文档内容
专题十四 《计数原理》讲义
14.1 排列组合
知识梳理 . 排列组合
1. 两种计数原理：
(1) 分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有
n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
(2) 分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，
那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
2. 排列组合
（1）排列、组合的定义
①排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n
个不同元素中取出m个元素的一个排列。
②组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，合成一组，叫做从n个不同元素中
取出m个元素的一个组合。
（2）排列数、组合数的定义、公式、性质
排列数 组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*) 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，
定义
个元素的所有不同排列的个数 n∈N*)个元素的所有不同组合的个数
公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝＝
性质 A＝n！，0！＝1 C＝1，C＝C，C＋C＝C
3.求解排列应用问题的6种主要方法
直接法 把符合条件的排列数直接列式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元
插空法
素排列的空档中
定序问题
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
除法处理
间接法 正难则反、等价转化的方法
题型一 . 两种计数原理
1．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2013是“六合数”），
则“六合数”中首位为2的“六合数”共有（ ）
A．18个 B．15个 C．12个 D．9个
2．五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建 1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有 ．
3．在编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中放入两个不同的小球，每个盒子中最多放入
一个小球，且不能在两个编号连续的盒子中同时放入小球，则不同的放小球的方法有
种．
4．如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不
同，则不同的涂法（ ）
A．72种 B．48种 C．24种 D．12种
5．（2018•新课标Ⅰ）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入
选，则不同的选法共有 种．（用数字填写答案）
6．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4张．从中任取3张，要
求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（ ）
A．484 B．472 C．252 D．232
7．（2014•安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为 60°的
共有（ ）
A．24对 B．30对 C．48对 D．60对
8．（2016•新课标Ⅱ）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位
于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（
）
A．24 B．18 C．12 D．9
题型二 . 特殊元素、特殊位置优先策略
1．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、
节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案
共有（ ）
A．36种 B．42种 C．48种 D．54种2．5名学生站成一排照相，甲不站排头、乙不站排尾的站法种数是 ．
3．甲、乙、丙三人值日，从周一至周六，每人值班两天，若甲不值周一，乙不值周六，则
可排出的不同值日表有 种．
题型三 . 捆绑法、插空法
1．（2004•重庆）某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3
位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有 3
位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率
为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
10 20 40 120
2．（2014•北京）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C
不相邻，则不同的摆法有 种．
3．（2012春•长安区校级期中）某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又
增加了3个新节目，如果将这3个节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（ ）
A．504 B．210 C．336 D．120
4．（2014•重庆）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的
演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）
A．72 B．120 C．144 D．168题型四 . 不同元素分组问题
1．（2017•新课标Ⅱ）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作
由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
2．（2012•新课标）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加
社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）
A．12种 B．10种 C．9种 D．8种
3．（2017春•黄梅县校级期中）将4位大学生分配到A，B，C三个工厂参加实习活动，其
中A工厂只能安排1位大学生，其余工厂至少安排1位大学生，且甲同学不能分配到C
工厂，则不同的分配方案种数是 ．
题型五 . 相同元素分组问题——隔板法
1．某校准备召开高中毕业生代表会，把6个代表名额分配给高三年级的3个班，每
班至少一个名额，不同的分配方案共有 种．
2．有20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不
少于它的编号数，共有 种不同的放法．
3．将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有1个小球，且每个盒
子中的小球个数都不同，则共有 种不同放法．
题型六 . 错位排列
1．将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3盒子中，要求不允许有空盒子，且
球与盒子的编号不能相同，则不同的放球方法有 种．
2．5位顾客将各自的帽子放在衣架上，然后，每人随意取走一顶帽子，则没有一个人拿
到自己帽子的概率为 ．
3．六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置，则不
同的坐法有 种（用数字回答）．题型七 . 数字排列
1．（2018•浙江）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，
一共可以组成 个没有重复数字的四位数．（用数字作答）．
2．（2005•黑龙江）在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不
能被5整除的数共有 个．
3．（2005•辽宁）用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2
相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有 个．（用
数字作答）
题型八 . 涂色问题
1．（2003·全国）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域
不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种．（以
数字作答）
2．如图所示，用不同的五种颜色分别为A，B，C，D，E五部分着色，相邻部分不能用同
一种颜色，但同一种颜色可以反复使用，也可不使用，则复合这些要求的不同着色的方
法共有（ ）
A B
C D
E
A．500种 B．520种 C．540种 D．560种
3．对一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，
但是不允许相邻的边有相同的颜色，则不同的染色方法共有 种（用数字作答）．课后作业 . 排列组合
1．某人制定了一项旅游计划，从7个旅游城市中选5个进行游览，如果A、B、C为必
选城市，并且游览过程中必须按照先A后B再C的次序经过A、B、C三个城市（A、
B、C三个城市可以不相邻），则不同的游览线路共有（ ）
A．80种 B．120种 C．480种 D．600种
2．张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首
尾一定要排两位爸爸，另外两个小孩要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法种数是
（ ）
A．12 B．24 C．36 D．48
3．中国古代的五音，一般指五声音阶，依次为：宫、商、角、徵、羽；如果把这五个音阶
全用上，排成一个5个音阶的音序．且要求宫，羽两音阶在角音阶的同侧，可排成多少
种这样的不同音序（ ）
A．120 B．90 C．80 D．60
4．某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必
须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案
共有 种．
5．由1、2、3、4、5、6、7七个数字组成七位数，要求没有重复数字且6、7均不得排在
首位与个位，1与6必须相邻，则这样的七位数的个数是（ ）
A．300 B．338 C．600 D．768
6．在重庆东北部有五个区县如图，请你用4种不同的颜色为每个区县涂色，要求相邻区县
不同色，共有 种不同的涂法（用具体数字作答）
