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专题16 利用导数研究双变量问题
破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等
式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.
一、单选题
1．已知 若对于任意两个不等的正实数 、 ，都有 恒成立，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】不妨设 ，可得 ，可得 ，
令 ，则 ，
所以，函数 在 上为增函数，
对任意的 恒成立，所以， ，
当 时， ，当且仅当 时，等号成立，
所以， .故选：B.
2．已知函数 ，若 且满足 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意 时， 是减函数，且 ，时， 是减函数，且 ，
由 且 得， ， ， ，
，所以 ， ，
设 ， ，
时， ， 是增函数，所以 ，即 ，
所以 ．故选：C．
3．已知函数 ，且 有两个极值点 ，其中 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【解析】 的定义域 ，
，令 ，则 必有两根 ，
，所以 ，
，
，
，
当 时， ， 递减，所以的最小值为 ，故选：A.
4．设函数 ，函数 ，若对于 ， ，使 成
立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】若对于 ， ，使 成立，只需 ，
因为 ，所以 ，当 时， ，所以 在 上是减函数，
所以函数 取得最小值 ．因为 ，
当 时， 在 上单调递增，函数取得最小值 ，需 ，不成立；
当 时， 在 上单调递减，函数取得最小值 ，需 ，解得 ，此时
；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，函数取得最小值 ，需 ，
解得 或 ，此时无解；综上，实数 的取值范围是 ，故选:A．
5．已知e为自然对数的底数，若对任意 ，总存在唯一的 ，使得 ，成立，则
实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】设 ， ， ， ，
， 时， ， 递减， 时， ， 递增，∴， ， ，∴
在 上是减函数，∴ ，
由题意 ，∴ ，即 ．故选：B．
6．若函数 存在两个极值点 和 ，则 取值范围为（ ）
A．(-∞， ] B．(-∞， ) C．( ，+∞) D．[ ，+∞)
【解析】 ，由函数 存在两个极值点 和 ，得 ，∴ .
且 ， ，∴ ，
，
令 ， ，∵ ， ，所以 在(2，+∞)上
递减， ，即 ，故选B.
7．已知 ，且 ，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是
（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 ，所以 ，
令 ，所以 ，对函数 求导：
， 由 有： ，由 有： ，所以 在 单调递增，在
单调递减，因为 ，由 有： ，故A错误；
因为 ，所以 ，由 有： ，故D错误；
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，故C正确；
令 有：
= ，当 ， .所以
在 单调递增，当 时， ，
即 ，又 ，所以 ，
因为 ，所以 ，因为 在
内单调递减，所以 ，即 ，故B错误.
故选：C.
8．已知在函数 ， ，若对 ， 恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意， ，令 ，
则 ， 恒成立，即 恒成立，即，令
令 ，即 在 单调递增；
令 ，即 在 单调递减.
，
令 ，
令 ，即 在 单调递增；令 ，即 在 单调递减；
， ，故选：B
9．已知函数 ， ，曲线 上总存在两点 ， ，
使曲线 在 两点处的切线互相平行，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题得函数 的导数 .
由题意可得 （ ，且 ）.即有 ，
化为 ，而 ，∴ ，
化为 对 都成立，令 ， ，
，对 恒成立，即 在 递增，∴ ，∴ ，∴ ，即 的取值范围是 .故选：B.
10．已知 ，其中a≠b，若 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】令 ，则 ，
故当 时， ，当 时， ，而 ，
不妨设 ，则 ；两式相减，可得 ，
则 ， ， ，∴ ；
令 ,
设 ，则 ；
令 ，则 ，
∴函数 在 上单调递减，故 ，则 ，
故函数 在 上单调递减，故 ，即 ，
∴函数 在 上单调递减，
∴ ，即 ，即 ，故 ，故实数 的取值范围为 .
故选：C.
11．已知函数 ，若 有两个零点 ，则 的取值范围是
（ ）A． B． C． D．
【解析】当 时， ， ；
当 时， ， ，
综上，对 .
有两个零点 ，即方程 有两个根 ，
即方程 有两个根 ，不妨设 .
易知函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ；当 时， .令 .
.令 ，
，令 . 时， ； 时， ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， .
函数 的值域为 ，即 的取值范围是 .故选： .
二、多选题
12．已知函数 和 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由于 和 互为反函数，则 和 的图象关于直线 对称，将 与 联立求得交点为 ，则 ，即 ，A正确．
易知 为单调递增函数，因为 ， ，
由零点存在性定理可知 ，B正确．
易知 为单调递减函数， ， ，由零点存在性定理可知 ．
因为 ，令 ，则 在 上恒成立，所以 在 上单
调递增，所以 ，C错误．
因为 ， ，所以 ，所以 ．令 ，则 ，当
时， ， 在 上单调递增，所以 ，即 ，整理得
，D正确．
故选：ABD
13．已知函数 ， ，若对任意的 ，均存在 ，使得
，则a的取值可能是（ ）
A．0 B．2 C． D．1
【解析】依题意有 ，所以 在 单调递减，在 单调递增，
又 ，所以 在 单调递增，在 单调递减，
（i）若 ，即 ，有 在 单调递减，则 ，而 ，则 在 单调递增，则 ，
易知有 ， ，符合题意；
（ii）若 ，即 ，有f(x)在 单调递增，则 ，
（1）若 ，则 在 单调递增，则 ，
有 ，只需 ，得 ；
（2）若 ，则 在 单调递减，则 ，
有 ，不符合；
（3）若 ，有 ，不符合；
（iii）若 ，有 ， ，
而 ，则 在 单调递增，则 ，
又有 ， ，符合题意；
综上可知 .故选：BD．
14．已知函数 有两个极值点 ， ，则（ ）
A．a的取值范围为（－∞，1） B．
C． D．
【解析】由题设， 且定义域为 ，则 ，
当 时 ，则 单调递增，不可能存在两个零点，即 不可能存在两个极值点，A错误；当 时 ，即 单调递增，当 时 ，即 单调递减，即
，
当 时， ，所以 至多有一个零点；
当 时， ，而 ，当 趋向于0时 趋于负无穷大，当 趋向于正无
穷时 趋于负无穷大，
综上， ， 在 内各有一个零点 ， 且 ，
B：由 且 趋向于0时 趋于负无穷大，所以 ，故 ，
令 ，
，又 ，所以 单调递减，
故当 时， ，
又 ，所以 ，
而 ，因此 ，故正确；
C： ，
令 ，显然有 ，令 ，显然 ，
因此有： ，
设 ，则 ，
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，因为 ，所以 ，
令 ，即 ，
因为 ，所以 单调递增，
因为 ，所以 ，
而 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
当 时， 单调递减，因此有 ，即 ，正确；
D：由 ，则 ，故 ，正确.
故选：BCD
15．已知 为常数，函数 有两个极值点 ，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】 ,
令 , 由题意可得 有两个实数解 ；
所以函数 有且只有两个零点 ； .
① 当 时, 单调递增, 因此 至多有一个零点, 不符合题意, 应舍去；
②当 时, 令 , 解得 ,
因为当 时, , 函数 单调递增;
当 时, , 函数 单调递减,所以 是函数 的极大值点, 则 >0 , 即 >0 ,
解得 ，故选项A正确；
因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，故选项C正确；
又 ，所以 ，
= = ，
令 ，则 ，
当 ， ， 单调递增，而 ，所以 ，故选项D错误；
当 时（符合 ，此时 仍有两个极值点），
此时 ，解得 ，所以 ，
故 正负不确定，因此选项B错误；
综上所述，AC为正确答案；故选：AC.
16．已知函数 有两个零点 ，则（ ）
A． 的取值范围为 B．
C． D．
【解析】 ，
因为 ，所以当 时， 单调递增，函数至多有一个零点；当 时，当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，所以当
时，函数有最大值，最大值为： ，
当 时， ，所以函数至多有一个零点；
当 时， ，而 ，当 时， ，
当 时， ，所以函数在 内各有一个零点，所以 ，
因此选项A不正确；
选项B：因为 ，
所以 ，因此本选项正确；
选项C：因为 ，当 时， ，所以 ，因此 ，
构造新函数 ，
，因为 ，所以 单调递减，
因此当 时， ，又因为 ，
所以 ，而 ，
因此 ，所以本选项正确；
选项D： ，令 ，
显然有 ，令 ，显然 ，因此有：
，设 ，所以有 ，当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，因为
，所以 ，令 ，
即 ，
因为 ，所以 单调递增，
因为 ，所以 ，
而 ，所以 ，因为 ，所以 ，
当 时， 单调递减，因此有 ，即 ，所以本选项说法正确，
故选：BCD
三、填空题
17．已知函数 ，若存在 ，使得 ，则 的最小值为
__________.
【解析】当 时， ， ，
当 时， ，当 时， ，
即当 时， 取得极小值为 .
当 时， 为增函数，且 ，函数 的图像如图：
设 ，由题可知 ，由 得 ，则 ，则 ， ，所以当 时， 取得最小值为 .
18．已知 ， ，若对 ， ，使得 成立，则
a的取值范围是______．
【解析】因为 ，所以 ，
当 时， ，当 时， ，所以 ，
因为 开口方向向下，所以在区间 上的最小值的端点处取得，
所以要使对 ， ，使得 成立，
只需 ，即 或 ，即 或 ，
解得 ，所以a的取值范围是 ，
19．若函数 存在两个极值点 和 ，则 取值范围为____.
【解析】令 ，则 ，
由 且 ，解得 .
.
令 ， ，
在区间 上递减， .
所以 取值范围是 .20．已知函数 ， ，若对任意的 ，总存在 ，使得
成立，则实数a的取值范围是_____．
【解析】因为函数 ， ，
所以对任意的 ，总存在 ，使得 成立，即为对任意的 ，总存
在 ， 成立，
即为对任意的 ，总存在 ， 成立，
令 ， ，
当 时， ，当 时， ，
所以点 时，函数 取得最小值 ，所以存在 ， 成立，
即存在 ， 成立，令 ，易知 在 上递减，
所以 ，所以 ，解得 .故答案为：
四、解答题
21．已知函数 ．
(1)若 时， ，求a的取值范围；
(2)当 时，方程 有两个不相等的实数根 ， ，证明： ．
【解析】(1)∵ ，∴ ，即 ，设 ， ，
当 时， ，∴ 在 上单调递增，∴ ，满足条件；
当 时，令 得 ，当 时， ；当 时， ，∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，∴ ，与已知矛盾．
综上，a的取值范围是 ．
(2)当 时， ，则 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
不妨设 ，则 ，要证 ，只需证 ，
∵ 在区间 上单调递增，∴只需证 ．
∵ ，∴只需证 ．设 ，
则 ，
∴ 在区间 上单调递增，∴ ，
∴ ，即 成立，∴ ．
22．已知函数 ， .
(1)讨论 的单调性；
(2)任取两个正数 ，当 时，求证： .
【解析】(1) .
当 时， ，令 ，得 ；令 ，得 .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
当 ，即 时，令 ，得 或 ；令 ，得 .所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.
当 ，即 时， 恒成立，所以 在 上单调递增.
当 ，即 时，令 ，得 或 ；令 ，得 .
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.
综上所述，
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
(2)证明：由题意得， .要证 ，
只需证 ，即证 ，即证 .
令 ，所以只需证 在 上恒成立，
即证 在 上恒成立.
令 ，则 ，令 ，则 .
所以 在 上单调递减，即 在 上单调递减，
所以 ，所以 在 上单调递增，所以 .
所以 .23．已知函数 （ ， ）.
(1)求函数 的极值；
(2)若函数 的最小值为0， ， （ ）为函数 的两个零点，证明： .
【解析】(1) （ ）， ，
若 时，则 恒成立，
在 上单调递增，故 没有极值；
若 ，则当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
有极小值，极小值为 ，无极大值.
(2)证明：由（1）可知，当 时， 有最小值， ，
由函数 的最小值为0，得 ，由题知 ，
， ， ，
， ，
， （ ），
令 ，则 ，
令 ，则 在 上单调递增，
又 ， 在 上， ， ， 单调递减，
在 上， ， ， 单调递增，， 得证.
24．设函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 有两个零点 ，
①求a的取值范围；
②证明： .
【解析】(1) 的定义域为 ，且 ，
当 时， 成立，所以 在 为增函数，
当 时，
①当 时， ，所以 在 上为增函数，
②当 时， ，所以 在 上为减函数；
综上：当 时， 在 为增函数，
当 时， 在 上是减函数，在 上为增函数，
(2)结合（1） ，当 时， 取得极小值 ，
又∵函数 有两个零点，∴ ，可得 ，
综上所述， ；
下面证明结论 成立：不妨设 ，
设 ， ，
可得 ， ，∴ 在 上单调递增，
∴ ，即 ， ， ，
∴当 时， ，又∵ ， ，∴ ，又∵当 时， 单调递增，∴ ，即 ，
设 ， ，则 ，两式相比得 ，
即 ，∴ ，
又∵ ，
令 ，则 ，令 ，则 ，
则 在 内单调递减，即 ，即 ，
故 ，故 在 上单调递减，∴ ，∴ ，即 ；
综上所述， ．
25．已知函数
(1)当 ，研究 的单调性；
(2)令 ，若存在 使得 ，求证 .
【解析】(1) ， ，在 上单调递增，且 ，所
以 时， ， 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增；
(2) ，（ ），
时 ， 递增， 时， ， 递减， 时， ，
存在 使得 ，则 ，令 ， ，，令 ，
则 ， 在 上单调递增， ， ，
， ， .
26．已知 ， ，
(1)若 恒成立，求 的最大值
(2)若 ， 是 的两个零点，且 求证：
【解析】(1) ， ，
设 ，则 恒成立 恒成立，
易知 符合要求，下面考虑 的情形，
由 ，得 时， ； 时， ，
因此， 在区间 上为减函数，在 上为增函数，故 的最小值为 ，
由 ，得 ，解得 ，
所以 的最大值为 .
(2)由（1）知， ， 是 的两个零点，结合 的单调性可知， ，
若 ，则 显然成立，
若 ，设 （ ），
则 ， ，
所以， 在区间 上为增函数，因此有 ，因此， ， ，
又 ， ，且 在区间 上为减函数，
所以， ，即 .综上， .
27．已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)设 存在两个极值点 ，且 ，若 ，求证： .
【解析】(1)由题意可知 ， ，
当 时， ，则 在 是单调递增；
当 时，若 ，即 时，
若 ，即 时， 和 时，
时， ，
综上， 时， 在 是单调递增； 时，
在 和 递增，在 递减
(2)由题意可设， 是 的两个根，则
（用 分别表示出 和 ）
，整理，得，此时
设 ，求导得
恒成立，
在 上单调递减，
28．设函数 ， .
（1）求导数 ，并证明 有两个不同的极值点 ､ ；
（2）若不等式 成立，求 的取值范围.
【解析】（1）∵ ，∴ .
令 得方程 ，
因 ，故方程有两个不同实根 ､ ，
不妨设 ，由 可判断 的符号如下：
当 时， ；当 时， ；当 时， .
因此 是极大值点， 是极小值点.
（2）因 ，故得不等式 .
即 .
又由（1）知， .
代入前面不等式，两边除以 ，并化简得 .解不等式得 或 （舍去）.
因此，当 时，不等式 成立.
29．已知函数 .
(1)若关于 的不等式 恒成立，求 的取值范围；
(2)若 ， 是 的两个极值点，且 ，证明： .
【解析】(1)因为 恒成立，所以 ，
即 .
令函数 ，则 恒成立.
令函数 ，则 ，
当 时， ，当 时， ， 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ， ，
因为 ，所以 在 上单调递增，
所以 等价于 ，即 恒成立，
令函数 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，
故 的取值范围是 ；(2)因为 是 的两个极值点，所以 是方程 的两个根，
令 ，则 ，有（1）的讨论可知，
若 存在两个零点， ，且 ，
由 ，即 ，
因为 ，
所以 ，即需证 恒成立，
由 可得 ，
令 ，则 ， ，
所以 等价于 ，即 ，
令函数 ， ，则 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，即 ，
故 ；
30．已知函数 （ 为常数）
(1)讨论 的单调性
(2)若函数 存在两个极值点 ，且 ，求 的范围.【解析】(1)∵ ，
，当 时， ， ， 在定义域 上单调递增；
当 时，在定义域 上 ，
时， 在定义域 上单调递增；
当 时，令 得 ， ，
， 时， ； 时 ，
则 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.
综上可知：当 时， 在定义域 上单调递增；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.（其中 ，
）
(2)由（1知 有两个极值点，则 ，
的二根为 ，
则 ， ，
，
设 ，又 ，∴ .则 ， ，
∴ 在 递增， .
即 的范围是
