文档内容
11.3.2 多边形的内角和
夯实基础篇
一、单选题：
1．一个多边形的每一个外角都为72°，这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．八边形 D．十边形
【答案】A
【解析】
【分析】
多边形的外角和是360°，依此可以求出多边形的边数．
【详解】
解：∵一个多边形的每个外角都等于72°，
∴多边形的边数为360°÷72°=5．
故这个多边形的边数是5．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了多边形的外角和定理：多边形的外角和是360°．
2．一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形为（ ）
A．九边形 B．十边形 C．十一边形 D．十二边形
【答案】D
【解析】
【分析】
根据多边形内角和公式“ ”进行计算，即可得．
【详解】
解：由题意得，
，
故选D．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和，解题的关键是掌握多边形内角和公式．
3．下列哪一个角度可以作为一个多边形的内角和（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】
【分析】
利用多边形的内角和公式逐个选项进行分析即可作出判断．
【详解】
解：∵多边形内角和公式为 ，
∴多边形内角和一定是180的倍数．
∵1980°=11×180°，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了多边形内角和公式，在解题时要记住多边形内角和公式，并加以应用即可解决问题．
4．如图，从△ABC的纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE．若∠1+∠2＝230°，则∠C＝（ ）
A．230° B．130° C．50° D．110°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据∠1+∠2的度数，再利用四边形内角和定理得出∠A+∠B的度数，即可得出∠C的度数
【详解】
解：∵四边形ABDE的内角和为360°，且∠1+∠2＝230°．
∴∠A+∠B＝360°﹣230°＝130°．
∵△ABC的内角和为180°，
∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）
＝180°﹣130°
＝50°．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角与外角，掌握“四边形的内角和是360度与三角形内角和是180度”是解题关键．
5．如图， 是五边形ABCDE的3个外角，若 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据多边形内角和 ，结合计算即可．
【详解】
解： ，
，
，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查多边形内角和，熟知多边形内角和公式 是解题关键．
6．如图， （ ）．
A．180° B．270° C．360° D．540°
【答案】D
【解析】
【分析】如图，连接 ，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得 ，
，再利用三角形的内角和等于 ，四边形的内角和等于 求解即可．
【详解】
解：如图，连接 ，
则 ， ，
，
，
．
故选：D．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和定理与三角形的内角和定理，解题的关键作出辅助线，把六个角的和转化为四
边形的内角和与三角形的内角和．
7．如图，小明从正八边形（各边相等，各内角也相等）草地的一边AB上一点S出发，步行一周回到原处
在步行的过程中，小明转过的角度的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正八边形的内角和求出每个内角，再求出每次转过的角度45°，一共转8次，利用45°×8计算即可.
【详解】解：∵ABCDEFGH为正八边形，
∴每个内角为（8-2）×180°÷8=135°，
小明每转一次转过的角为180°-135°=45°，
步行一周回到原处，小明一共转八次所有转过的角度之和为45°×8=360°，
故选:D．
【点睛】
本题考查正八边形的内角和、每个内角、外角与外角和，掌握正多边形相关知识是解题关键．
二、填空题：
8．在四边形ABCD中，若∠A与∠C互补，∠B＝55°，则∠D＝_____度．
【答案】125
【解析】
【分析】
根据四边形内角和可直接进行求解．
【详解】
解：由四边形内角和可得： ，
∵∠A与∠C互补，∠B＝55°，
∴ ；
故答案为125．
【点睛】
本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和是解题的关键．
9．如果过多边形的一个顶点共有3条对角线，那么这个多边形的内角和是______度．
【答案】720
【解析】
【分析】
根据过多边形的一个顶点共有3条对角线，则这个多边形的边数是6，n边形的内角和可以表示成（n-2）
•180°，代入公式就可以求出内角和．
【详解】
解：∵过多边形的一个顶点共有3条对角线，
∴该多边形边数为6，
∴（6-2）•180°=720°，
∴这个多边形的内角和为720°，故答案为：720．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和公式，多边形的对角线，解题的关键是掌握多边形对角线规律．
10．若一个正n边形的一个内角与和它相邻的外角的度数之比是3：1，那么n _________．
【答案】8
【解析】
【分析】
设和它相邻的外角的度数为x，则这个内角为3x，根据题意列出方程，即可求解．
【详解】
解：设和它相邻的外角的度数为x，则这个内角为3x，根据题意得：
，
解得： ，
∴ ．
故答案为：8
【点睛】
本题主要考查了正多边形的内角和与外角和问题，利用方程思想解答是解题的关键．
11．若一个多边形的内角和与外角和之比是的5︰2，则这个多边形的边数是__________．
【答案】7
【解析】
【分析】
设这个多边形的边数是n，则内角和为 ，然后根据外角和是360度，即可求得边数．
【详解】
解：设这个多边形的边数是n，则
∴
解得 ；
故答案为：7．
【点睛】
本题考查了多边形的计算，理解多边形的外角和是360度，外角和不随边数的变化而变化是关键．
12．在五边形 中， ， ， ，则 的度数是______．【答案】 ##142度
【解析】
【分析】
根据平行线的性质求得 根据 ，可得 ，根据 ，以及五边形的
内角和为 ，即可求解．
【详解】
，
，
，
五边形的内角和为 ， ，
．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，垂线的定义，多边形的内角和，掌握以上知识是解题的关键．
13．如图，AB CD，AF平分∠CAB，CF平分∠ACD．(1)∠B+∠E+∠D=________；
(2)∠AFC=________．
【答案】
【解析】
【分析】
（1）由两直线平行同旁内角互补解得 ，再由五边形内角和540°即可解答；（2）由角平分线的性质，解得 ，根据两直线平行同旁内角互补解得
，最后由三角形内角和180°解答．
【详解】
解：（1） AB CD，
五边形的内角和为
∠B+∠E+∠D=
故答案为： ；
（2） AB CD，
AF平分∠CAB，CF平分∠ACD
故答案为： ．
【点睛】
本题考查平行线的性质、五边形内角和、角平分线的性质等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
14．如图，将等边三角形、正方形和正五边形按如图所示的位置摆放． ，则 ＝___．
【答案】 ##42度
【解析】
【分析】
利用多边形的外角和定理，即 减去等边三角形的一个内角的度数，减去正五边形的一个内角的度数，
减去正方形的一个内角的度数，再减去 和 的度数，最后得出答案．【详解】
等边三角形的内角的度数是 ，正方形的内角的度数为 ，正五边形的内角的度数是
，
则 ．
故答案为：
【点睛】
此题考查了多边形外角和定理，正多边形内角和公式，熟练掌握相关知识及正确运算是解题关键．
三、解答题：
15．一个多边形的外角和是它的内角和的 ，求这个多边形的边数和内角和．
【答案】11，
【解析】
【分析】
n边形的内角和是(n−2)180°，外角和是360°，根据一个多边形的内角和与外角和的关系，得到一个关于n
的方程，解得边数n，即⋅ 可求得内角和．
【详解】
解：设这个多边形是n边形，
由题意，得 ，解得 ．
故这个多边形的内角和是 ，
∴这个多边形是十一边形，其内角和为1620°．
【点睛】
本题主要考查了多边形的外角和与内角和，熟练掌握n边形内角和为(n−2)180°、外角和为360°是解题的关
键． ⋅
16．如图，已知在四边形 中， ， ．(1) 的度数为___________；
(2)若 的平分线交边 于点E，且 ，求 的度数．
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）根据四边形的内角和求解即可；
（2）根据平行线的性质，求出∠BCE的度数，根据 ，求出∠BCD的度数，即可得出∠D
的度数．
(1)
∵在四边形ABCD中，∠A=70°，∠B=140°，
∴∠BCD+∠D=
；
故答案为：150°；
(2)
，
，
，
，
平分∠BCD，
，
．
【点睛】
本题主要考查了四边形的内角和，角平分线的定义和平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．17．小红把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中 ， ， ，
，求 的度数．
【答案】
【解析】
【分析】
如图，由三角形的外角的性质可得： 可得 再利
用三角形的内角和求解 再利用四边形的内角和求解
再求解 从而可得结论．
【详解】
解：如图，由三角形的外角的性质可得：【点睛】
本题考查的是三角形的内角和，四边形的内角和定理，三角形的外角的性质，平角的定义，掌握以上知识
是解题的关键．
能力提升篇
一、单选题：
1．一个多边形减去一个角后，所得多边形的内角和是 ，则这个多边形的边数不可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解析】
【分析】
根据多边形的内角和求出减去一个角后的多边形的边数即可判断．
【详解】
解：由题意得，
，解得 ，
由于减去一个角后边数为6，则这个多边形不可能为四边形，
故选A．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形的边数与内家和的关系是解题的关键．
2．马小虎在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和等于 ，则该多边形的边数是
( )
A．7 B．8 C．7或8 D．无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】
n边形的内角和是（n-2）•180°，即为180°的（n-2）倍，多边形的内角一定大于0度，小于180度，因而
多边形中，除去2个内角外，其余内角和与180度的商加上2，以后所得的数值，比这个数值大1或2的整
数就是多边形的边数．
【详解】
设少加的2个内角和为x度，边数为n．
则（n-2）×180=830+x，
即（n-2）×180=4×180+110+x，因此x=70，n=7或x=250，n=8．
故该多边形的边数是7或8．
故选C．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和定理，正确理解多边形内角的大小的特点，以及多边形的内角和定理是解决本
题的关键．
3．小敏利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如你从点A出发，沿直线走10米后向左转
度，接着沿直线前进10米后，再向左转 度……如此下去，当她第一次回到A点时，发现自己走了100
米，则 的度数为（ ）
A．36° B．40° C．45° D．60°
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出当小敏第一次回到 点时，她走过的路径是一个正十边形，再根据正多边形的外角和等于 求解
即可得．
【详解】
解：因为 ，
所以当小敏第一次回到 点时，她走过的路径是如图所示的正十边形，所以 ，
故选：A．
【点睛】
本题考查了正多边形的外角和，熟练掌握正多边形的外角和等于 是解题关键．
二、填空题：
4．已知一个多边形的内角和再加上一个外角共 , 则这个多边形的边数是________
【答案】5
【解析】
【分析】
设多边形的边数是 ，加的外角为 ，根据多边形的内角和公式（n－2）•180°可知，多边形的内角和是
180°的倍数，然后列式求解即可．
【详解】
解：设多边形的边数是 ，加的外角为 ，
∵600÷180＝3余60°，且多边形的内角和公式（n－2）•180°，
∴n－2＝3，a＝60°，
∴n＝5，,
即这个多边形的边数是 5．
故答案为：5
【点睛】
本题考查了多边形的内角和公式，利用好多边形的内角和是180°的倍数是解题的关键．
5．一个凸多边形最小的一个内角为100°，其他的内角依次增加10°，则这个多边形的边数为_____．
【答案】8
【解析】
【详解】
设该凸多边形的边数为n (n为正整数且n>2). 将该多边形的内角按角度从小到大排列后，第n个内角的角
度为 .
按从小到大以及从大到小的顺序分别写出该多边形的各个内角的角度：
；
.可以发现，上下两行对应角度之和均等于 ，像这样的和共有n个.
因此，该凸多边形的内角和为 .
根据凸多边形的内角和公式，该凸多边形的内角和为 .
根据上述结论，可以列出关于n的方程：
，
解之，得 n=9，n=8.
1 2
①当n=9时，该凸多边形最大的内角的角度为 ，不符合题意.
②当n=8时，该凸多边形最大的内角的角度为 ，符合题意.
故本题应填写：8.
点睛：
本题考查了凸多边形内角和的相关知识. 本题的难点在于如何获得该多边形内角角度的表达式以及由这些
表达式得到的内角和的表达式. 本题的一个易错点在于忽略对所得最终结果合理性的检验. 另外，运用将
两列排列顺序相互颠倒的内角角度相加的方式求解内角和的表达式，是数学中的重要方法.
6．小明在用计算器计算一个多边形的内角和时，得出的结果为2005°，小芳立即判断他的结构是错误的，
小明仔细地复算了一遍，果然发现自己把一个角的度数输入了两遍.你认为正确的内角和应该是________．
【答案】1980
【解析】
【详解】
解：设多边形的边数为n，多加的角度为α，则
（n-2）×180°=2005°-α，
当n=13时，α=25°，
此时（13-2）×180°=1980°，α=25°
故答案为1980．
三、解答题：
7．在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的 倍还大 ．
（1）求这个多边形的边数；
（2）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？
【答案】（1）9；（2）1080º或1260º或1440º．
【解析】【分析】
（1）设多边形的一个外角为 ，则与其相邻的内角等于 ，根据内角与其相邻的外角的和是
列出方程，求出 的值，再由多边形的外角和为 ，求出此多边形的边数为 ；
（2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，根据多边形的内角
和定理即可求出答案．
【详解】
解：（1）设每一个外角为 ，则与其相邻的内角等于 ，
，
，即多边形的每个外角为 ，
∵多边形的外角和为 ，
∴多边形的外角个数为： ，
∴这个多边形的边数为 ；
（2）因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，
①若剪去一角后边数减少1条，即变成 边形，
内角和为 ，
②若剪去一角后边数不变，即变成 边形，
内角和为 ，
③若剪去一角后边数增加1，即变成 边形，
内角和为 ，
∴将这个多边形剪去一个角后，剩下多边形的内角和为 或 或 ．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和定理，外角和定理，多边形内角与外角的关系，熟练掌握相关知识点是解题的
关键．
8．阅读并解决下列问题：
（1）如图①， 中， ， 、 的平分线交于点D，则 ______．
（2）如图②，五边形 中， ，EF平分 ， 平分 ，若 ，求
的度数．图① 图②
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）先根据三角形内角和及角平分线求出 ，然后再根据三角形内角和求出 的
度数即可．
（2）首先根据 得出 ，然后根据五边形内角和求出 ，由角平分
线的性质进而得出 ，再根据四边形内角和即可求出 的度数．
【详解】
（1） ， 分别平分 、 ，
， ，
，
，
，
，
．
（2）∵EF平分 ，CF平分 ，
设 ， ，
∵ ，
∴ ，
∵五边形的内角和为 ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∵ ，∴ ．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和、平行线的性质及角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握多边形内角和的求
法及灵活运用角平分线的性质．
9．如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形，如图，就是一
组正多边形，观察每个正多边形中∠ 的变化情况，解答下列问题．
（1）将如表的表格补充完整：
正多边形的边数 3 4 5 6 …… n
∠ 的度数 ……
（2）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠ ＝20°？若存在，求出n的值；若不存在，请说明
理由．
【答案】（1） ， ， ， ， ；（2）存在，
【解析】
【分析】
（1）根据计算、观察，可发现规律：正n边形中的∠α= ；
（2）根据正n边形中的∠α= ，可得答案．
【详解】
解：（1）观察上面每个正多边形中的 ，填写下表：
正多边形边
3 4 5 6
数
的度数
故答案为： ， ， ， ， ；
（2）存在，理由如下：设存在正 边形使得 ，
得 ．
解得： ，
存在正 边形使得 ．
【点睛】
本题考查了多边形内角与外角，每题都利用了正多边形的内角： ，三角形的内角和定理，等腰
三角形的两底角相等．
思维拓展篇
1．阅读材料：
如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形．
结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C．
结论应用举例：
如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数．
解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2，
在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，
即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，
∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°
即五角星的五个内角之和为180°．
解决问题：
（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ ；
（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ；
（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝ ；
（4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝ ；
请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程．【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）1080°；过程见解析
【解析】
【分析】
（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，再由四边形的内角和定理得出结论；
（2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论；
（3）连接BH、DE，由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，再根据五边形的内角和定理
得出结论；
（4）连接ND、NE，由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，再由六边形的内角和定理得出结
论．
【详解】
解：（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋
∠F＝360°；
（2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋
∠G＝540°；
（3）连接BH、DE，
∵由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝五边形CDEFG的内角和＋△ABH的内角和＝540°＋
180°＝720°；
（4）连接ND、NE，
∵由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝六边形BCFGHM的内角和＋△AND的内
角和＋△NDE的内角和＝（6－2）×180°＋360°＝1080°．故答案为：360°；540°；720°；1080°．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，利用△AOD和△BOC叫做对顶三角形的性质及
多边形的内角和定理解答是解答此题的关键．
