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专题15 数列的求和方法和不等式问题
【练基础】
一、 单选题
1．（2021·北京海淀·统考模拟预测）已知数列 若 ， ，则该数列的前
六项和为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·安徽滁州·高三校考期中）若数列 满足 ，则 的前2022项和为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知数列 的前n项和 满足 ，若数
列 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·河南洛阳·高三孟津县第一高级中学校考阶段练习）已知数列 满足 ，且 ，
，则 （ ）
A．2021 B． C． D．
5．（2022·安徽滁州·校考模拟预测）已知数列 的首项 ，且满足 ，记数列
的前n项和为 ，若对于任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．C． D．
6．（2022·广东广州·校联考三模）已知数列 满足 ， ，则数列 的前2022项和
为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足
则下列有可能成立的是（ ）
A．若 为等比数列，则
B．若 为递增的等差数列，则
C．若 为等比数列，则
D．若 为递增的等差数列，则
8．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，
前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金
几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的 ，第2关收税金为剩余金的 ，第3关收税金为
剩余金的 ，第4关收税金为剩余金的 ，第5关收税金为剩余金的 ，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持
金多少？”．记这个人原来持金为 斤，设 ，则 （ ）
A． B．7 C．13 D．26
二、多选题
9．（2022秋·江苏镇江·高三扬中市第二高级中学校考期末）数列 满足 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 且 ，数列 单调递减
B．若存在无数个自然数 ，使得 ，则
C．当 或 时， 的最小值不存在
D．当 时，
10．（2022·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知正项数列 的前 项和为 ，若 ， ，
数列 的前 项和为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 是等差数列
B．
C．
D．满足 的 的最小正整数解为
11．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·全国·模拟预测）已知数列 满足 ， ， 的前n项和为 ，则下列说法正确的
有（ ）
A．对任意 ， 不可能为常数数列
B．当 时， 为递减数列
C．若 ，则D．若 ，则
三、填空题
13．（2022·全国·高三专题练习）若数列 满足 ， ，则其前 项和为
___________.
14．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列 满足 ，则数列
的前n项和为___________.
15．（2022秋·福建福州·高三福建省福州格致中学校考阶段练习）设函数 ， ，
．则数列 的前n项和 ______．
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，点O为坐标原点，点 ，向量 ，
是向量 与 的夹角，则 的值为______．
四、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）记数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设m为整数，且对任意 ， ，求m的最小值．
18．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列 满足对任意m， 都有 ，数列 是等比数列，
且 ， ， .
(1)求数列 ， 的通项公式；(2)设 ，求数列 的前n项和 .
19．（2023·全国·模拟预测）已知数列 的前n项和为 ， ， 是公差为1的等差数列.
(1)求 的通项公式；
(2)证明： .
20．（2023·全国·模拟预测）已知数列 的前n项和为 ， ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前n项和为 ，求 的取值范围．
【提能力】
一、单选题
21．（2020·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ．设 ， 为数列
的前 项和．若 （常数）， ，则 的最小值是
A． B． C． D．
22．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 … ，设数列 满足：
,数列 的前 项和为 ，若 恒成立，则 的取值范围是
A． B． C． D．23．（2022·河南·统考一模）已知数列 满足 ，则数列 的前40项
和 （ ）
A． B． C． D．
24．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列 满足 ， ，若 ， 是数列 的前 项
和，对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
25．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列 的前n项和为 ，记 ，若数列
也为等比数列，则 （ ）
A．12 B．32 C． D．
二、多选题
26．（2023·辽宁盘锦·盘锦市高级中学校考一模）已知数列 满足 ， ， ， 为
数列 的前n项和，则下列说法正确的有（ ）
A．n为偶数时， B．
C． D． 的最大值为20
27．（2022·福建福州·福州三中校考模拟预测）已知数列 满足 ， ，则（ ）
A． 是递减数列 B．
C． D．28．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的通项公式为 ， 是数列 的前n项
和，若 ，使 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
29．（2021·湖北武汉·武汉市黄陂区第一中学校考模拟预测）设数列 的前 项和为 ，若存在实数 ，使得对
任意 ，都有 ，则称数列 为“ 数列”.则以下结论正确的是（ ）
A．若 是等差数列，且 ，公差 ，则数列 是“ 数列”
B．若 是等比数列，且公比 满足 ，则数列 是“ 数列”
C．若 ，则数列 是“ 数列”
D．若 ，则数列 是“ 数列
三、填空题
30．（2022·山东潍坊·昌乐二中校考模拟预测）已知向量 ， ， ，
则 ______.
31．（2023·全国·高三专题练习）数列 满足 ， ，则 前40项和为________．
32．（2021秋·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考阶段练习）设 为数列 的前 项和，满足 ， ，其中 ，数列 的前 项和为 ，满足 ，则 ___________.
33．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，函数 在 有极值，设 ，
其中 为不大于 的最大整数，记数列 的前 项和为 ，则 ___________.
四、解答题
34．（2023·山西临汾·统考一模）已知数列 ， ，满足 ， ， .
(1)证明 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)设 ，证明： .
35．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时， ，求a的取值范围；
(3)设 ，证明： ．
36．（2022·天津·统考高考真题）设 是等差数列， 是等比数列，且 ．
(1)求 与 的通项公式；
(2)设 的前n项和为 ，求证： ；(3)求 ．
37．（2020·天津·统考高考真题）已知 为等差数列， 为等比数列， ．
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）记 的前 项和为 ，求证： ；
（Ⅲ）对任意的正整数 ，设 求数列 的前 项和．
38．（2019·天津·高考真题）设 是等差数列， 是等比数列.已知 .
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 其中 .
（i）求数列 的通项公式；
（ii）求 .
