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第 2 讲 数列求和及其综合应用
一、选择题
1．数列{a}满足2a ＝a＋a ，且a，a 是函数f(x)＝x2－8x＋3的两个零点，则a 的
n n＋1 n n＋2 4 4 040 2 022
值为( )
A．4 B．－4
C．4 040 D．－4 040
2．已知函数f(x)＝xa的图象过点(4,2)，令a ＝(n∈N*)，记数列{a}的前n项和为S ，则S
n n n 2 022
等于( )
A.＋1 B.－1
C.－1 D.＋1
3．(2022·衡水模拟)已知数列{a}的前n项和为S ，若a ＝－a ，且a ＝1，a ＝2，则S
n n n＋2 n 1 2 2 023
等于( )
A．0 B．1 C．2 D．3
4．(2022·涪陵模拟)在数列{a}中，a＝(－1)n－1·(4n－3)，前n项和为S，则S －S 为( )
n n n 22 11
A．－85 B．85 C．－65 D．65
5．已知F是椭圆＋＝1的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点P(i＝1,2,3，…)，使得|
i
FP|，|FP|，|FP|，…组成公差为d(d>0)的等差数列，则公差d的最大值为( )
1 2 3
A. B. C. D.
6．(2022·西南四省名校大联考)数列{a}的前n项和为S ，且a ＋3a ＋…＋3n－1a ＝n·3n，若
n n 1 2 n
对任意n∈N*，S≥(－1)nnλ恒成立，则实数λ的取值范围为( )
n
A．[－3,4] B．[－2，2]
C．[－5,5] D．[－2－2,2＋2]
7.如图，在四边形 ABCD 中，F(n∈N*)为边 BC 上的一列点，连接 AF 交 BD 于 G ，点
n n n
G(n∈N*)满足GnFn＋2(1＋a)GnC＝a GnB，其中数列{a}是首项为1的正项数列，S 是数
n n n＋1 n n
列{a}的前n项和，则下列结论正确的是( )
n
A．a＝5
3
B．数列{a＋3}是等比数列
n
C．a＝4n－3
n
D．S＝2n＋1－3n
n
8.(2022·潍坊检测)如图，在边长为a的等边△ABC中，圆D 与△ABC相切，圆D 与圆D 相
1 2 1切且与 AB，AC 相切，…，圆 D 与圆 D 相切且与 AB，AC 相切，依次得到圆 D ，
n＋1 n 3
D，…，D.设圆D，D，…，D 的面积之和为X(n∈N*)，则X 等于( )
4 n 1 2 n n n
A.πa2n－1
B.πa2
C.πa2
D.πa2
二、填空题
9．在数列{a}中，a ＝3，对任意m，n∈N*，都有a ＝a ＋a ，若a ＋a ＋a ＋…＋a＝
n 1 m＋n m n 1 2 3 k
135，则k＝________.
10．已知数列{a}满足a ＝n2＋λn，n∈N*，若数列{a}是单调递增数列，则λ的取值范围是
n n n
______．
11．已知函数f(n)＝且a＝f(n)＋f(n＋1)，则a＋a＋a＋…＋a＝________.
n 1 2 3 8
12．(2022·聊城质检)某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数列中相
邻两项的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推不断得到新的数列．如图，第一
行构造数列1,2；第二行得到数列1,2,2；第三行得到数列1,2,2,4,2，…，则第5行从左数起
第6个数的值为________．用A 表示第n行所有项的乘积，若数列{B}满足B ＝log A ，则
n n n 2 n
数列{B}的通项公式为________．
n
三、解答题
13．(2022·烟台模拟)已知等差数列{a}的前n项和为S，a＝9，S＝15.
n n 4 3
(1)求{a}的通项公式；
n
(2)保持数列{a}中各项先后顺序不变，在a 与a (k＝1,2，…)之间插入2k个1，使它们和原
n k k＋1
数列的项构成一个新的数列{b}，记{b}的前n项和为T，求T 的值．
n n n 100
14．(2022·宜宾模拟)在①S＝(a－1)(n＋2)；②S－(n2＋2n－1)S－(n2＋2n)＝0，a>0这两个
n n n n
条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．
问题：已知数列{a}的前n项和为S，满足____．记数列的前n项和为T.
n n n
(1)求{a}的通项公式；
n
(2)求T.
n
