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专题 21 数列综合问题的探究
1、（2023年全国乙卷数学（文））已知等差数列 的公差为 ，集合 ，若 ，
则 （ ）
A．－1 B． C．0 D．
2、（2023年新课标全国Ⅱ卷）已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数列 ，
的前n项和， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明：当 时， ．
3、（2023年新高考天津卷）已知 是等差数列， ．
(1)求 的通项公式和 ．
(2)已知 为等比数列，对于任意 ，若 ，则 ，
（Ⅰ）当 时，求证： ；
（Ⅱ）求 的通项公式及其前 项和．{S } 1
4、【2022年新高考1卷】记S 为数列{a }的前n项和，已知a =1, n 是公差为 的等差数列．
n n 1 a 3
n
(1)求{a }的通项公式；
n
1 1 1
(2)证明：
+ +⋯+ <2．
a a a
1 2 n
5、【2022年新高考2卷】已知{a }为等差数列，{b }是公比为2的等比数列，且a −b =a −b =b −a ．
n n 2 2 3 3 4 4
(1)证明：a =b ；
1 1
(2)求集合{k|b =a +a ,1≤m≤500}中元素个数．
k m 1
题组一 等差、等比数列的含参问题1-1、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知数列 前 项和 ，数列 满足
为数列 的前 项和．若对任意的 ，不等式 恒成立，
则实数 的取值范围为______．
1-2、（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知等差数列 的首项为1，公差 ，其前n项和 满足
.
(1)求公差d；
(2)是否存在正整数m，k使得 .
1-3、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知数列 是等差数列， ，且 ， ， 成等比数
列．给定 ，记集合 的元素个数为 ．
(1)求 ， 的值；
(2)求最小自然数n的值，使得 ．1-4、（2023·云南·统考一模）记数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设m为整数，且对任意 ， ，求m的最小值．
题组二 等差、等比数列中的不等或证明问题
2-1、（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知各项为正数的数列 的前 项和为 ，若
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，且数列 的前 项和为 ，求证： ．
2-2、（2023·云南玉溪·统考一模）在① ，② 这两个条件中选择一个补充在下面的问题中，然后
求解．设等差数列 的公差为 ，前n项和为 ，等比数列 的公比为q．已知 ， ，
． （说明：只需选择一个条件填入求解，如果两个都选择并求解的，只按选择的第一种情形评
分）
(1)请写出你的选择，并求数列 和 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，设 的前n项和为 ，求证： ．
2-3、（2023·云南红河·统考一模）已知正项数列 的前n项和为 ，且满足 ．
(1)求数列 的通项公式：
(2)若 ，数列 的前n项和为 ，证明： ．1、（2022·河北深州市中学高三期末）已知正项等比数列 的前 项和为 ， ，且数列 的
前 项和为 ，若对于一切正整数 都有 ，则数列 的公比 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
a n S S 2a 1 a 0,2021
2、（2021·山东菏泽市·高三期末）已知数列 n 的前 项和是 n，且 n n ，若 n ，
a
a
则称项 n为“和谐项”，则数列 n 的所有“和谐项”的和为（ ）
A．1022 B．1023 C．2046 D．2047
3、（2023·山西·统考一模）从下面的表格中选出3个数字（其中任意两个数字不同行且不同列）作为递增
等差数列 的前三项.
第1列 第2列 第3列
第1行 7 2 3
第2行 1 5 4
第3行 6 9 8
(1)求数列 的通项公式，并求 的前 项和 ；
(2)若 ，记 的前 项和 ，求证 .4、（2023·安徽安庆·校考一模）数列 中， ，且满足
(1)求 ，并求数列 的通项公式；
(2)设 ，求 ；
(3)设 ，是否存在最大的；正整数 ，使得对任意
均有 成立？若存在求出 的值；若不存在，请说明理由.
5、（2022·山东青岛·高三期末）给定数列 ，若满足 ，对于任意的 ，都
有 ，则称 为“指数型数列”.
(1)已知数列 的通项公式为 ，证明： 为“指数型数列”；
(2)若数列 满足： ；
（I）判断 是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；(Ⅱ)若 ，求数列 的前 项和 .
