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专题 10 导数压轴解答题（综合类）
导数中的解答类压轴题绕不开的两大永恒问题：不等式的证明和参数范围问题，由于上一专
题我们着重讲了不等式的证明，本专题我们重点就相关的参数问题和函数零点等诸多综合性问题
作一个系统性的研究，方便大家学习掌握。
一、热点题型归纳
题型1.含参问题之端点效应
题型2.含参问题之分离变量法
题型3.含参问题之分类讨论法
题型4.含参问题之最值定位法
题型5.双变量-转化同构
题型6.双变量-齐次换元法
题型7.同构函数法
题型8.函数零点型问题
题型9.隐零点问题
二、最新模考题组练
三、十年高考真题练
【题型1】含参问题之端点效应
【解题技巧】
假设题于给出含参不等式 在 上恒成立，让求参数 的取值范围，这类问题俗
称含参不等式愝成立问题.若 恰好满足 ，则称该不等式具有端点效应.具有端点效应的
含参不等式恒成立问题的一种常用的解题方法是带参讨论，寻找讨论的分界点是解题的关键.既然
要恒成立，且 ，那么 在 右侧附近函数值不能减少，所以 ，由此可得到 成立的必要条件（不一定是充分条件），从而找到讨论的分界点.
注意
1)端点赋值法（函数一般为单增或者单减，此时端点，特别是左端点起着至关重要的作用）
2)为了简化讨论，当端点值是闭区间时候，代入限制参数讨论范围。注意，开区间不一定是充分条
件。有时候端点值能限制讨论范围，可以去除不必要讨论。
【典例分析】
1.（2022.河南高三期中）设函数 .（1）讨论 的单调性；（2）当 时，
，求实数 的取值范围.
【变式演练】
1.（2023.广西高三模拟）已知函数 为 的导数.（1）当 时，求
的最小值；（2）当 时， 恒成立，求 的取值范围.
2.设函数 .（1）若 ，求 的单调区间；（2）若当 时， ，
求 的取值范围.
【题型2】含参问题之分离变量法
【解题技巧】
1）利用分离参数法来确定不等式 ,（x∈D,λ为实参数）恒成立中参数λ的取值范围
的基本步骤:①将参数与变量分离,即化为 （或 ）恒成立的形式；②求在 上的最大（或最小）值；若分离参数后，所求最值恰好在“断点处”，则可以通过
洛必达法则求出“最值”；③解不等式 (或 ) ,得λ的取值范
2)重要结论
λ≥f(x)恒成立⇔ λ≥f(x) ；λ≤f(x)恒成立⇔ λ≤f(x) ；
max min
λ≥f(x)能成立⇔ λ≥f(x) ；λ≤f(x)能成立⇔ λ≤f(x) 。
min max
3）参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：
（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则
参变分离法可行.但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此
时要考虑其他方法.
（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复
杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题。
注意：
1.若分离参数后，所求最值恰好在“断点处”，则选填题可以通过洛必塔法则求出“最值”，若解
答题最好不用此法，转入分类讨论或最值定位即可。
【典例分析】
1．（2022·江苏·姜堰中学高三阶段练习）已知函数 ， .
(1)证明：对 ，直线 都不是曲线 的切线；
(2)若 ，使 成立，求实数 的取值范围.
【变式演练】
1．（2022·河南·高三阶段练习）已知函数 .(1)当 时，求曲线 在点
处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若 在 上恒成立，求整数
的最小值.
2．（2022·四川·蓬溪高三阶段练习）已知函数 (1) 时，求函数
在点 处的切线方程(2)若函数 在 处取得极值，对 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
【题型3】 含参问题之分类讨论法
【解题技巧】
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解：如果能转化为二次不等式恒成
立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法( ， 或 ， )来进行分类讨论。
【典例分析】
1.（2022·江西江西·高三阶段练习）已知函数 ， 是 的导函
数．(1)讨论 的单调性；(2)是否存在 ，使得 ，对 恒成立？若存在，
请求出 的所有值；若不存在，请说明理由．（参考数据： ， ）
【变式演练】
1．（2022·山东·滕州市高三阶段练习）已知函数 。(1)当 时，求
在 上的值域；(2)当 时， ，求实数a的取值范围.
2．（2022·河北·高三阶段练习）函数 .(1)若 有三个解，求 的取值范围；
(2)若 ，且 ， ，求实数 的取值范围.
【题型4】 含参问题之最值定位法
【解题技巧】
1.注意是同一变量还是不同变量。 2.各自对应的是最大值还是最小值。
（1） , ,使得 成立（2） , ,使得 成立
（3） , ,使得 成立
（4） , ,使得 成立
【典例分析】
1．（2022·山东聊城·高三期中）已知函数 ．(1)讨论函数 的单调性；
(2)设 ，当 时，对任意 ，存在 ，使
，求实数m的取值范围．
【变式演练】
1．（2022·成都市锦江区模拟预测）已知函数 ， ，其中
， ．(1)试讨论函数 的极值；(2)当 时，若对任意的 ， ，
总有 成立，试求b的最大值．
2．（2022·陕西·模拟预测）已知函数 .(1)求函数 的单调区
间；(2)若对 、 ，使 恒成立，求 的取值范围.
【题型5】双变量-转化同构
【解题技巧】
若题干给出对任意的 在区间 上，关于 和 的某不等式恒成立，且该不等式对 和 具
有轮换对称性，求参数取值范围.这类问题一般根据不等式的等价变形，将原不等式化为这种同构形式，转化为函数的单调性来进一步研究参数的取值范围.
注意：1.含绝对值型，大多数都是有单调性的，所以可以通过讨论去掉绝对值。
2.去掉绝对值，可以通过“同构”重新构造函数。
【典例分析】
1.已知函数 .（1）讨论 的单调性；（2）若 ，对任意的
且 ，都有 ，求实数 的取值范围.
【变式演练】
1．（2022·安徽·合肥市高二期中）已知 的图象在 处的切线与直线
平行．（1）求函数 的极值；（2）若 ， ， ，求
实数 的取值范围．
2．（2022·四川一模（理））已知函数 的图像在 处的切线与直线
平行．(1)求函数 的单调区间；(2)若 ，且 时，
，求实数m的取值范围．
【题型6】 双变量-齐次换元法
【解题技巧】
若问题的不等式或等式中含有 两个变量，称这类题型为双变量问题，前面几个小节已经涉
及了双变量问题的一些细分题型，这一小节主要针对用换元法解决双变量问题的题型.若能将要证
明的不等式或目标代数式通过变形成关于 （或 等）的整体结构，通过将 （或等）换元成 把问题化归成单变量问题来处理.这一方法也称为“齐次换元”。
【典例分析】
1.已知函数 ，其中 .（1）若对于一切 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）在函数 的图象上取两定点 ，记直.线 的斜率为 ，是
否存在 ，使得 成立?若存在，求 的取值范围，若不存在，说明理由.
【变式演练】
1．（2022春·甘肃张掖·高三阶段练习）已知函数 为常数 ，且 在定义
域内有两个极值点.（1）求 的取值范围；（2）设函数 的两个极值点分别为 ，
求 的范围.
2．（2022·遂宁·模拟预测）已知函数 ， ，其中e为自然对数的
底数．(1)求曲线 在点 处的切线方程；(2)当 时，有
，求证：对 ，有 ；(3)若 ，且
，求实数a的取值范围．
3．（2022·四川成都·高三校考期中）已知函数 ， ．
(1)讨论函数 的单调性；(2)当 时，设 ， ，函数
有两个极值点 ．①求m的取值范围；②若 ，求 的取值范围．
【题型7】同构函数法
【解题技巧】
在某些函数方程、不等式问题中，可以通过等价变形，将方程或不等式变成左右两端结构一致的
情形，进而构造函数，运用函数的单调性来解决问题，这种处理问题的方法叫做同构。同构一般
用在方程、不等式、函数零点、反函数等相关问题中，用好同构，需要较强的观察能力和一定的
解题经验。常见同构体： ； ； ； ；
； 。
【典例分析】
1．（2022·辽宁·大连市模拟预测）已知函数 ．(1)求函数 的单调区间；
(2)设函数 ，若函数 有两个零点，求实数a的取值范围．
【变式演练】
1．（2022·云南昆明·高三阶段练习）已知函数 ，其中
(1)若 ，求 的极值；(2)若 ，求实数a的取值范围.
【题型8】函数零点型问题
【解题技巧】
已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)移项讨论法（找点或者极限法）：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式
确定参数范围；(2)分离参数（回避找点）：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)
分离函数法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．【典例分析】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ， 为函数 的导函数．
(1)若函数 在定义域内是单调函数，求实数a的取值范围；
(2)当a＝1，函数 在 内有2个零点，求实数m的取值范围．
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ．(1)求曲线 在点 处的
切线方程；(2)求函数 的极值；(3)当 时，设函数 ， ，判断
的零点个数，并证明你的结论．
2．（2022·青海·高三阶段练习）已知函数 （其中e为自然对数的底数）．(1)若
，证明：当 时， 恒成立；(2)已知函数 在R上有三个零点，求实
数a的取值范围．
【题型9】隐零点问题
【解题技巧】
解题思路：
（1）导函数（主要是一阶导函数）等零这一步，有根x 但不可解。但得到参数和x 的等量代换关
0 0
系备用；（2）知原函数最值处就是一阶导函数的零点处，可代入虚根x；（3）利用x 与参数互
0 0
化得关系式，先消掉参数，得出x 不等式，求得x 范围；（4）再代入参数和x 互化式中求得参数
0 0 0范围。
【典例分析】
1．（2022·甘肃·高三阶段练习（理））已知函数 。（1）若 ，
求函数 的单调区间；（2）若存在 ，使 成立，求整数 的最小值．
【变式演练】
1．（2022·陕西·安康市室高三阶段练习（理））已知函数 ， .(1)讨论
函数 的单调性；(2)若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
2．（2022·福建师大附中高三阶段练习）设 ， 其中 ．
(1)讨论 的单调性；(2)令 ， 若 在 上恒成立， 求 的最小值．
1. 已 知 函 数 . （ 1 ） 讨 论 的 单 调 性 ； （ 2 ） 若 对 任 意 的
恒成立，求 的取值范围.2．（2022·贵州·高三阶段练习（理））已知函数 ， ．(1)当 时，讨
论 的单调性；(2)当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围．
3．（2022·黑龙江·高三开学考试（理））已知函数 .
（1）设函数 ，求函数 的极值；
（2）若 在 上存在一点 ，使得 成立，求 的取值范围.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知 （ 且 ），
．
(1)求 在 上的最小值；(2)如果对任意的 ，存在 ，使得
成立，求实数a的取值范围．5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .(1)求函数
的单调区间；(2)设 ，若 ， ，且 ，使得 ，求
的最大值.
6．（2022·江苏南京·高三统考阶段练习）已知函数
(1)若 ，求函数 的单调区间；(2)若任意 ， ， 求a的取值范围．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)讨论函数 在 上的单调性；
(2)若函数 的图象与 的图象有三个不同的交点，求实数a的取值范围.8．（2022·河南·高三阶段练习）已知函数 .(1)若 ，求 的单调区间；
(2)是否存在实数a，使 对 恒成立，若存在，求出a的值或取值范围；若不存在，
请说明理由.
9．设函数 ， ．（1）判断函数 零点的个数，并说明理
由；（2）记 ，讨论 的单调性；（3）若 在 恒成
立，求实数 的取值范围．
10．（2022·重庆·临江中学高三开学考试）已知函数 ．(1)当 时，证明
；(2)若 存在极值点 ，且对任意满足 的 ，都有 ，求a
的取值范围．11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 （其中 为自然对数的底数）.
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
1．（2020·全国·高考真题）已知函数 .（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥ x3+1，求a的取值范围.2．（2020·全国·高考真题）已知函数f（x）=2lnx+1．（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0时，讨论函数g（x）= 的单调性．
3．（2021·天津·高考真题）已知 ，函数 ．（I）求曲线 在点 处
的切线方程：（II）证明 存在唯一的极值点（III）若存在a，使得 对任意 成立，
求实数b的取值范围．
4．（2021·北京·高考真题）已知函数 ．（1）若 ，求曲线 在点
处的切线方程；（2）若 在 处取得极值，求 的单调区间，以及其最大值与最小值．
5．（2021·全国·高考真题）设函数 ，其中 .
（1）讨论 的单调性；（2）若 的图象与 轴没有公共点，求a的取值范围.
6．（2021·全国·高考真题）已知 且 ，函数 ．（1）当 时，求
的单调区间；（2）若曲线 与直线 有且仅有两个交点，求a的取值范围．7．（2021·全国·高考真题）已知函数 ．（1）讨论 的单调性；（2）求曲
线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标．
8．（2022·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的最大值；(2)若 恰有一个零点，求a的取值范围．
9．（2022·全国·高考真题）已知函数 ，曲线 在点 处的
切线也是曲线 的切线．(1)若 ，求a；(2)求a的取值范围．10．（2022·全国·高考真题）已知函数 (1)当 时，求曲线 在点
处的切线方程；(2)若 在区间 各恰有一个零点，求a的取值范围．
