 为“指数型数列”；
(2)若数列 满足： ；
（I）判断 是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；
(Ⅱ)若 ，求数列 的前 项和 .1、（2022·江苏扬州·高三期末）在正项等比数列 中， ， ，记数列 的前n项积为 ，
，则n的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2、（2022·河北深州市中学高三期末）已知正项等比数列 的前 项和为 ， ，且数列 的
前 项和为 ，若对于一切正整数 都有 ，则数列 的公比 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
a n S S 2a 1 a 0,2021
3、（2021·山东菏泽市·高三期末）已知数列 n 的前 项和是 n，且 n n ，若 n ，
a
a
则称项 n为“和谐项”，则数列 n 的所有“和谐项”的和为（ ）
A．1022 B．1023 C．2046 D．2047
4、（2022·河北保定·高三期末）对于正整数 是小于或等于 的正整数中与 互质的数的数目.函数
以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如 ，则（ ）
A．
B．数列 为等比数列
C．数列 单调递增
D．数列 的前 项和恒小于4
5、（2022·广东罗湖·高三期末）已知数列 满足 ， ，且 （ ）．(1)证明：数列 是等比数列；
(2)记 的前n项和为 ，若 ，均有 ，求实数 的最小值．
6、（2022·广东佛山·高三期末）设 为等比数列 的前 项和， 、 、 成等差数列.
(1)求证： 、 、 成等差数列；
(2)若 ， 是数列 的前 项积，求 的最大值及相应 的值.
7、（2022·江苏海门·高三期末）已知{an}是公差不为零的等差数列，a ＝17，a ，a ，a 成等比数列．
5 1 2 7
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)将数列{an}与{3n}的相同的项按由小到大的顺序排列构成的数列记为{bn}，求数列{bn}的前n项和Sn．
8、（2022·江苏通州·高三期末）已知数列 的前n项和为 ，满足 ＝2，2( )＝6－ .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 的最大值为M，最小值为m，求M－m的值.9、（2022·江苏海安·高三期末）已知数列{an}满足 ，且 ．
(1)请你在①，②中选择一个证明：
①若 ，则{bn}是等比数列；
②若 ，则{bn}是等差数列．
注：如果选择多个分别解答，按第一个解答计分．
(2)求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn．
