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微专题06 数列中的复杂递推式问题
【秒杀总结】
1、叠加法： ；
2、叠乘法： ；
3、构造法（等差，等比）：
①形如 (其中 均为常数 )的递推公式， ，其中 ，
构造 ，即 是以 为首项， 为公比的等比数列．
②形如 (其中 均为常数， )，可以在递推公式两边同除以 ，转化为
型．
③形如 ，可通过取倒数转化为等差数列求通项．
4、取对数法： ．
5、由 和 的关系求数列通项
（1）利用 ，化 为 ．
（2）当 不易消去，或消去 后 不易求，可先求 ，再由 求 ．
6、数列求和：
（1）错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列(公比不等于 1)对应项相乘构成的数列求和
型（2）倒序相加法
（3）裂项相消法
常考题型 数列的通项公式 裂项方法
是公差为 的等差数列
等差数列型
是公差为 的等差数列
无理型
指数型
对数型
三角型
是公差为 的等差数列
阶乘型
【典型例题】
例1．已知数列 满足 且 ，设 ，则 的值是
A． B． C． D．
【解答】解：数列 满足 且 ，①
可得 ，
当 时，可得 ，②
① ②可得 ，
即 ，
则 ， ，可得 ，
则
，
故选： ．
例2．已知数列 的通项公式为 ，其前 项和为 ，则在数列 ， ，
， 中，有理数项的项数为
A．42 B．43 C．44 D．45
【解答】解：由题意，可知：
．
．
， ， 为有理项，
又 下标3，8，15， 的通项公式为 ，
，且 ，
解得： ，
有理项的项数为 ．
故选： ．
例3．对于 ， ．
【解答】解：由已知中的等式：；
；
由以上等式我们可以推出一个一般结论：
对于 ， ．
故答案为： ．
例 4 ． 设 曲 线 在 点 处 的 切 线 与 轴 的 交 点 的 横 坐 标 为 ， 则
的值为 ．
【解答】解：由 ，得 ， ，
曲线 在 处的切线方程为 ，
取 ，得 ，
，
则
．
故答案为： ．
例5．在数1和2之间插入 个正数，使得这 个数构成递增等比数列，将这 个数的乘积记为 ，
令 ， ．
（1）数列 的通项公式为 ；
（2） ．
【解答】解：（1）设在数1和2之间插入 个正数，使得这 个数构成递增等比数列为 ，
则 ， ，即 ， 为此等比数列的公比．
，
，故答案为： ．
（ 2 ） 由 （ 1 ） 可 得 ， 又 ，
，
， ．
， ，
故答案为： ．
例6．数列 中， ，若不等式 恒成立，则实数 的取值
范围是 ．
【解答】解： ，
，
即 ，又 ，
数列 是以2为首项，1为公差的等差数列，
，
．
不等式 化为： ．
，当且仅当 时取等号，
由 ，则当 时， 取最小，最小值为，
故答案为： ， ．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）斐波那契数列 满足 ， ，设
，则 （ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】C
【解析】因为 ， ，
所以
，
所以 .
故选：C
2．（2023·全国·模拟预测）1678年德国著名数学家莱布尼兹为了满足计算需要，发明了二进制，与二
进制不同的是，六进制对于数论研究有较大帮助.例如 在六进制下等于十进制的
.若数列 在十进制下满足 ， ， ， ，则六进制
转换成十进制后个位为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】由题意可知： ， ， ，则 ， ， ， ， ，
，所以6是数列 的一个周期，又 ，则3是数列 的一个周期，且 ， ， ，
则六进制 转换成十进制的 ，因为，则有
共有674项，每一项的个
位数字均为6，所以最终的个为数字为4，即六进制 转换成十进制后个位为4.
故选： .
3．（2023秋·广东·高三统考期末）在数列 中， ，且 ，则
的值为（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
【答案】C
【解析】 ，且 ，
，
又
.故选:C.
4．（2023秋·江西·高三校联考期末）设 ，数列 中， ， ， ，则下列
选项正确的是（ ）
A．当 ， 时，则
B．当 ， 时，则
C．当 ， 时，则
D．当 ， 时，则
【答案】D
【解析】选项A：当 ， 时， ， ， ∴.数列的周期为 ，∴ ，故A不
正确；
选项B： ， 时，即 ，所以数列 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以 ，
∴ ，故选项B不正确；
选项C：当 ， 时，即 ，所以数列 是以1为首项，2为公比的等比数列，则 ，
则选项C也不正确；选项D：当 ， 时，即 ，则有 ，
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴ ，∴ 则选项D正确，
故选：D
5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 得： ， 数列 为等差数列，
又 ， ， 数列 的公差 ，
， ， .
故选：C.
6．（2023·安徽淮南·统考一模）斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此
数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，斐波那契数列 可以用如下方法定义：
，且 ，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列 ，则数列 的前
2023项的和为（ ）
A．2023 B．2024 C．2696 D．2697
【答案】D
【解析】因为 ，且 ，
所以数列 为 ，
此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列 为 ，是以6为周期的周期数列，
所以数列 的前2023项的和 ，
故选：D
7．（2023秋·江苏扬州·高三校考期末）已知数列 满足 ，且 ， ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意 ，所以有 .
又 ， ，
所以，数列 是以 为首项， 为公差的等差数列.
所以， .
所以， ，所以 .
故选：C.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，由递推知， ，所以 ，
则 ，有 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
则 ，所以
则 ，所以 .故选：C.
一、倒数变换法，适用于 （ 为常数）
二、取对数运算
三、待定系数法
1、构造等差数列法
2、构造等比数列法
①定义构造法。利用等比数列的定义 通过变换，构造等比数列的方法.
② （ 为常数）型递推式可构造为形如 的等比数列.
③ （ 为常数，下同）型递推式，可构造为形如 的等比数列.
四、函数构造法
对于某些比较复杂的递推式，通过分析结构，联想到与该递推式结构相同或相近的公式、函数，再构造
“桥函数”来求出所给的递推数列的通项公式的方法.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{ }满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，得 ， ，所以 ，又
，
所以数列 是递增数列且 ， ，所以
，
所以 ，所以 ， .当 ，得 ，由 得 ，
则 ，
同上由累加法得 ，
所以 ，所以 ，则 .
故选：C.
二、多选题
10．（2023·山西·统考一模）1202年，斐波那契在《算盘全书》中从兔子问题得到斐波那契数列1，1，
2，3，5，8，13，21 该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，人们把
这样的一列数组成的数列 称为斐波那契数列，19世纪以前并没有人认真研究它，但在19世纪末和20
世纪，这一问题派生出广泛的应用，从而活跃起来，成为热门的研究课题，记 为该数列的前 项和，则
下列结论正确的是（ ）
A． B． 为偶数
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A：由题意知： ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ，
故选项A正确；
对于B：因为该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，此数列中数字的特
点为：奇数、奇数、偶数的规律循环出现，每3个数一组，呈奇奇偶的顺序排列，而 （组）
（个），故 为奇数，选项B错误；
对于C：由题意知： ，所以
，故选项C正确；对于D： ，
故选项D正确，
故选：ACD.
11．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）斐波那契数列是数学中的一个有趣的问题，它满足： ，
，人们在研究它的过程中获得了许多漂亮的结果 某同学据此改编，研究如下问题：在数列
中， ， ，数列 的前 项和为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】因为 ，
所以 ，
，
，
，
，
所以数列从第四项起为周期数列，且周期为 ，
所以 ，故A错误，BC正确；
因为 ，
所以 ，故D错误．
故选: BC．
12．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知数列 中， ， ， ，则下列说法
正确的是（ ）
A． B． 是等比数列C． D．
【答案】ABC
【解析】 ， ， ，即 ，则 ，A正确；
显然有 ，于是得 ，
因此数列 ， 分别是以1，2为首项，2为公比的等比数列，B正确；
于是得 ， ，
则 ， ，C正确，D不正确.
故选：ABC
三、填空题
13．（2023秋·四川成都·高三树德中学校考期末）意大利数学家斐波那契于1202年写成《计算之书》，
其中第12章提出兔子问题，衍生出数列：1，1，2，3，5，8，13，….记该数列为 ，则 ，
， .如图，由三个图（1）中底角为60°等腰梯形可组成一个轮廓为正三角形（图
（2））的图形，根据改图所揭示的几何性质，计算 ______.
【答案】3
【解析】从图（2）可得到正三角形的面积等于三个等腰梯形的面积加上小正三角形的面积，
所以 ，
整理可得 ，由此可推断出 也可构成以下正三角形，
所以 ，
整理可得 ，
所以
故答案为：3.
14．（2023·全国·高三专题练习）数列 的前n项和 ，数列 满足
，则数列 中值最大的项和值最小的项和为____________．
【答案】2
【解析】因为 ，则 ，
且 ，
经验证 符合该通项，
故 ，因为 在 和 均为减函数，
故有 ，
则数列 中值最大的项为 ，最小的项为 ，
故 ，
故答案为：2.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足： ，则首项 的取值范围
是:______当 时，记 ，且 ，则整数 __________.
【答案】
【解析】由 ，可得 ，所以 ，即 ，
则 ， ，所以 ， ，
，所以
，所以
，
因为 ，所以 ，则有 ，
所以 ，则 ，
故答案为： .
16．（2023秋·江西·高三校联考阶段练习）已知数列 的各项均为正数，且前n项和 满足
，且 ， ， 成等比数列，则数列 的通项公式________．
【答案】
【解析】∵对任意 有 ，∴当 时， ，解得 或 ；
当 时，有
由
整理得 ．
∵ 各项均为正数，∴ ．
当 时， ，此时， 成立．
当 时， ，此时， 不成立，故 舍去，
所以， ．
故答案为：
17．（2023秋·北京通州·高三统考期末）已知数列 的前 项和为 ， 为数列 的前 项
积，满足 ，给出下列四个结论：
① ；② ；③ 为等差数列；④ .
其中所有正确结论的序号是______.
【答案】①③④
【解析】因为 ，所以当 时， ，解得 或 ，
又 ，所以 ，故 ，故①正确；
因为 ，可得 ，所以 ，当 时， ，
所以
，
是以 为首项， 为公差的等差数列，所以 ，则 ，故④正
确；所以 ，则 ，所以 为等差数列，故③正确；
当 时， ，又 不符合
所以 ，故②不正确.
故答案为：①③④.
18．（2023·全国·高三专题练习）在平面四边形 中， 的面积是 面积的 倍，又数列
满足 ，当 时，恒有 ，设 的前 项和为 ，则所有正确
结论的序号是___________.
① 为等比数列；② 为递减数列；③ 为等差数列；④
【答案】②③④
【解析】设 与 交于点 ， ，
，
， ， 共线，所以存在实数 ，使得 ，
所以 ，
所以 ，所以 ， ，
所以 ， ， ， 不是等比数列，①错；
因为 ，所以 ，即 ，所以 是等差数列，③正确；又因为 ，则 ，即 ， ，
所以当 时， ，即 ，
所以 是递减数列，②正确；
因为 ，
，
所以两式相减得
，
所以 ，④正确.
故答案为：②③④.
19．（2023·全国·高三专题练习）设数列 的前n项和为 ，已知 ，则
_________.
【答案】960
【解析】由 ，
当n为奇数时，有 ；当n为偶数时， ，
∴数列 的偶数项构成以2为首项，以2为公差的等差数列，
则
，
故答案为：960.
