文档内容
第2讲 数列求和及其综合应用（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................3
【考点一】数列求和.......................................................................................................................3
【考点二】数列的综合问题............................................................................................................5
【专题精练】.................................................................................................................................7
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：
1.数列求和重点考查分组转化、错位相减、裂项相消三种求和方法.
2.数列的综合问题，一般以等差数列、等比数列为背景，与函数、不等式相结合，考查最值、范围以及证
明不等式等.
3.主要以选择题、填空题及解答题的形式出现，难度中等．
真题自测
一、解答题
1．（2024·全国·高考真题）记 为数列{a }的前 项和，已知 ．
n
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)设 ，求数列{b }的前 项和 ．
n
2．（2024·天津·高考真题）已知数列{a }是公比大于0的等比数列．其前 项和为 ．若 ．
n
(1)求数列{a }前 项和 ；
n
(2)设 ， ．
（ⅰ）当 时，求证： ；
（ⅱ）求 ．
3．（2024·广东江苏·高考真题）设m为正整数，数列 是公差不为0的等差数列，若从中删去
两项 和 后剩余的 项可被平均分为 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列
是 可分数列．
(1)写出所有的 ， ，使数列 是 可分数列；
(2)当 时，证明：数列 是 可分数列；
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学科网（北京）股份有限公司(3)从 中任取两个数 和 ，记数列 是 可分数列的概率为 ，证明：
．
4．（2023·全国·高考真题）已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数列 ，
的前n项和， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明：当 时， ．
5．（2023·全国·高考真题）设 为数列 的前n项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
6．（2022·全国·高考真题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
7．（2022·天津·高考真题）设 是等差数列， 是等比数列，且 ．
(1)求 与 的通项公式；
(2)设 的前n项和为 ，求证： ；
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学科网（北京）股份有限公司(3)求 ．
8．（2022·北京·高考真题）已知 为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的 ，
在Q中存在 ，使得 ，则称Q为 连续可表数列．
(1)判断 是否为 连续可表数列？是否为 连续可表数列？说明理由；
(2)若 为 连续可表数列，求证：k的最小值为4；
(3)若 为 连续可表数列，且 ，求证： ．
考点突破
【考点一】数列求和
核心梳理：
1．裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有
的是相邻项抵消，有的是间隔项抵消．常见的裂项方式有：＝；
＝.
2．错位相减法求和，主要用于求{ab}的前n项和，其中{a}，{b}分别为等差数列和等比数列．
n n n n
一、解答题
1．（2024·天津·二模）已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列． ，且
．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)若
①当 为奇数，求 ；
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学科网（北京）股份有限公司②求 ．
2．（2024·河北邯郸·二模）已知正项数列{a }的前 项和为 ， ，且 ．
n
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)若 ，求数列{b }的前 项和 ．
n
3．（2024·重庆·一模）已知首项为正数的等差数列 的公差为2，前 项和为 ，满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和 ．
4．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）在数列 中 ，且满足 （ 且 ）．
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)求数列 的前 项和 ．
5．（2024·浙江宁波·二模）已知等差数列 的公差为2，记数列 的前 项和为 且满足
.
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)求数列 的前 项和 .
6．（2024·全国·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
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学科网（北京）股份有限公司(2)若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
7．（2024·全国·模拟预测）已知 是各项均为正数的数列 的前 项和， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
8．（23-24高三上·安徽合肥·期末）同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a， ，
且 ．若 则称a与b关于模m同余，记作 （modm）（“|”为整除符号）．
(1)解同余方程 （mod3）；
(2)设（1）中方程的所有正根构成数列 ，其中 ．
①若 （ ），数列 的前n项和为 ，求 ；
②若 （ ），求数列 的前n项和 ．
规律方法：
(1)分组转化法求和的关键是将数列通项转化为若干个可求和的数列通项的和或差．
(2)裂项相消法的基本思路是将通项拆分，可以产生相互抵消的项．
(3)用错位相减法求和时，应注意：①等比数列的公比为负数的情形；②在写出“S”和“qS”的表达式时
n n
应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“S－qS”的表达式．
n n
【考点二】数列的综合问题
核心梳理：
数列与函数、不等式，以及数列新定义的综合问题，是高考命题的一个方向，考查逻辑推理、数学运算、
数学建模等核心素养．解决此类问题，一是把数列看成特殊的函数，利用函数的图象、性质求解；二是将
新数列问题转化为等差或等比数列，利用特殊数列的概念、公式、性质，结合不等式的相关知识求解．
一、解答题
1．（2024·辽宁辽阳·一模）已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
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学科网（北京）股份有限公司(2)设 ，证明： .
2．（2024·广东广州·二模）已知数列 中， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，记 为 的前 项和，证明： 时， .
3．（2024·浙江·模拟预测）已知实数 ，定义数列 如下：如果
， ，则 ．
(1)求 和 （用 表示）；
(2)令 ，证明： ；
(3)若 ，证明：对于任意正整数 ，存在正整数 ，使得 ．
4．（2024·甘肃定西·一模）在 个数码 构成的一个排列 中，若一个较大的数
码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如 ，则 与 构成逆序），这个排列的所有
逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为 ，例如， ，
(1)计算 ；
(2)设数列 满足 ，求 的通项公式；
(3)设排列 满足 ，求 ，
5．（2024·河南·三模）已知数列 的前 项和为 ，若存在常数 ，使得 对任意
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学科网（北京）股份有限公司都成立，则称数列 具有性质 ．
(1)若数列 为等差数列，且 ，求证：数列 具有性质 ；
(2)设数列 的各项均为正数，且 具有性质 ．
①若数列 是公比为 的等比数列，且 ，求 的值；
②求 的最小值．
6．（2024·广东深圳·二模）无穷数列 ， ，…， ，…的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次
地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是 ﹔如果n是奇数，就对 尽可能多次地除以2，直到得
出一个奇数，这个奇数就是 ．
(1)写出这个数列的前7项；
(2)如果 且 ，求m，n的值；
(3)记 ， ，求一个正整数n，满足 ．
规律方法：
数列的“新定义问题”，主要是指定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算等，关键是将新数列转
化为等差或等比数列，或者找到新数列的递推关系，主要考查的还是数列的基础知识．
专题精练
一、单选题
1．（23-24高二下·山西晋城·阶段练习）已知数列 满足， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司2．（23-24高二上·江苏·期末）设数列 的前 项和为 ， ， ， ，则
数列 的前 项和为 （ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·江苏南京·开学考试）在数列 中，已知 ， ，则 的前11项的
和为（ ）
A．2045 B．2046 C．4093 D．4094
4．（2024·四川南充·模拟预测）如图所示的一系列正方形图案称为“谢尔宾斯基地毯”，在4个大正方形
中，着色的小正方形的个数依次构成一个数列{a }的前4项. 记 ，则下列结论正确的
n
为（ ）
A． B．
C． D． 与 的大小关系不能确定
5．（2024·全国·模拟预测）已知 是等比数列 的前n项和， ， ，若关于n的不等式
对任意的 恒成立，则实数t的最大值为（ ）
A．12 B．16 C．24 D．36
6．（2023·湖北武汉·三模）将 按照某种顺序排成一列得到数列 ，对任意 ，如果
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学科网（北京）股份有限公司，那么称数对 构成数列 的一个逆序对.若 ，则恰有2个逆序对的数列 的个数为
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．（2024·江苏徐州·一模）已知数列 的前n项和为 ，且 ， ．若 ，则正整
数k的最小值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
8．（2024·云南·模拟预测）当前，全球新一轮科技革命和产业变革蓬勃发展，汽车与能源､交通､信息通信
等领域有关技术加速融合，电动化､网联化､智能化成为汽车产业的发展潮流和趋势.某车企为转型升级，从
2024年起大力发展新能源汽车，2024年全年预计生产新能源汽车10万辆，每辆车的利润为2万元.假设后
续的几年中，经过车企关键核心技术的不断突破和受众购买力的提升，每年新能源汽车的产量都比前一年
增加 （假设每年生产的新能源汽车都能销售出去），每辆车的利润都比前一年增加2000元，则至
2030年年底，该汽车集团销售新能源汽车的总利润约为（ ）参考数据： ，结果精确到0.1）
A．320.5亿元 B．353.8亿元 C．363.2亿元 D．283.8亿元
二、多选题
9．（2024·全国·模拟预测）对函数 给出如下新定义：若在区间 上 为定值（其中 表示
不超过 的最大整数，如 ），则称 为 的一个“整元”，将区间
上从左到右所有“整元”的和称为 在 上的“整积分”，下列说法正确的是（ ）
A． 在区间 上的“整积分”为
B． 在区间 上的“整积分”为4950
C． 在区间 上的“整积分”为
D． 在区间 上的“整积分”为
10．（2024·山东济宁·三模）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，数列 的前 项和为
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学科网（北京）股份有限公司，且满足 ，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．数列 是等比数列
C．数列 是等差数列 D．若 ，则
11．（23-24高三下·江西·开学考试）已知数列 的前 项和为 ，且 ，数列
与数列 的前 项和分别为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足 ， ， ，数列 ，满足
，则数列 的前2024项的和为 ．
13．（2024·浙江·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 ，数列 的前 项和为 ，
且 ，则满足 的正整数 的最小值为 .
14．（2024·江苏南通·模拟预测）定义：[x]表示不大于 的最大整数， 表示不小于 的最小整数，如
， .设函数 在定义域 上的值域为 ，记 中元素的个数为 ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司四、解答题
15．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知数列 的前n项和为 ，且满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知 ，求数列 的前n项和为 ．
16．（2024·宁夏·一模）已知公差不为零的等差数列 的前n项和为 ， ，且 ， ， 成等比
数列．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，证明： ．
17．（2024·山东菏泽·一模）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ， ，求证： ．
18．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）已知常数 ，在成功的概率为 的伯努利试验中，记 为
首次成功时所需的试验次数， 的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量 的概率分布为几何分布.
(1)对于正整数 ，求 ，并根据 ，求 ；
(2)对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为 的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验
次数的期望为 ，现提供一种求 的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败
对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是 ，即总的试验次数为 ；若第一次试验成
功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当
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学科网（北京）股份有限公司于重新试验，此时总的试验次数为 .
（i）求 ；
（ii）记首次出现连续 次成功时所需的试验次数的期望为 ，求 .
19．（2023·北京东城·一模）已知数表 中的项 互不相同，且
满足下列条件：
① ；
② .
则称这样的数表 具有性质 .
(1)若数表 具有性质 ，且 ，写出所有满足条件的数表 ，并求出 的值；
(2)对于具有性质 的数表 ，当 取最大值时，求证：存在正整数 ，使得
；
(3)对于具有性质 的数表 ，当n为偶数时，求 的最大值.
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