文档内容
微重点 10 子数列问题
子数列问题包括数列中的奇偶项、公共数列以及分段数列，是近几年高考的重点和热点，
一般方法是构造新数列，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列．
考点一 奇数项、偶数项
例1 (2022·淄博模拟)已知数列{a}满足a＝1，且a ＝n∈N*.设b＝a .
n 1 n＋1 n 2n－1
(1)证明：数列{b＋2}为等比数列，并求出{b}的通项公式；
n n
(2)求数列{a}的前2n项和．
n
(1)证明 由题意可知b＝a＝1，
1 1
b ＝a ＝2a ＝2(a ＋1)
n＋1 2n＋1 2n 2n－1
＝2a ＋2＝2b＋2，
2n－1 n
故b ＋2＝2(b＋2)，
n＋1 n
即＝2，
故{b＋2}是以b＋2＝3为首项，以q＝2为公比的等比数列，
n 1
所以b＋2＝3×2n－1，n∈N*，
n
故b＝3×2n－1－2，n∈N*.
n
(2)解 由(1)知，b＝3×2n－1－2，n∈N*，
n
即a ＝3×2n－1－2，n∈N*，
2n－1
由题意知a ＝k∈N*，
n＋1
故a ＝a ＋1，n∈N*，
2n 2n－1
故数列{a}的前2n项和S ＝(a＋a＋a＋…＋a )＋(a＋a＋a＋…＋a )
n 2n 1 3 5 2n－1 2 4 6 2n
＝2(a＋a＋a＋…＋a )＋n
1 3 5 2n－1
＝2[3(20＋21＋22＋…＋2n－1)－2n]＋n
＝6×－3n＝6(2n－1)－3n.
规律方法 (1)数列中的奇、偶项问题的常见题型
①数列中连续两项和或积的问题(a＋a ＝f(n)或a·a ＝f(n))；
n n＋1 n n＋1
②含有(－1)n的类型；
③含有{a }，{a }的类型；
2n 2n－1
④已知条件明确的奇偶项问题．
(2)对于通项公式分奇、偶不同的数列{a}求S 时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的
n n和，也可以把a ＋a 看作一项，求出S ，再求S ＝S －a .
2k－1 2k 2k 2k－1 2k 2k
跟踪演练1 (2022·山东学期联考)已知数列{a}满足a －a ＝a －a (n≥2)，且a ＝1，a
n n－1 n n n＋1 1 7
＝13；数列{b}的前n项和为S，且S＝.
n n n
(1)求数列{a}和{b}的通项公式；
n n
(2)若数列c＝求数列{c}的前n项和T.
n n n
解 (1)由已知可得，2a＝a ＋a (n≥2)，
n n－1 n＋1
则数列{a}为等差数列，设其公差为d，
n
由a＝a＋6d＝13，解得d＝2，
7 1
∴a＝2n－1，
n
在数列{b}中，当n＝1时，b＝S＝1，
n 1 1
当n≥2时，
b＝S－S ＝－＝3n－1，
n n n－1
当n＝1时，满足上式，∴b＝3n－1.
n
(2)因为c＝
n
则当n为偶数时，T＝c＋c＋c＋…＋c
n 1 2 3 n
＝1＋5＋…＋2n－3＋3＋…＋3n－1
＝＋
＝＋，
当n为奇数时，
T＝T ＋c＝＋(n>2)，
n n－1 n
当n＝1时，上式也成立．
综上，T＝
n
考点二 两数列的公共项
例2 已知数列{a}的前n项和S＝，{b}的前n项之积T＝ (n∈N*)．
n n n n
(1)求{a}与{b}的通项公式；
n n
(2)把数列{a}和{b}的公共项由小到大排成的数列记为{c}，求c＋c＋…＋c 的值．
n n n 1 2 20
解 (1)由S＝，
n
当n＝1时，a＝S＝2，
1 1
当n≥2时，a＝S－S ＝3n－1，
n n n－1
当n＝1时，上式也成立，
所以a＝3n－1，
n由T＝ ，
n
当n＝1时，b＝T＝2，
1 1
当n≥2时，b＝＝2n，
n
当n＝1时，上式也成立，所以b＝2n.
n
(2)数列{a}和{b}的公共项依次为21，23，25，27，…，
n n
∴21，23，25，27，…构成首项为2，公比为4的等比数列，∴c＝2×4n－1，
n
则c＋c＋…＋c ＝＝.
1 2 20
规律方法 两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数，两
个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数．
跟踪演练2 (2020·新高考全国Ⅰ)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列
{a}，则{a}的前n项和为________．
n n
答案 3n2－2n
解析 方法一 (观察归纳法)
数列{2n－1}的各项为1,3,5,7,9,11,13，…；
数列{3n－2}的各项为1,4,7,10,13，….
观察归纳可知，两个数列的公共项为1,7,13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，
则a＝1＋6(n－1)＝6n－5.
n
故前n项和为S＝＝
n
＝3n2－2n.
方法二 (引入参变量法)
令b＝2n－1，c ＝3m－2，b＝c ，
n m n m
则2n－1＝3m－2，即3m＝2n＋1，m必为奇数．
令m＝2t－1，则n＝3t－2(t＝1,2,3，…)．
a＝b ＝c ＝6t－5，即a＝6n－5.
t 3t－2 2t－1 n
以下同方法一．
考点三 分段数列
例3 已知公比大于1的等比数列{a}满足a＋a＝20，a＝8.
n 2 4 3
(1)求{a}的通项公式；
n
(2)记b 为{a}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{b }的前100项和S .
m n m 100
解 (1)由于数列{a}是公比大于1的等比数列，设首项为a，公比为q，
n 1
依题意有解得a＝2，q＝2或a＝32，q＝(舍)，
1 1
所以a＝2n，所以数列{a}的通项公式为a＝2n.
n n n
(2)方法一 由题意知，2n≤m，即n≤log m，
2
当m＝1时，b＝0.
1
当m∈[2k，2k＋1－1)时，b ＝k，k∈N*，
m
则S ＝b＋(b＋b)＋(b＋b＋…＋b)＋…＋(b ＋b ＋…＋b )＋(b ＋b ＋…＋b )
100 1 2 3 4 5 7 32 33 63 64 65 100
＝0＋1×2＋2×4＋3×8＋4×16＋5×32＋6×37
＝480.
方法二 由题意知b ＝k，m∈[2k，2k＋1)，
m
因此，当m＝1时，b＝0；
1
当m∈[2,4)时，b ＝1；
m
当m∈[4,8)时，b ＝2；
m
当m∈[8,16)时，b ＝3；
m
当m∈[16,32)时，b ＝4；
m
当m∈[32,64)时，b ＝5；
m
当m∈[64,128)时，b ＝6.
m
所以S ＝b＋b＋b＋b＋…＋b
100 1 2 3 4 100
＝0＋(1＋1)＋(2＋2＋2＋2)＋…＋(6＋6＋…＋6)
＝0＋1×2＋2×4＋3×8＋4×16＋5×32＋6×37
＝480.
所以数列{b}的前100项和S ＝480.
n 100
规律方法 解决此类问题的关键是通过阅读、理解题意求分段数列的通项，要弄清楚为什么
要分段，从什么地方开始分段．常见的题型有取整问题、求绝对值数列的和、添加部分数列
或删除部分数列等．
跟踪演练3 (2022·荆州质检)已知数列{a}的前n项和为S，满足S＝(a－1)，n∈N*.
n n n n
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)记b＝a·sin ，求数列{b}的前100项的和T .
n n n 100
解 (1)由S＝(a－1)，
n n
得S ＝(a －1)，
n＋1 n＋1
两式相减得a ＝a －a，
n＋1 n＋1 n
即a ＝－a，
n＋1 n
又当n＝1时，a＝S＝(a－1)，
1 1 1
解得a＝－，
1
所以{a}是以－为首项，－为公比的等比数列，所以a＝n.
n n(2)由(1)可知
b＝a·sin ＝k∈N，
n n
所以b，b，b，b，…，b ，b 是首项为－，公比为－的等比数列，共有50项，
1 3 5 7 97 99
所以T ＝a－a＋a－a＋…＋a －a
100 1 3 5 7 97 99
＝
＝－＋×.
专题强化练
1．(2022·青岛模拟)已知{a}为等比数列，a ，a ，a 分别是下表第一、二、三行中的数，且
n 1 2 3
a ，a ，a 中的任何两个数都不在下表的同一列，{b}为等差数列，其前n项和为S ，且a
1 2 3 n n 1
＝b－2b，S＝7a.
3 1 7 3
第一列 第二列 第三列
第一行 1 5 2
第二行 4 3 10
第三行 9 8 20
(1)求数列{a}，{b}的通项公式；
n n
(2)若c ＝[lg b]，其中[x]是高斯函数(表示不超过x的最大整数)，如[lg 2]＝0，[lg 98]＝1，
n n
求数列{c}的前100项的和T .
n 100
解 (1)由题意知a＝2，a＝4，a＝8，
1 2 3
所以等比数列{a}的公比q＝2，a＝aqn－1＝2n，
n n 1
设等差数列{b}的公差为d，
n
则2＝b－2b＝2d－b，
3 1 1
S＝＝7b＝7a，
7 4 3
所以b＝8＝b＋3d，
4 1
所以b＝2，d＝2，b＝2n.
1 n
(2)由(1)知c＝[lg (2n)]，
n
则T ＝c ＋c ＋…＋c ＝[lg 2]＋[lg 4]＋[lg 6]＋[lg 8]＋[lg 10]＋…＋[lg 98]＋[lg 100]＋…＋
100 1 2 100
[lg 200]＝4×0＋45×1＋51×2＝147.
2．(2022·济宁模拟)已知等差数列{a}的前n项和为S，且a＝9，S＝49.
n n 5 7
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)设b＝求数列{b}的前100项和．
n n
解 (1)设等差数列{a}的公差为d，
n则
解得
所以a＝1＋2(n－1)＝2n－1.
n
(2)因为b＝
n
所以数列{b}的前100项和为
n
(b＋b＋…＋b )＋(b ＋b ＋…＋b )＋(b ＋b ＋…＋b )＋…＋(b ＋b ＋…＋b )
1 2 10 11 12 20 21 22 30 91 92 100
＝(a＋a＋…＋a )＋2(a＋a＋…＋a )＋22(a＋a＋…＋a )＋…＋29(a＋a＋…＋a )
1 2 10 1 2 10 1 2 10 1 2 10
＝(1＋2＋22＋…＋29)(a＋a＋…＋a )
1 2 10
＝×＝102 300.
3．已知等比数列{b}和递增的等差数列{a}满足a＝12，b＝1，a＝5b，a＝2b.
n n 1 1 2 2 3 3
(1)求数列{a}和数列{b}的通项公式；
n n
(2)数列{a}和数列{b}中的所有项分别构成集合A和B，将A∪B的所有元素按从小到大依
n n
次排列构成一个新数列{c}，求数列{c}的前63项和S .
n n 63
解 (1)设等比数列{b}和递增的等差数列{a}的公比和公差分别为q，d(d>0)，
n n
故由a＝12，b＝1，a＝5b，a＝2b，
1 1 2 2 3 3
可得
解得或(舍去)，
故a＝12＋3(n－1)＝3n＋9，b＝3n－1.
n n
(2)b＝1，b＝3，b＝9，b＝27，b＝81，b＝243，
1 2 3 4 5 6
∴b＝a，b＝a ，b＝a ，
4 6 5 24 6 78
∴b，b 是公共项，
4 5
∴S ＝(b＋b＋b＋b＋b)＋(a＋…＋a )－(b＋b)
63 1 2 3 4 5 1 60 4 5
＝1＋3＋9＋12×60＋×3
＝6 043.
4．(2022·山东联考)已知数列{a}中，a ＝1，a ＝2，a ＝ka(k≠1)，n∈N*，a ＋a ，a ＋
n 1 2 n＋2 n 2 3 3
a，a＋a 成等差数列．
4 4 5
(1)求k的值和{a}的通项公式；
n
(2)设b＝求数列{b}的前n项和S.
n n n
解 (1)因为a＋a，a＋a，a＋a 成等差数列，
2 3 3 4 4 5
所以2(a＋a)＝a＋a＋a＋a，
3 4 2 3 4 5
得a－a＝a－a，
5 3 4 2
得(k－1)a＝(k－1)a，
2 3
因为k≠1，所以a＝a＝2，
2 3所以k＝＝2，得a＝
n
(2)由(1)知，b＝
n
当n为偶数时，设n＝2k，k∈N*，
可得S＝S ＝b＋b＋…＋b ＋b＋b＋…＋b ＝20＋22＋…＋22k－2＋(2＋4＋…＋2k)
n 2k 1 3 2k－1 2 4 2k
＝＋×＝＋，
即S＝＋；
n
当n为奇数时，设n＝2k－1，k∈N*，
可得S＝S
n 2k－1
＝b＋b＋…＋b ＋b＋b＋…＋b
1 3 2k－1 2 4 2k－2
＝20＋22＋…＋22k－2＋(2＋4＋…＋2k－2)
＝＋×
＝＋，
即S＝＋.
n
综上所述，S＝
n
