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第 04 讲 数列求和
本讲为高考命题热点，分值12-17分，题型多变，选择题，填空题，解答题都会出现，
选择填空题常考等差等比数列的性质，大题题型多变，但对于文科来讲常考察基本量的计
算与数列求和，对于理科考点相对难度较大，比如新定义，奇偶列等，考察逻辑推理能力
与运算求解能力.
考点一 特殊数列的求和公式
(1)等差数列的前n项和公式：
S ＝＝na ＋d.
n 1
(2)等比数列的前n项和公式：
S ＝
n
考点二 数列求和的几种常用方法
(1)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.
(2)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得
其和.
(3)错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，
这个数列的前n项和可用错位相减法求解.
(4)倒序相加法
如果一个数列{a }的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同
n
一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.
高频考点一 分组转化法
【例1】数列{a }的通项公式是a ＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前100项之和为(
n n
)A.－200 B.－100
C.200 D.100
【答案】D
【解析】S ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.
100
【例2】(2022·合肥质检)已知数列{a }的首项为－1，a a ＝－2n，则数列{a }
n n n＋1 n
的前10项之和等于________.
【答案】31
【解析】因为a a ＝－2n，所以a a ＝－2n＋1，因此＝2，
n n＋1 n＋1 n＋2
所以{a }的奇数项和偶数项均为公比为2的等比数列，
n
又a ＝－1，a ＝＝2，
1 2
∴S ＝(a ＋a ＋…＋a )＋(a ＋a ＋…＋a )
10 1 3 9 2 4 10
＝＋＝－31＋2×31＝31.
【方法技巧】
1.若数列{c }的通项公式为c ＝a ±b ，且{a }，{b }为等差或等比数列，可采用
n n n n n n
分组求和法求数列{c }的前n项和.
n
2.若数列{c }的通项公式为c ＝其中数列{a }，{b }是等比数列或等差数列，可
n n n n
采用分组求和法求{c }的前n项和.
n
3.求解此类求和问题需过两关：第一关，拆分关，即观察数列的通项公式的结
构特征，拆分为若干个可求和的简单数列(如等差数列、等比数列)；第二关，
求和关，对各个简单数列分别求和，最后合并为待求数列的前n项和.
【跟踪训练】
1.(2021·江南名校联考)在一个数列中，如果∀n∈N*，都有a a a ＝k(k为常
n n＋1 n＋2
数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积.已知数列{a }是等积
n
数列，且a ＝1，a ＝2，公积为8，则a ＋a ＋…＋a ＝________.
1 2 1 2 2 021
【答案】4 714
【解析】根据a ＝1，a ＝2及a a a ＝8，
1 2 n n＋1 n＋2
得a ＝4，a ＝1，a ＝2，a ＝4，…，
3 4 5 6
易知数列{a }是周期为3的周期数列，
n
且a ＋a ＋a ＝7(n∈N*)，
n n＋1 n＋2
所以a ＋a ＋…＋a ＝(a ＋a )＋(a ＋a ＋a )×673
1 2 2 021 1 2 3 4 5＝1＋2＋(1＋2＋4)×673＝4 714.
2.(2022·衡水质检)已知等差数列{a }的前n项和为S ，a ＝9，S ＝25.
n n 5 5
(1)求数列{a }的通项公式及S ；
n n
(2)设b ＝(－1)nS ，求数列{b }的前n项和T .
n n n n
【解析】(1)设数列{a }的公差为d，由S ＝5a ＝25得a ＝a ＋2d＝5，
n 5 3 3 1
又a ＝9＝a ＋4d，所以d＝2，a ＝1，
5 1 1
所以a ＝2n－1，S ＝＝n2.
n n
(2)结合(1)知b ＝(－1)nn2，当n为偶数时，
n
T ＝(b ＋b )＋(b ＋b )＋(b ＋b )＋…＋(b ＋b )
n 1 2 3 4 5 6 n－1 n
＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋(－52＋62)＋…＋[－(n－1)2＋n2]
＝(2－1)(2＋1)＋(4－3)(4＋3)＋(6－5)(6＋5)＋…＋[n－(n－1)][n＋(n－1)]
＝1＋2＋3＋…＋n＝.
当n为奇数时，n－1为偶数，
T ＝T ＋(－1)n·n2＝－n2＝－.
n n－1
综上可知，T ＝.
n
高频考点二 裂项相消求和
【例3】(2021·太原调研)已知等比数列{a }的前n项和为S (S ≠0)，满足S ，S ，
n n n 1 2
－S 成等差数列，且a a ＝a .
3 1 2 3
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)设b ＝，求数列{b }的前n项和T .
n n n
【解析】(1)设数列{a }的公比为q，依题意有S －S ＝2S ，
n 1 3 2
∴－(a ＋a )＝2(a ＋a )，即－q(a ＋a )＝2(a ＋a )，
2 3 1 2 1 2 1 2
又S ≠0，知a ＋a ＝S ≠0，
n 1 2 2
所以q＝－2，
又a a ＝a ，知a ＝q＝－2，
1 2 3 1
所以{a }的通项公式a ＝(－2)n.
n n
(2)结合(1)知b ＝
n
＝
＝－，
所以T ＝－＋－＋…＋－
n＝－＝－1－.
【方法技巧】
1.用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：＝(－)，＝(－)，裂项后可以
产生连续相互抵消的项.
2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒
数第几项.
【跟踪训练】
1.设数列{a }的前n项和为S ，已知S ＝2，a ＝S ＋2.
n n 1 n＋1 n
(1)证明：{a }为等比数列；
n
(2)记b ＝log a ，数列的前n项和为T ，若T ≥10恒成立，求λ的取值范围.
n 2 n n n
【解析】(1)证明 由已知，得a ＝S ＝2，a ＝S ＋2＝4，
1 1 2 1
当n≥2时，a ＝S ＋2，
n n－1
所以a －a ＝(S ＋2)－(S ＋2)＝a ，
n＋1 n n n－1 n
所以a ＝2a (n≥2).
n＋1 n
又a ＝2a ，所以＝2(n∈N*)，
2 1
所以{a }是首项为2，公比为2的等比数列.
n
(2)解 由(1)可得a ＝2n，所以b ＝n.
n n
则＝＝λ，
T ＝λ
n
＝λ，
因为T ≥10，所以≥10，从而λ≥，
n
因为＝10≤20，
所以λ的取值范围为[20，＋∞).
高频考点三 错位相减法求和
【例4】 (2022·天津南开区调研)已知数列{a }是等差数列，数列{b }是等比数
n n
列，且a ＝1，a ＋a ＝12，b ＝a ，b ＝a .
1 3 4 1 2 2 5
(1)求{a }和{b }的通项公式；
n n
(2)设c ＝(－1)na b (n∈N*)，求数列{c }的前n项和S .
n n n n n
【解析】(1)设等差数列{a }的公差为d，
n
因为a ＝1，a ＋a ＝12，
1 3 4所以2a ＋5d＝12，所以d＝2，
1
所以a ＝2n－1.
n
设等比数列{b }的公比为q，因为b ＝a ，b ＝a ，
n 1 2 2 5
所以b ＝a ＝3，b ＝9，
1 2 2
所以q＝3，所以b ＝3n.
n
(2)由(1)知，a ＝2n－1，b ＝3n，
n n
所以c ＝(－1)n·a ·b ＝(－1)n·(2n－1)·3n＝(2n－1)·(－3)n，
n n n
所以S ＝1·(－3)＋3·(－3)2＋5·(－3)3＋…＋(2n－1)·(－3)n，①
n
则－3S ＝1·(－3)2＋3·(－3)3＋…＋(2n－3)·(－3)n＋(2n－1)·(－3)n＋1②
n
①－②得，4S ＝－3＋2·(－3)2＋2·(－3)3＋…＋2·(－3)n－(2n－1)·(－3)n＋1
n
＝－3＋－(2n－1)·(－3)n＋1
＝－·(－3)n＋1，所以S ＝－·(－3)n＋1.
n
【方法技巧】
1.一般地，如果数列{a }是等差数列，{b }是等比数列，求数列{a ·b }的前n项
n n n n
和时，可采用错位相减法.
2.用错位相减法求和时，应注意：
(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.
(2)在写出“S ”与“qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下
n n
一步准确地写出“S －qS ”的表达式.
n n
【跟踪训练】
1.(2020·全国Ⅲ卷)设数列{a }满足a ＝3，a ＝3a －4n.
n 1 n＋1 n
(1)计算a ，a ，猜想{a }的通项公式并加以证明；
2 3 n
(2)求数列{2na }的前n项和S .
n n
【解析】(1)由a ＝3，a ＝3a －4n，得a ＝5，a ＝7.
1 n＋1 n 2 3
猜想a ＝2n＋1.证明如下：
n
由a ＝3a －4n，得a ＝3a －4n＋4(n≥2)，
n＋1 n n n－1
则a －(2n＋1)＝3[a －(2n－1)].
n n－1
又a ＝3，知a －3＝0，所以a －(2n＋1)＝0，
1 1 n
则a ＝2n＋1.
n
(2)由(1)得2na ＝(2n＋1)2n，
n所以S ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n.①
n
从而2S ＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n＋1)×2n＋1.②
n
①－②得
－S ＝3×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n＋1)×2n＋1，
n
所以S ＝(2n－1)2n＋1＋2.
n
