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专题25 二项式定理
【练基础】
一、 单选题
1．（2020·全国·统考高考真题） 的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．5 B．10
C．15 D．20
2．（2022·北京·统考高考真题）若 ，则 （ ）
A．40 B．41 C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习） 的展开式中 的系数是（ ）
A．60 B．80 C．84 D．120
4．（2022秋·广东汕头·高三统考期末） 的展开式中 的系数为（ ）
A．60 B．24 C． D．
5．（2023秋·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考期末）若 ，
则 （ ）
A．-448 B．-112 C．112 D．448
6．（2023春·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知
，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2022·重庆永川·重庆市永川北山中学校校考模拟预测）已知 ，则
（ ）
A． B．
C． D．8．（2022·全国·高三专题练习）已知 是数列 的前n项和，若 ，数列
的首项 ，则 （ ）
A． B． C．2021 D．
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知二项式 的展开式中各项系数之和是 ，则下列说法正确的有
（ ）
A．展开式共有7项 B．二项式系数最大的项是第4项
C．所有二项式系数和为128 D．展开式的有理项共有4项
10．（2022·山东济南·统考一模） 的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．展开式共6项 B．常数项为64
C．所有项的系数之和为729 D．所有项的二项式系数之和为64
11．（2023·全国·高三专题练习）已知 的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的
各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（ ）
A．展开式中奇数项的二项式系数和为256
B．展开式中第6项的系数最大
C．展开式中存在常数项
D．展开式中含 项的系数为45
12．（2023·全国·高三专题练习） ，若 ，则下列结论正确的有
（ ）
A． B．
C．二项式系数的和为 D．
三、填空题
13．（2022·全国·统考高考真题） 的展开式中 的系数为________________（用数字作答）．14．（2022·浙江·统考高考真题）已知多项式 ，则 __________，
___________．
15．（2022春·全国·高三专题练习）设 ，则 …
______．
16．（2022·全国·高三专题练习）若 ，则
_______．
【提能力】
一、单选题
17．（2023·全国·高三专题练习）若 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
18．（2022秋·江苏盐城·高三阜宁县东沟中学校考阶段练习）已知 的展开式中各项的二项式系
数之和为64，则其展开式中 的系数为（ ）
A．160 B． C．60 D．
19．（2021·全国·高三专题练习） 的二项展开式中，奇数项的系数和为（ ）
A． B． C． D．
20．（2022·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测） 的展开式中 的系数是（ ）
A．84 B．120 C．122 D．210
21．（2023·全国·高三专题练习）已知二项式 的展开式的所有项的系数和为32，则 的展
开式中常数项为（ ）
A． B． C． D．22．（2022·浙江·校考模拟预测）若二项式 的展开式中只有第7项的二项式系数最大，若展开
式的有理项中第 项的系数最大，则 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
23．（2023·辽宁盘锦·盘锦市高级中学校考一模）已知函数 在 处的切线与直线 平
行，则二项式 展开式中 的系数为（ ）
A．70 B．－70 C．56 D．－56
24．（2021·天津静海·静海一中校考三模）已知 的二项展开式的奇数项二项式系数和为 ，若
，则 等于（ ）
A． B． C． D．
25．（2022·全国·高三专题练习）杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．他在《详解九章算法》一书中，画了
一个由二项式 展开式的系数构成的三角形数阵，称作“开方作法本源”，这就是著名的“杨
辉三角”．在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，其他每一个数值都是它上面的两个数值之和，每一行第
个数组成的数列称为第 斜列．该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2022行第 斜列
与第 斜列各项之和最大时， 的值为（ ）
A．1009 B．1010 C．1011 D．1012
二、多选题
26．（2022·江苏·模拟预测）若二项式 展开式中所有项的系数之和为 ，所有项的系数绝对值之和为 ，二项式系数之和为 ，则（ ）
A． B．
C．对任意 均有 D．存在 使得
27．（2022·全国·模拟预测）已知 ，且 ， ，则（ ）
A． B． 的展开式中第1012项的系数最大
C． D．
28．（2022秋·辽宁·高三辽宁实验中学校考阶段练习）已知 则（ ）
A． B．
C． D．
29．（2022·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）设 ，下列结论正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．当 时， 除以 的余数是1
三、填空题
30．（2023·全国·模拟预测）已知 的展开式中所有项的系数和为8，则展开式中 的系数为______.
31．（2023·辽宁沈阳·统考一模）若 ，则 被5除的余数是
______．
32．（2023·江苏南京·校考一模）在二项式 的展开式中，若所有项的系数之和等于64，那么在这个展开式
中， 项的系数是__________．（用数字作答）
33．（2023·甘肃兰州·校考一模）若 ，则 的值为______．
34．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知 ，则
__________．
35．（2022·上海杨浦·统考一模）已知 （n是正整数）， ，
则 ________．
四、解答题
36．（2022·全国·高三专题练习）已知 .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
37．（2020·江苏苏州·常熟中学校考模拟预测）设 （ ， ）．
（1）若展开式中第5项与第7项的系数之比为3∶8，求k的值；
（2）设 （ ），且各项系数 ， ， ，…， 互不相同．现把这 个不同系数随机排成一
个三角形数阵：第1列1个数，第2列2个数，…，第n列n个数．设 是第i列中的最小数，其中 ，且i，
．记 的概率为 ．求证： ．38．（2020·江苏苏州·吴江中学校考模拟预测）已知
（1）求 的值；
（2）求 的值.
39．（2020·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）（1）已知 的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比
为 ，求 的值.
（2）记 ， ，
①求 ；
②设 ，求和： .
