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第一篇 热点、难点突破篇
专题 13 数列的通项与数列的求和（练）
【对点演练】
一、单选题
1．（2022·四川宜宾·统考模拟预测）南宋数学家杨辉给出了著名的三角垛公式：
，则数列 的前 项和为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】因为 ，根据题意结合分组求和运算求解.
【详解】∵ ，
由题意可得：数列 的前 项和为 ，
又∵ ，
∴数列 的前 项和
.
故选：A.
2．（2022秋·浙江金华·高三期末）1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造
过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间 平均分成三段，去掉中间的一段，剩
下两个闭区间 和 ；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四
段闭区间： ， ， ， ；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历 步构造后，所有去掉的区间长度和为（ ） （注： 或 或 或 的区间长度均为
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据“康托尔三分集”的定义，分别求得前几次的剩余区间长度的和，求得其通项公式，可得第 次
操作剩余区间的长度和，即可得解.
【详解】解：将定义 的区间长度为 ，根据“康托尔三分集”的定义可得：
每次去掉的区间长组成的数为以 为首项， 为公比的等比数列，
第1次操作去掉的区间长为 ，剩余区间的长度和为 ，
第2次操作去掉两个区间长为 的区间，剩余区间的长度和为 ，
第3次操作去掉四个区间长为 的区间，剩余区间的长度和为 ，
第4次操作去掉8个区间长为 ，剩余区间的长度和为 ，
第 次操作去掉 个区间长为 ，剩余区间的长度和为 ，
所以 ；
设定义区间为 ，则区间长度为1，
所以第 次操作剩余区间的长度和为 ，则去掉的区间长度和为 .
故选：B
3．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）中国古代的武成王庙是专门祭祀姜太公以及历代良臣名将的
庙宇，这类庙宇的顶部构造颇有讲究.如图是某武成王庙顶部的剖面直观图，其中 ， ，
，且数列 是第二项为 的等差数列.若以 为坐标原点，以 ，
分别为 ， 轴正方向建立平面直角坐标系，则直线 的斜率为（ ）
A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.55
【答案】A
【分析】根据数列 是第二项为 的等差数列可得 ，令 ，则根据题干可得：
，再根据等差数列的性质即可求解.
【详解】由题意可知： ，令 ， ，因为 ，
所以 ，
因为数列 是第二项为 的等差数列，
设公差为 ，则 ，因为 ，所以 ，同理
则直线 的斜率 ，
故选： .
4．（2022秋·北京·高三统考阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋
数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.如图，若在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按
“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则此数列的前20项的和
为（ ）
A．350 B．295 C．285 D．230
【答案】C
【分析】利用分组求和法和组合数的性质进行求解即可
【详解】记此数列的前20项的和为 ，则
，
故选：C.
二、多选题
5．（2022秋·吉林·高三东北师大附中校考阶段练习）十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明
的.明万历十二年（公元1584年），他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论.十二平均律的数学意义是：
在1和2之间插入11个数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为M，则
依此规则，下列结论正确的有（ ）
A． B．该等比数列的公比为C．插入的第9个数是插入的第5个数的 倍D．
【答案】CD
【分析】首先根据题意求出等比数列的公比以及 ，可以判断BCD，再利用不等式证明A即可说明A错误.
【详解】由题意知，该数成等比数列记为 ，公比记为 ，则 ， ，由等比数列性质可知
，解得 ，故B错误； 记插入的11个数之和为M，则
，则D正确；因为 ，则插入的第9个数是
，插入的第5个数为 ，则 ，故C正确；对于A，若 ，
则 ，化简得
，即 ，即 ，但 ，故A错误.
故选：CD
三、填空题
6．（2022秋·湖北·高三校联考期中）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数
学著作 孙子算经 卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五
数之剩三，七七数之剩二，问物几何 现有这样一个相关的问题：被 除余 且被 除余 的正整数按照从小到
大的顺序排成一列，构成数列 ，记数列 的前 项和为 ，则 的最小值为__________．
【答案】
【分析】先由“两个等差数列的公共项构成的新的等差数列的公差为两个等差数列公差的最小公倍数”得 ，再应用基本不等式求得 的最小值.
【详解】解：被 除余 且被 除余 的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为 ，公差为
的等差数列 ，则
∴
当且仅当 ，即 时，等号成立，
∴ 的最小值为 ．
故答案为： .
四、解答题
7．（2022·上海浦东新·统考一模）已知数列 是公差不为0的等差数列， ，且 ， ， 成等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)求当n为何值时，数列 的前n项和 取得最大值.
【答案】(1) ；
(2) 或 时， 取得最大值.
【分析】（1）根据题意列出关于公差 的方程，求得d，可得答案；
（2） 等差数列的前n项和公式求 ，结合二次函数性质求最大值.
【详解】（1）设数列 的公差为d， ，由 ， ， 成等比数列，得 ，即
，解得 .
所以数列 的通项公式为 .（2）由
得 ， ，
当 或5时， 取得最大值，最大值为10.
8．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知数列 满足
.
(1)令 ，求证：数列 为等差数列，并求 ;
(2)记 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】(1)当 为奇数时，可得 ，即可证明数列 的奇数项成等差数列，且首项为 ，公差
为 ，根据公式即可得通项公式；
(2)当 为偶数时，可得 ， 即可得 的偶数项 成等比数列，首项为 ，公比为 ，从而得
，利用错位相减求和即可.
【详解】（1）证明：当 为奇数， ,
即数列 的奇数项 成等差数列，且首项为 ，公差为 ，
所以 ， ，（2）解：当 为偶数， ，
即数列 的偶数项 成等比数列，首项为 ，公比为
所以 ，
，
，
两式相减得
，
故 .
9．（2022秋·江苏苏州·高三统考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ，数列 满足
,且 .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ， ；(2) .
【分析】(1)由 与 之间的关系式求 的通项公式；由 ,可得 ,求出数列
的通项公式即可求出数列 的通项公式；
(2)利用错位相减求解即可.
【详解】（1）解：当 时， ，
当 时， ，
因为 符合 ，所以 ;
因为 ,
所以 ,
又 ，
所以 ，
所以 ，
所以数列 是首项为3，公比为3的等比数列.
所以 .
所以 ；
（2）解：因为 ，
所以 ，
所以 ，两式相减得
所以
10．（2022秋·河南·高三洛阳市第一高级中学校联考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且
，递增的等比数列 满足： .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 的前 项和分别为 ，求 .
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】（1）根据 ，求出 ，再利用等比数列的性质结合韦达定理求出 ，
得到公比，写出通项公式；
（2）证明出 为等差数列，从而利用等差数列求和公式和等比数列求和公式进行求解.
【详解】（1）当 时， ，
当 时， ，
又 ，满足上式故 的通项公式为 ，
设等比数列 的公比为 ，
因为 ，
所以 可看作方程 的两根，
解得： 或 ，
因为等比数列单调递增，所以 舍去，
故 ，解得： ，
故 的通项公式为 ；
（2）因为 ，所以 ，
故 为等差数列，
由等差数列求和公式得： ，
由等比数列求和公式得： .
【冲刺提升】
解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）数列 满足 ，点 在直线 ，设数列 的前n项
和为 ，且满 ， ．
(1)求数列 和 的通项公式；(2)是否存在 ，使得对任意的 ，都有 ．
【答案】(1) ；
(2)存在 ，2，使得对任意的 ，都有
【分析】（1）根据等差数列的定义可得 为等差数列，由 的关系可得 为等比数列，进而可求其通
项，
（2）根据数列的单调性求解最值即可求解.
【详解】（1）点 在直线 上，所以
又 ，
∴ ，则数列 是首项为1，公差为2的等差数列．
∴
又当 时， 得 ，
当 ，由 ①，
得 ②
由①－②整理得： ，
∵ ，∴
∴ ，
∴数列 是首项为3，公比为3的等比数列，故（2）设 ，
由
当 时， ，当 时， ，
所以当 或2时， 取得最大值，即 取得最大
所以存在 ，2，使得对任意的 ，都有
2．（2022秋·安徽·高三校联考阶段练习）已知数列 各项均为正数，且
.
(1)求 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用已知条件因式分解变形，结合条件得 ，可知数列为等差数列，利用等差数列通
项公式求解即可；
（2）由（1）将 带入 化简，写出前 项和 的表达式，根据条件及性质求出
的取值范围.
【详解】（1）因为 ，所以
所以 ，
因为 各项均为正数， ，
所以 ，
所以数列 是首项为4，公差为4的等差数列，
，
所以数列 的通项公式为 .
（2）因为
所以 ，
则
，
因为 ，故 ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 的取值范围为 .
3．（2022·四川资阳·统考二模）已知 为等差数列，且 ， .
(1)求数列 的通项公式；(2)若数列 满足： ， 的前n项和为 ，求 成立的n的最大值.
【答案】(1)
(2)7
【分析】（1）代入公式求出公差即可求通项公式；
（2）代入等比数列的前 项和公式即可.
【详解】（1）设数列 的公差为： ，
，
，
.
，
即 .
（2） ， ，
，
数列 为等比数列，所以
由 ，即 ，
化简得： ，解得 ， ，
所以，要使 成立的n的最大值为：7.
4．（2022秋·江苏徐州·高三期末）设 为数列 的前 项和， ， ， 成等差数列．(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由 ， ， 成等差数列可得 ，再利用 与 的关系进行求解；
（2）将 代入 ，得出数列 为等比数列，再使用等比数列前 项和公式进行证明.
【详解】（1）∵ ， ， 成等差数列，
∴ ，即 ，
当 时， ，∴ ，
当 时，由 ，有 ，
两式相减得 ，
即 ，∴ ，
又∵ ，∴数列 中各项均不为 ，
∴ （ ），
∴数列 是首项 ，公比 的等比数列，
∴数列 的通项公式为 .
（2）由第（1）问，数列 是首项 ，公比 的等比数列，
∴ ，∴ ，
令 ，
当 ， ，
则 （ ），
∴数列 ，即 是首项 ，公比为 的等比数列，
∴ ，
∴ 得证.
5．（2022·全国·高三校联考阶段练习）已知各项均为正数的等差数列 的前n项和为 ，4是 , 的等比
中项,且 .
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，试比较 与 的大小，并说明理由.
【答案】(1)
(2) ，理由见解析
【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，结合等比中项性质和等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；
（2）由等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，可得 ，再由作差比较法，即可得到结论．
【详解】（1）设正项等差数列 的公差为 ，4是 , 的等比中项，且 ，
有 ，解得 ， ，
则 ；
（2） ，
， ，
，
，
由 ，
可得 ．
6．（2022秋·北京·高三北京八十中校考期末）已知数列 满足 ，
，数列 的前 项和记为 .
(1)写出 的最大值和最小值；
(2)若 ，求 的值；
(3)是否存在数列 ，使得 ？如果存在，写出此时 的值；如果不存在，说明理由.
【答案】(1) ， ；(2)0；
(3)不存在，理由见解析.
【分析】（1）根据递推关系求 即可；
（2）由（1）及递推关系结合 求出 即可得解；
（3）由递推关系可得出项 与 的关系，据此可分析得解.
【详解】（1）因为 ， ，
所以 ，解得 或 ，
当 时，由 ，解得 或 ，
当 时，由 ，解得 ，
所以 或 或 ，
所以 最大值为 ，最小值为 .
（2）当 时， ，则 或 ，此时由 知 ， 不满足，舍去；
当 时， ，则 或 ， 满足 ， 不满足，舍去；
当 时，由 ，得 或 ，由 知 满足题意，当 时，不满
足题意，
综上， 或 ，或 ，
所以 或 或 ，
故 .
（3）由 ， 可得 为整数， ，
所以 ，则 ，
所以 ，
若存在数列 ，使得 ，则 ，
又 为整数，所以方程无解，
故不存在数列 ，使得 .
7．（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）在正项数列 中， ， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)若数列 满足 ， ，且 ，设数列 的前n项和为 ，证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由 可得到 ，根据累乘法求通项的方法，即可求出 的通
项公式；
（2）由 可知 ，可判断数列 为等比数列，根据等比数列的前n项和公式求
出 ， 即可求证.
【详解】（1）解：已知 ①，
则 ，且 ②，
，得 ，整理得 ，∴ ， ， ， ，
由累乘法可得 ，
又 ， ，符合上式，
所以数列 的通项公式为 .
（2）由（1）可知 ， ，
因为 ，所以 ，
则数列 是首项为1，公比为 的等比数列，
∴ ，
，即 ，
得证.
8．（2022秋·上海黄浦·高三校考阶段练习）已知数列 和 有 ， ，而数列
的前 项和 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明数列 为等比数列，其中 ；
(3)如果 ，试证明数列 的单调性．
【答案】(1)
(2)证明见解析(3)证明见解析
【分析】(1)根据数列的前 项和与通项的关系求解即可.
(2)根据给定的递推关系，结合等比数列定义计算判断作答.
(3)由(1)求出数列 的通项，再求出 ，并利用作差法比较 大小作答.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
又当 时， ，所以 ；
（2）
，而 ，
所以数列 为以 为首项，以 为公比的等比数列；
（3） ， ，
，
所以当 时， ，数列 为递减数列．
9．（2022秋·广西南宁·高三统考阶段练习）已知数列 满足 ，且 ．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)记 的前 项和为 ，若 ，均有 ，求实数 的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）构造 证明即可；（2）由（1）可得 ，再累加可得 ，求出 代入 化简可得
，进而根据恒成立方法求解即可.
【详解】（1）证明：因为 ，所以 ．
又因为 ，所以 是以3为首项，3为公比的等比数列．
（2）由（1），得 ，所以 ，
所以
．
经检验当 时， ，亦满足 ，所以 ．
所以 ．
因为任意 ，均有 ，
所以 ．
易知 ，所以 ，即实数 的最小值为 ．
10．（2022·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考一模）已知数列 的前 项和为 ， 且
， __________．请在 成等比数列; ， 这三个条件中任选一个补充在上
面题干中， 并解答下面问题．
(1)求数列 的通项公式;
(2)设数列 的前 项和 ， 求证： ．【答案】(1)任选一条件，都有 ；
(2)证明见解析
【分析】（1）根据 得到数列 是首项为 ， 公差为 1 的等差数列，然后利用等差数列的通
项公式或前 项和公式列方程求解即可；
（2）利用错位相减法得到 ，即可得到 ，然后根据 得到数列 是递增数列，即
可得到 .
【详解】（1）因为 ， 所以 ， 即 ，
所以数列 是首项为 ， 公差为 1 的等差数列， 其公差 ．
若选 ，
由 ， 得 ， 即 ，
所以 ， 解得 ，
所以 ， 即数列 的通项公式为 ；
若选 ， ， 成等比数列，
由 ， ， 成等比数列， 得 ，
则 ， 所以 ， 所以 ；
若选 ，
因为 ，所以 ， 所以 ，
所以 .（2）由题可知 ，所以 ，
，
两式相减得
，
所以 ，
所以 ，又 ，
所以数列 是递增数列， ，故 .
11．（2022秋·河南·高三信阳高中校联考期末）已知各项均为正数的数列 的前n项和为 ， ，且
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，且数列 的前n项和为 ，求证： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意可得 ①，当 时， ②.由①减②，即可证明数列 是首项为1，公差为1的等差数列，即可求出数列 的通项公式；
（2）求出 ，再由错位相减法求出数列 的前n项和为 ，即可证明 .
【详解】（1）由 ，得 ①，
所以当 时， ②.
由①减②，得 .
因为数列 为各项均为正数的数列，所以 ，
又由 ， ，得 .
所以 ，所以 .
故数列 是首项为1，公差为1的等差数列，所以 .
（2）由（1），得 ，
所以数列 的前 项和 .
所以 .
两式作差可得： ，
所以 .
因为 ，所以 ，故 .
12．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)令 ，求数列 的前n项和 ；(2)设 ，是否存在实数 使得对于任意的 ，恒有 ？若存在，求出 的
取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 存在， 的取值范围为
【分析】（1）由已知条件利用公式 ，求出数列 的通项，得到 ，再用错位相减法求
前n项和 ；
（2）由（1）可得数列 的通项，根据 列出不等式，求出 的取值范围.
【详解】（1）由 可得： ，解得 ，
∵ ，∴
两式相减： ，即 ，∴ ，
所以数列 是以 为首项2为公比的等比数列，
从而 ，∴ ，
两式相减得：
∴（2）∵
由 可得： ，
即 ，
当n为偶数时， ，
由于 随着n的增大而减小，所以当 时， 取最大值，最大值为 ，此时 ；
当n为奇数时， ，
由于 随着n的增大而增大，所以当 时， 取最小值，最小值为1
此时 .
综上可知：实数 存在， 的取值范围为 ．
