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专题15 数列的求和方法和不等式问题
【练基础】
一、 单选题
1．（2021·北京海淀·统考模拟预测）已知数列 若 ， ，则该数列的前
六项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件,分别求出前六项,计算求和即可.
【详解】因为
可得
又因为 , ,所以
所以数列的前六项和为 .
故选:
2．（2022秋·安徽滁州·高三校考期中）若数列 满足 ，则 的前2022项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据数列奇偶交替的性质相加求和即可.
【详解】当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，
.
故选：D
3．（2022秋·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知数列 的前n项和 满足 ，若数列 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】已知 ，则有 ，做差求 ，再检验 ，求出 的通项公式，代入求 ，
裂项法求和计算结果.
【详解】 ，
当 时，
，
当 时， ， ， ，所以
.
故
，
故选：D.
4．（2022秋·河南洛阳·高三孟津县第一高级中学校考阶段练习）已知数列 满足 ，且 ，
，则 （ ）
A．2021 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意整理得 ，结合等差数列通项公式可得 ，再利用裂项相消 运算
处理．【详解】∵ ，即 ，则
∴数列 是以首项 ，公差 的等差数列
则 ，即
∴
则
故选：B．
5．（2022·安徽滁州·校考模拟预测）已知数列 的首项 ，且满足 ，记数列
的前n项和为 ，若对于任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用累加法求出 的通项公式，即可得到 ，再利用裂项相消法求出 ，
即可求出 的取值范围；
【详解】解：因为 ，所以 ， ， ，……， ，
所以 ，又 ，即 ，所以 ，
所以 ，所以
所以 的取值范围是 .
故选：C
6．（2022·广东广州·校联考三模）已知数列 满足 ， ，则数列 的前2022项和
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得出 为等差数列，即可求出 ，进而得出 ，利用裂项相消法可求出.
【详解】当 时， ；当 时 .
所以 ，所以 .
因为 ，
所以 ，
所以 是一个首项为3，公差为1的等差数列，所以 ，故 .
所以 ，
所以 .故选：A
7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足
，则下列有可能成立的是（ ）
A．若 为等比数列，则
B．若 为递增的等差数列，则
C．若 为等比数列，则
D．若 为递增的等差数列，则
【答案】B
【分析】若 为等比数列，可得 ，进而可得 可判断AC；若 为递增的等差数列，
利用累乘法可得 ，再利用裂项相消法可得 ，利用累加法可得
，进而可得 ，可判断BD.
【详解】因为 ，
∴ ，即 ，
若 为等比数列，则 的公比为 ，
∴ ，
由 ，可得 ，
∴ ，故AC错误；
若 为递增的等差数列， ，公差 ，
由 则 ，∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴
，
又 ，
∴ ，又
则 ，
∴当 时，不等式 恒成立，
故 ，故B正确，D错误.
故选：B.
8．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，
前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金
几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的 ，第2关收税金为剩余金的 ，第3关收税金为
剩余金的 ，第4关收税金为剩余金的 ，第5关收税金为剩余金的 ，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持
金多少？”．记这个人原来持金为 斤，设 ，则 （ ）
A． B．7 C．13 D．26【答案】C
【分析】根据题意求得每次收的税金，结合题意得到 ，求得 的值，代入函
数的解析式，即可求解.
【详解】由题意知：这个人原来持金为 斤，
第1关收税金为： 斤；第2关收税金为 斤；
第3关收税金为 斤，
以此类推可得的，第4关收税金为 斤，第5关收税金为 斤，
所以 ，
即 ，解得 ，
又由 ，所以 .
故选：C.
二、多选题
9．（2022秋·江苏镇江·高三扬中市第二高级中学校考期末）数列 满足 ， ，则下列说法
正确的是（ ）
A．若 且 ，数列 单调递减
B．若存在无数个自然数 ，使得 ，则
C．当 或 时， 的最小值不存在
D．当 时，
【答案】ACD
【分析】A选项，根据 求出 ，再由 求出 ，从而得到 且
，数列 单调递减，A正确；B选项，可举出反例；
C选项，由 或 时， 可证得数列 单调递减，所以最小值不存在；
D选项，对 变形为 ，采用裂项相消进行求和，结合数列的项的正负性和单
调性求出其取值范围.
【详解】A选项， ，
令 ，解得： ，
令 ，解得：
综上： 且 ，
所以 且 ，数列 单调递减，A正确；
B选项，当 时， ，
当 时， ，
所以存在无数个自然数 ，使得 ，
故B错误；
C选项，当 或 时， ，
所以数列 单调递减，所以最小值不存在，C正确；
D选项， ，
所以 ，
所以 ，
故，
因为 ， ， 单调递减，
所以当 时， ， ，
所以 ，
又因为 单调递减，所以当 时， 取得最大值，
最大值为 ，
综上： ，D正确.
故选：ACD
【点睛】由数列通项公式研究数列的性质，要对数列的通项公式进行变形，转化为熟悉的知识点进行处理，本题
D选项，要将 变形为 ，采用裂项相消进行求和，结合数
列的项的正负性和单调性求出其取值范围.
10．（2022·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知正项数列 的前 项和为 ，若 ， ，
数列 的前 项和为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 是等差数列
B．
C．
D．满足 的 的最小正整数解为
【答案】ACD【分析】根据题意得 ，整理得 ，即可判断A；由A知， ，所以
， ，即可判断B；因为 ，即 ，令
，即 ，构造函数 ，求解判断即可；根据题意得
，求和得 ，再根据题意求解判断即可.
【详解】因为 ，当 时， ，解得 ，
当 时， ，即 ，
整理得 ，所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ，又正项数列 的前 项和为 ，所以 ，故A正确；
当 时，解得 ，当 时， ，即 ，
又 ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，故B不正确；
因为 ， ，即 ，令 ，
所以原不等式为： ，即 ，
令 ，所以 ，当 时， 恒成立，
所以 在 单调递增，所以 ，所以 成立，故C正确；
因为 ，所以 ，所以
，所以，
因为 ，即 ，化简整理得： ，
当 时， ，当 时， ，
所以满足 的 的最小正整数解为 ，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】给出 与 的递推关系，求 ，常用思路是：一是利用 转化为 的递推关系，再求其通项
公式；二是转化为 的递推关系，先求出 与 之间的关系，再求 .
11．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】A选项直接由递推关系式即可求出 即可；C选项由 即可判断；B选项
由 即可判断；D选项由分组求和及等比数列求和公式即可判断.
【详解】 ，A正确；
对于 ，有 ，两式相加得 ，C正确；
由 知 ，则 ，B错误；
由偶数项均为 可得 为偶数时， ，则，则 ，D正确.
故选：ACD.
12．（2022·全国·模拟预测）已知数列 满足 ， ， 的前n项和为 ，则下列说法正确的
有（ ）
A．对任意 ， 不可能为常数数列
B．当 时， 为递减数列
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】BCD
【分析】根据递推公式、基本不等式，结合不等式放缩法、错位相减法逐一判断即可.
【详解】因为 ， ，故 .
对于A，当 时， ，即数列 为常数数列，故A错误；
对于B，当 时， ，
若存在 ，使得等号成立，则 ，故 ，故 ，
依次有 ，矛盾，故 ,
则 ，即 ，所以 为递减数列，故B正确；
对于C，由 得 ，由A，B知，当 时， ，
故 ，则 ，故 ，当n＝2时， ，此时等号成立，故C正确；
对于D，由题有 ， ，则 ，两式相减得
，
故 ，
所以
（提示： ），故D正确．
故选：BCD．
【点睛】关键点睛：利用放缩法是解题的关键.
三、填空题
13．（2022·全国·高三专题练习）若数列 满足 ， ，则其前 项和为
___________.
【答案】
【分析】利用分组求和法求得正确答案.
【详解】 ，
故答案为：
14．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列 满足 ，则数列
的前n项和为___________.
【答案】【分析】根据递推关系得出 与 ，进而求出数列 的通项公式，再利用裂项相消法即可求解.
【详解】由题意可知，因为正项数列 ，所以 ，
当 时， ，解得 或 （舍），
，
当 时， ，
由 ，得 ，解得 或 （舍）,
当 时，此式也满足 ，故正项数列 的通项公式为 ,
令 ，则
设数列 的前n项和为 ，则
.
故答案为： .
15．（2022秋·福建福州·高三福建省福州格致中学校考阶段练习）设函数 ， ，
．则数列 的前n项和 ______．
【答案】
【分析】由题设 ，讨论n的奇偶性求 的通项公式，再求 .
【详解】由题设， ，所以 ，
即 且n ≥ 2，
当 时， ，
当 时， ，
所以 ，
故答案为： .
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，点O为坐标原点，点 ，向量 ，
是向量 与 的夹角，则 的值为______．
【答案】
【分析】根据已知条件及斜率公式，结合裂项相消法即可求解.
【详解】由题意可得 是直线 的倾斜角，
∴ ，
∴
.
故答案为： .
四、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）记数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；(2)设m为整数，且对任意 ， ，求m的最小值．
【答案】(1)
(2)7
【分析】（1）由数列 与 的关系可得 ，再结合等比数列的通项可得解；
（2）利用错位相减法求出 ，结合范围即可得解.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
当 时， ，故 ，
且 不满足上式，
故数列 的通项公式为
（2）设 ，则 ，
当 时， ，
故 ，
于是 ．
整理可得 ，所以 ，
又 ，所以符合题设条件的m的最小值为7．
18．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列 满足对任意m， 都有 ，数列 是等比数列，且 ， ， .
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 .
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据条件证得数列 是等差数列，再由已知求得数列 的公差、 的公比，写出通项公式即
可；
（2）使用错位相减求和.
【详解】（1）因为对任意m， ， ，所以 ，
所以数列 是公差 的等差数列， .
设等比数列 的公比为q，因为 ， ， ，
所以 .
又因为 ，解得 ， ，
所以 ， .
（2）因为 ，
所以 ，
，
两式相减，得，
所以 .
19．（2023·全国·模拟预测）已知数列 的前n项和为 ， ， 是公差为1的等差数列.
(1)求 的通项公式；
(2)证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列的通项公式，求出 的通项公式，得到 与 的关系，得到 与 的关系，
利用累乘法即可求得 的通项公式.
（2）由（1）结论求得 ，对 进行放缩并裂项，即可得结论.
【详解】（1）当 时， ，所以 ，
则 ，即 ，
当 时， ，
则 ，即 ，
由题可知， ，故 ，当 时，
，
当 时， 满足 ，
故 的通项公式为 .
（2）证明：由（1）可知： ，
所以 ，
所以
.
20．（2023·全国·模拟预测）已知数列 的前n项和为 ， ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前n项和为 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将 代入已知式子可得 是等差数列，进而得到 的通项公式，再由 与 的关系求出 的通项公式.
（2）由裂项相消求和可得 ，再由 的单调性可求得其范围.
【详解】（1）因为 ，所以由 ，
得 ，所以 ，
所以 ，即 ．
在 中，令n=1，得 ，所以a=1．
1
所以数列 是首项为1，公差为1的等差数列，
所以 ，即： ．
当 时， ，
也适合上式，
所以数列 的通项公式为 ．
（2）由（1）知， ，
所以 ，
因为bn＞0，所以 随着n的增大而增大，所以 ，
又显然 ，所以 ，即 的取值范围为 ．
【提能力】
一、单选题21．（2020·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ．设 ， 为数列
的前 项和．若 （常数）， ，则 的最小值是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】当 时，类比写出 ，两式相减整理得 ，当 时，
求得 ，从而求得数列 和 的通项公式.；再运用错位相减法求出 ，结合 的性质，确定 的最小
值.
【详解】 ①
当 时，类比写出 ②
由①-②得 ，即 .
当 时， ，
，
③
④
③-④得，
（常数）， ，的最小值是
故选C.
【点睛】本题考查数列通项公式的求法和数列前n项和的计算方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的
合理选用.
1、已知数列 的前 项和 与 的关系式，求数列的通项公式的方法如下：
（1）当 时，用 替换 中的 得到一个新的关系，利用 便可求出当 时 的表
达式；
（2）当 时， 求出 ；
（3）对 时的结果进行检验，看是否符合 时 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如
果不符合，则应该分 与 两段来写．
2、错位相减法：若 ，其中 是等差数列， 是公比为 的等比数列，那么这个数列的前 项和即
可用此法来求．
数列前 项和 ，则 ，两式错位相减并整理即
得.
22．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 … ，设数列 满足：
,数列 的前 项和为 ，若 恒成立，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出 的通项，再求出 的通项，从而可求 ，利用参变分离可求 的取值范围.
【详解】因为 … ，
所以 … ，故 即 ，其中 .
而令 ，则 ，故 ， .
，
故
，
故 恒成立等价于 即 恒成立，
化简得到 ，因为 ，故 .
故选D.
【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是
等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；
如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 参数的数列不等式的恒成立问题，可以用参变分离的方法构建新
数列，通过讨论新数列的最值来求参数的取值范围.
23．（2022·河南·统考一模）已知数列 满足 ，则数列 的前40项
和 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知，根据题意由 可得： ，从而计算
，由 递推可得：
，结合 可得： ，从而计算，将两组和合并即可完成求解.
【详解】由已知，数列 满足 ①， ②，
② ①得； ，
所以 ，
由 递推可得： ③，
③ ②得； ，
，
所以
.
故选：D.
24．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列 满足 ， ，若 ， 是数列 的前 项
和，对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】本题首先可根据 、 得出 ，然后根据 得出 ，再然后根据错位相
减法求出 ，最后根据题意得出对任意 不等式 恒成立，根据
即可得出结果.
【详解】设等比数列 的公比为 ，
因为 ， ，所以 ，解得 ， ， ，
因为 ，所以 ， ，
则 ， ，
，
对任意 不等式 恒成立，即对任意 不等式 恒成立，
因为 ，所以 ， 的取值范围为 .
故选：C.
【点睛】方法点睛：本题考查根据数列不等式恒成立求参数的取值范围，考查数列求和，常见的数列求和方法有
等差等比公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法、倒序相加法，考查计算能力，是难题.
25．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列 的前n项和为 ，记 ，若数列
也为等比数列，则 （ ）
A．12 B．32 C． D．
【答案】D
【分析】设等比数列 的公比为q，对q分 和 两种情况进行讨论即可.【详解】解：设等比数列 的公比为q，
①当 时， ，不可能为等比数列；
②当 时， ， ，
，
若数列 为等比数列，必有 ，解得 ，有 ．
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是（1）要分 和 两种情况进行讨论；
（2）当 时，利用等比数列前n项和公式及分组求和法求出 ，然后结合等比数列通项公式即可求解.
二、多选题
26．（2023·辽宁盘锦·盘锦市高级中学校考一模）已知数列 满足 ， ， ， 为
数列 的前n项和，则下列说法正确的有（ ）
A．n为偶数时， B．
C． D． 的最大值为20
【答案】AC
【分析】对选项A，偶数项构成等比数列，即可求得通项；对选项B，检验当 时，所给表达式不满足；对选
项C，按照n为奇数和偶数分别讨论，根据 ，可直接求得；对选项D， 的最大值为【详解】根据递推关系可知，n为奇数时，
n为偶数时， ，故A对；
根据奇数项构成等差数列
可得：
而又：
则有： ，故B错误；
，故C对；
根据 中的奇数项构成等差数列，而偶数项之和不是1就是0，因此根据 特点可知：
的最大值在奇数项之和取得最大值的附近， ， ， ，
， ， ， 的最大值为 ，故D错
故选：AC
27．（2022·福建福州·福州三中校考模拟预测）已知数列 满足 ， ，则（ ）
A． 是递减数列 B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据数列单调性的判断方法，累加法，累乘法以及裂项求和法，结合已知条件，对每个选项进行逐一分
析，即可判断和选择.
【详解】对A： ，又当 时，与 矛盾，故 ，即 ，
故该数列递增数列，A错误；对B： ，
根据A知： ，即 ， ，故B正确；
对C： ，由 可得 ，
故 （当 或 时取得等号），故 ，C错误；
对D：由 可得 ，即 ，
故 ，
又 ，故 ，故 ，D正确.
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：本题考查数列的单调性，累加法，累乘法以及裂项求和法，处理问题的关键是能够根据常
见的地推关系，选择适当的方法求解，属困难题.
28．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的通项公式为 ， 是数列 的前n项
和，若 ，使 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】BC
【分析】计算出 ，将 用 和 表示，分类讨论即可.
【详解】
= ，
由题意 ，显然 ，
由题意可知， 的奇数项和偶数项分别为递增的，并且 ，
当 时， ，
所以t只能是1，2，3，
若t=1，则有 ，
，无解,m 不存在；
若t=2，则， ，
若t=3，则 ，
故t=2或3；
故选：BC.
29．（2021·湖北武汉·武汉市黄陂区第一中学校考模拟预测）设数列 的前 项和为 ，若存在实数 ，使得对
任意 ，都有 ，则称数列 为“ 数列”.则以下结论正确的是（ ）
A．若 是等差数列，且 ，公差 ，则数列 是“ 数列”
B．若 是等比数列，且公比 满足 ，则数列 是“ 数列”
C．若 ，则数列 是“ 数列”
D．若 ，则数列 是“ 数列
【答案】BC
【解析】写出等差数列的前 项和结合“ 数列”的定义判断A；写出等比数列的前 项和结合“ 数列”的定义判断B；利用裂项相消法求和判断C；当 无限增大时， 也无限增大判断D．
【详解】在A中，若 是等差数列，且 ，公差 ，则 ，当 无限增大时， 也无
限增大，所以数列 不是“ 数列”，故A错误.
在B中，因为 是等比数列，且公比 满足 ，
所以 ，所以数列 是“ 数列”，故B正确.
在C中，因为 ，所以
.所以数列 是“ 数列”，故
C正确.
在D中，因为 ，所以 ，当 无限增大时，
也无限增大，所以数列 不是“ 数列”，故D错误.
故选：BC.
【点睛】方法点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点
的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) ；（2）
； （3） ；（4）
；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.三、填空题
30．（2022·山东潍坊·昌乐二中校考模拟预测）已知向量 ， ， ，
则 ______.
【答案】
【分析】先通过数学归纳法证明出 ，然后代入式子中，利用裂项相消法进行求和计算.
【详解】 ，
，
……
.
下面用数学归纳法进行证明：
当 时， 满足题意；
假设当 时， ，
则当 时，
，
故 .∴ ，
∴ .
故答案为： .
31．（2023·全国·高三专题练习）数列 满足 ， ，则 前40项和为________．
【答案】
【分析】根据题设中的递推关系可得 、 ，利用分组求和可求 前40
项和，
【详解】当 时， ，
故
，
当 时， ，
所以 ，
所以 ，
当 时， ；
当 时，
；
当 时，；
当 时，
；
故
，
故 前40项和为 ，
故答案为：
32．（2021秋·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考阶段练习）设 为数列 的前 项和，满足 ， ，
其中 ，数列 的前 项和为 ，满足 ，则 ___________.
【答案】
【分析】首先变形等式为 ，利用累乘法，求得数列 的通项公式，以及数列 的通项公式，代入
后，利用错位相减法求和.
【详解】由题意 ，即 ，
累乘得 ，
可知 ， ，当 时， ，
所以 ，又 时， ，且当 时成立，从而有 ，
故 ，
所以 ，故 .
故答案为：
【点睛】方法技巧
常见数列的裂项方法
数列（ 为正整数） 裂项方法
（ 为非零常数）
（ 为非零常
数）
（ ， ）
注意：利用裂项相消法求和时，既要注意检验裂项前后是否等价，又要注意求和时正负项相消后消去了哪些项，
保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项.
33．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，函数 在 有极值，设 ，
其中 为不大于 的最大整数，记数列 的前 项和为 ，则 ___________.
【答案】615
【分析】根据给定条件探求出 ，再借助 的意义分析 的前100项的各个值，再求和作答.【详解】函数 ，求导得： ，
因 ，函数 在 有极值，则存在 ，有 ，解得 ，
于是得 ，即 ，而 ，
因此，数列 的前100项中有1个0，3个1，5个2，7个3，9个4，11个5，13个6，15个7，17个8，19个
9，
而 ，
所以 .
故答案为：615
【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相
关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.
四、解答题
34．（2023·山西临汾·统考一模）已知数列 ， ，满足 ， ， .
(1)证明 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)设 ，证明： .
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
【分析】（1）由 的递推公式，得 的递推公式，证明 为等比数列，得数列的通项公式；
（2）由（1）得 的通项公式，裂项求和，证明不等式.
【详解】（1）证明：因为 ， ，
所以 ，即 ，即 ，又因为 ，所以 是首项为1，公比为3的等比数列，
所以 的通项公式为 .
（2）证明：因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 .
35．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时， ，求a的取值范围；
(3)设 ，证明： ．
【答案】(1) 的减区间为 ，增区间为 .
(2)
(3)见解析
【分析】（1）求出 ，讨论其符号后可得 的单调性.
（2）设 ，求出 ，先讨论 时题设中的不等式不成立，再就 结合放缩法讨论符号，最后就 结合放缩法讨论 的范围后可得参数的取值范围.
（3）由（2）可得 对任意的 恒成立，从而可得 对任意的 恒成立，结合
裂项相消法可证题设中的不等式.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 的减区间为 ，增区间为 .
（2）设 ，则 ，
又 ，设 ，
则 ，
若 ，则 ，
因为 为连续不间断函数，
故存在 ，使得 ，总有 ，
故 在 为增函数，故 ，
故 在 为增函数，故 ，与题设矛盾.
若 ，则 ，
下证：对任意 ，总有 成立，
证明：设 ，故 ，
故 在 上为减函数，故 即 成立.
由上述不等式有 ，故 总成立，即 在 上为减函数，
所以 .
当 时，有 ，
所以 在 上为减函数，所以 .
综上， .
（3）取 ，则 ，总有 成立，
令 ，则 ，
故 即 对任意的 恒成立.
所以对任意的 ，有 ，
整理得到： ，
故
，
故不等式成立.
【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的
符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.
36．（2022·天津·统考高考真题）设 是等差数列， 是等比数列，且 ．
(1)求 与 的通项公式；
(2)设 的前n项和为 ，求证： ；
(3)求 ．【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解；
（2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证；
（3）先求得 ，进而由并项求和可得 ，再结合错位相减
法可得解.
【详解】（1）设 公差为d， 公比为 ，则 ，
由 可得 （ 舍去），
所以 ；
（2）证明：因为 所以要证 ，
即证 ，即证 ，
即证 ，
而 显然成立，所以 ；
（3）因为
，
所以
，设
所以 ，
则 ，
作差得
，
所以 ，
所以 .
37．（2020·天津·统考高考真题）已知 为等差数列， 为等比数列， ．
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）记 的前 项和为 ，求证： ；
（Ⅲ）对任意的正整数 ，设 求数列 的前 项和．
【答案】（Ⅰ） ， ；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ） .
【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列 前n项和，然后利用作差法证明即可；
(Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算 和
的值，据此进一步计算数列 的前2n项和即可.【详解】(Ⅰ)设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为q.
由 ， ，可得d=1.
从而 的通项公式为 .
由 ，
又q≠0，可得 ，解得q=2，
从而 的通项公式为 .
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得 ，
故 ， ，
从而 ，
所以 .
(Ⅲ)当n为奇数时， ，
当n为偶数时， ，
对任意的正整数n，有 ，
和 ①
由①得 ②
由①②得 ，由于 ，
从而得： .
因此， .
所以，数列 的前2n项和为 .
【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.
38．（2019·天津·高考真题）设 是等差数列， 是等比数列.已知 .
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 其中 .
（i）求数列 的通项公式；
（ii）求 .
【答案】（Ⅰ） ； （Ⅱ）（i） （ii）
【分析】(Ⅰ)由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论可得数列 的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等价变形，
结合等比数列前n项和公式可得 的值.
【详解】(Ⅰ)设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 .
依题意得 ，解得 ，故 ， .
所以， 的通项公式为 ， 的通项公式为 .
(Ⅱ)(i) .
所以，数列 的通项公式为 .
(ii)
.
