文档内容
北师大版七年级数学上册第1章《丰富的图形世界》同步练习及
答案—1.3截一个几何体（4）
1．截面
定义：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．
如图所示，阴影部分就是截面．
谈重点 截面的理解
①由前面的知识我们知道“面与面相交得到线”，而用平面去截几何体，所得的截面就是这
个平面与几何体每个面相交的线所围成的图形．②截面的形状与所截几何体有关，也与所截角度
和方向有关．③对于同一个几何体，截面的方向不同，得到的截面形状一般也不相同．同一个几何
体可能有多种不同形状的截面．
【例1】 下列关于截面的说法正确的是( )．
A．截面是一个平面图形 B．截面的形状与所截几何体无关
C．同一个几何体，截面只有一个 D．同一个几何体，截面的形状都相同
解析：根据截面的定义“用一个平面去截几何体，截出的面叫做截面”可知，A是正确的；截
面与几何体的形状有关，B是错误的；从不同的角度和方向去截同一个几何体，所得的截面一般不
同，所以C，D是错误的．故选A.
答案：A
2.正方体的截面
正方体截面的形状：
如图所示，正方体的截面的形状可以是：
(1)三角形(包括等腰三角形、等边三角形和一般三角形)，如图①.
(2)四边形(包括正方形、长方形、梯形等)，如图②③④.
(3)五边形，如图⑤.
(4)六边形，如图⑥.
正方体中不同形状的截面的截法：
(1)沿竖直或水平方向截正方体，截面为正方形．
(2)图①中的截面是等边三角形，与该平面平行，能截正方体三条棱的平面，都能截出等边三
角形．
(3)过正方体同一个面上不相邻的两个顶点和一条棱上的一点，可截出等腰三角形(如图)，
且与该面平行的能截正方体三条棱的平面，都能截出等腰三角形．
(4)分别过正方体的上、下底面，且与任何棱都不平行的截面，可截出梯形．
(5)只要截面与五个面相交或与六个面相交，即可截出五边形或六边形．
【例2】 下列说法正确的是( )．①正方体的截面可以是等边三角形 ②正方体不可能截出七边形 ③用一个平面截正方体，
当这个平面与四个平面相交时，所得的截面一定是正方形 ④正方体的截面中边数最多的是六
边形
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④
解析：过正方体三个不相邻顶点的截面是等边三角形，①正确；正方体只有六个面，所以最多
与六个面相交，截面最多是六边形，②正确；当一个平面与四个平面相交时，截面也可能是长方形
和梯形，③错误；正方体有六个面，当与六个面都相交时，截面是六边形，④正确．
答案：D
3．圆柱、圆锥、球的截面
(1)圆柱的截面
用一个平面去截一个圆柱，可得到的截面形状是长方形、圆、椭圆、椭圆的一部分．
(2)圆锥的截面
用一个平面去截圆锥，可得到的截面形状是三角形、圆、椭圆及椭圆的一部分．
(3)球体的截面
用一个平面去截球体，可得到的截面形状是圆．
【例3】 下列几何体的截面分别是__________、________、________、________.
解析：观察时要注意平面截几何体的方向和角度，找出它与几何体的几个面相交，同时注意
截面是否与底面平行或垂直．
答案：圆 长方形 三角形 圆
4．根据截面判断几何体
(1)常见几何体截面的比较
常见几何体主要是棱柱、圆柱、圆锥和球体．棱柱包括正方体、长方体、三棱柱、五棱柱、六棱
柱……其中以正方体为代表．各种几何体的截面如下表：(2)根据截面判断原几何体的方法：
①截面中有曲线，则原几何体一定有曲面．例如截面形状是圆的几何体可能是圆柱、圆锥、球
或圆台．
②若一个几何体的各面都是平面，则所得截面一定是多边形；若几何体有曲面，则所得截面
可能是多边形，也可能是由直线和曲线组成的图形，还可能是由曲线组成的图形．
【例4－1】 一个几何体的一个截面是三角形，则原几何体一定不是下列图形中的( )．
A．圆柱和圆锥 B．球体和圆锥
C．球体和圆柱 D．正方体和圆锥
解析：球的截面只能是圆形；圆柱的截面可以是圆、长方形、椭圆和椭圆的一部分；正方体和
圆锥都可以截出三角形，故选C.
答案：C
【例4－2】 一个几何体，用水平的面去截，所得截面都是圆，用竖直的面去截，所得截面是长
方形，判断这个几何体的名称(写出一种几何体的名称即可)．
分析：本题考查由截面的形状判断几何体．用水平面截，所得截面都是圆，该几何体可能是圆
柱、圆锥、球；用竖直的面去截，所得截面是长方形，该几何体可能是棱柱、圆柱、正方体、长方体．
综合两个条件可得该几何体可能是圆柱．
解：这个几何体可能是圆柱．
点评：同一个几何体可能有多个不同的截面图形，只有综合考虑不同的截面图形，才能准确
判断出几何体的形状．
5.判断截后剩余几何体的顶点数、棱数和面数
一个棱柱，截去一部分后，剩余几何体的顶点数、棱数和面数与该图形的形状有关．
用一个平面截掉正方体的一个角，剩余部分的顶点数、棱数和面数情况：
截面过顶
顶点数 棱数 面数
点的个数
0 10 15 7
1 9 14 7
2 8 13 7
3 7 12 7
【例5－1】 如图所示，过长方体的一个顶点，截掉长方体的一个角，则剩余部分的顶点有
__________个．
解析：过一个顶点截掉一个角后，去掉了一个顶点，又增加了两个，实际上比原来的长方体增
加了一个顶点，有9个．
答案：9
【例5－2】 如图，用一个平面截掉正方体的一条棱，剩下的几何体有________个顶点，有
________条棱，有________个面．解析：剩下的部分是一个五棱柱，故有10个顶点，15条棱，7个面．
答案：10 15 7
6．截面的应用
把一个长方体木块锯成几段，可以看成用几个平面去截长方体，其截面的面积等于与截面平
行的底面的面积．如图所示．
截面与增加的面积的关系：
分成的段数 截面数 增加的面积
2 1 2个截面的面积
3 2 4个截面的面积
4 3 6个截面的面积
5 4 8个截面的面积
n－1 2×(n－1)个
n
(n≥2) 截面的面积
【例6】 如图所示，一根长2米的长方体木料锯成4段，这根木料的表面积比原来增加了72
平方厘米，则这根木料原来的体积是多少？
分析：木料被锯成4段，实际上可以看成用3个平面去截一个长方体，每个截面处增加2个相
等的面，共增加了3×2＝6个面，这6个面的面积和是72平方厘米，可先求出每个面的面积，再求
体积．
解：因为将木料锯成4段，则表面积多出6个面，且每个面的面积相等，所以72÷6＝12(平方
厘米)．
所以原木料的体积是12×200＝2 400(立方厘米)．
答：这根木料原来的体积为2 400立方厘米．
点评：①长方体的体积＝横截面的面积×长；②注意本题单位要统一．
