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第 2 节 平面向量基本定理及坐标表示
考试要求 1.了解平面向量基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其
坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表
示的平面向量共线的条件.
1.平面向量基本定理
如果e ，e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量
1 2
a，有且只有一对实数λ ，λ ，使a＝λ e ＋ λ e .
1 2 1 1 2 2
其中，不共线的向量e ，e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
1 2
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，则
1 1 2 2
a＋b＝ ( x ＋ x ， y ＋ y )，
1 2 1 2
a－b＝ ( x － x ， y － y )，λa＝ ( λx ， λ y )，
1 2 1 2 1 1
|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
则AB＝ ( x － x ， y － y )，
2 1 2 1
|AB|＝.
4.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，则a∥b x y － x y ＝ 0.
1 1 2 2 1 2 2 1
⇔
1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的
向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( )
(2)设 a，b 是平面内的一组基底，若实数 λ ，μ ，λ ，μ 满足 λ a＋μ b＝λ a＋
1 1 2 2 1 1 2
μ b，则λ ＝λ ，μ ＝μ .( )
2 1 2 1 2
(3)若a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，则a∥b的充要条件可以表示成＝.( )
1 1 2 2
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√
解析 (1)共线向量不可以作为基底.
(3)若b＝(0，0)，则＝无意义.
2. 若P (1，3)，P (4，0)，且P是线段P P 的一个三等分点(靠近点P )，则点P
1 2 1 2 1
的坐标为( )
A.(2，2) B.(3，－1)
C.(2，2)或(3，－1) D.(2，2)或(3，1)
答案 A
解析 由题意得P1P＝P1P2且P1P2＝(3，－3)，
设P(x，y)，则(x－1，y－3)＝(3，－3)，
所以x＝2，y＝2，则点P(2，2).
3.(2021·银川质检)设向量a＝(－3，4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则
向量b的坐标为( )
A. B.(－6，8)
C. D.(6，－8)
答案 D
解析 因为向量b与a方向相反，则可设b＝λa＝(－3λ，4λ)，λ<0，则|b|＝＝5|λ|
＝10，∴λ＝－2，b＝(6，－8).
4.(易错题)给出下列三个向量：a＝，b＝(1，－3)，c＝(－2，6).从三个向量中任
意取两个作为一组，能构成基底的组数为________.答案 2
解析 易知b∥c，a与b不共线，a与c不共线，所以能构成基底的组数为2.
5.(易错题)已知A(－1，3)，B(2，－1)，则与向量AB共线的单位向量是________.
答案 ±
解析 ∵AB＝(2，－1)－(－1，3)＝(3，－4)，∴|AB|＝5.故与向量AB共线的单位
向量坐标为±.
6.(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________.
答案
解析 法一(定义法) 因为a∥b，所以存在实数k，使a＝kb，即(2，5)＝k(λ，
4)，得解得
法二(结论法) 因为a∥b，所以2×4－5λ＝0，解得λ＝.
考点一 平面向量的坐标运算
1.(2021·西安调研)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，OA＝，若OA绕点O逆
时针旋转60°得到向量OB，则OB＝( )
A.(0，1) B.(1，0)
C. D.
答案 A
解析 ∵OA＝，∴OA与x轴的夹角为30°，
依题意，向量OB与x轴的夹角为90°，
则点B在y轴正半轴上，且|OB|＝|OA|＝1，
∴点B(0，1)，则OB＝(0，1).
2.如图所示，以e ，e 为基底，则a＝________.
1 2
答案 －2e ＋e
1 2
解析 以e 的起点为坐标原点，e 所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
1 1
则e ＝(1，0)，e ＝(－1，1)，a＝(－3，1)，
1 2令a＝xe ＋ye ，
1 2
即(－3，1)＝x(1，0)＋y(－1，1)，
则所以即a＝－2e ＋e .
1 2
3.已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，|BC|＝
2|AC|，则向量OB的坐标是________.
答案 (4，7)
解析 由点C是线段AB上一点，且|BC|＝2|AC|，
得BC＝－2AC.设点B为(x，y)，则(2－x，3－y)＝－2(1，2)，即解得所以向量OB
的坐标是(4，7).
感悟提升 1.向量的坐标表示把点与数联系起来，实际上是向量的代数表示，即
引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很
多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.
2.向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算法则进行计算.若已知有向
线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用.
考点二 平面向量基本定理及其应用
例1 如图所示，已知在△OCB中，A是CB的中点，D是将OB分成2∶1的一个
内分点，DC和OA交于点E，设OA＝a，OB＝b.
(1)用a和b表示向量OC，DC；
(2)若OE＝λOA，求实数λ的值.
解 (1)依题意，A是BC的中点，
∴2OA＝OB＋OC，
即OC＝2OA－OB＝2a－b.
DC＝OC－OD＝OC－OB
＝2a－b－b＝2a－b.
(2)设OE＝λOA(0<λ<1)，
则CE＝OE－OC＝λa－(2a－b)
＝(λ－2)a＋b.∵CE与DC共线，
∴存在实数k，使CE＝kDC，
(λ－2)a＋b＝k，解得λ＝.
感悟提升 1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三
角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底
将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
训练1 (2022·贵阳模拟)如图，在平行四边形ABCD中，F是BC的中点，CE＝－
2DE，若EF＝xAB＋yAD，则x＋y＝( )
A.1 B.6
C. D.
答案 C
解析 因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB＝DC，AD＝BC，
又CE＝－2DE，
所以ED＝－DC＝－AB，
连接AF，在△AEF中，
所以EF＝EA＋AF＝ED－AD＋AB＋BF
＝－AB－AD＋AB＋AD
＝AB－AD，
又因为EF＝xAB＋yAD，
所以x＝，y＝－，故x＋y＝.
考点三 平面向量共线的坐标表示
角度1 利用向量共线求向量或点的坐标
例2 已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O为坐标原点，则AC与OB的交点P
的坐标为________.
答案 (3，3)解析 法一 由O，P，B三点共线，
可设OP＝λOB＝(4λ，4λ)，
则AP＝OP－OA＝(4λ－4，4λ).
又AC＝OC－OA＝(－2，6)，
由AP与AC共线，
得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，
解得λ＝，所以OP＝OB＝(3，3)，
所以点P的坐标为(3，3).
法二 设点P(x，y)，则OP＝(x，y)，因为OB＝(4，4)，且OP与OB共线，所以＝，
即x＝y.①
又AP＝(x－4，y)，AC＝(－2，6)，
且AP与AC共线，
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，
即3x＋y－12＝0，②
联立①②解得x＝y＝3，
所以点P的坐标为(3，3).
角度2 利用向量共线求参数
例3 (1)已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点
共线，则实数k的值是( )
A.－ B.－ C. D.
(2)已知向量a＝(2，1)，b＝(x，－1)，且a－b 与b共线，则x的值为________.
答案 (1)A (2)－2
解析 (1)AB＝OB－OA＝(4－k，－7)，AC＝OC－OA＝(－2k，－2).因为A，B，
C三点共线，所以AB，AC共线，所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.
(2)∵a＝(2，1)，b＝(x，－1)，
∴a－b＝(2－x，2).
又∵a－b与b共线，
∴(2－x)×(－1)－2x＝0，∴x＝－2.
感悟提升 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：
(1)若a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，则a∥b的充要条件是x y －x y ＝0；
1 1 2 2 1 2 2 1(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.
2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的
坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.
训练2 (1)设向量OA＝(1，－2)，OB＝(2m，－1)，OC＝(－2n，0)，m，n∈R，O
为坐标原点，若A，B，C三点共线，则m＋n的最大值为( )
A.－3 B.－2 C.2 D.3
(2)(2021·太原联考)已知向量e ＝(1，1)，e ＝(0，1)，若a＝e ＋λe 与b＝－(2e
1 2 1 2 1
－3e )共线，则实数λ＝________.
2
答案 (1)A (2)－
解析 (1)易知，AB∥AC，其中AB＝OB－OA＝(2m－1，1)，
AC＝OC－OA＝(－2n－1，2)，
所以(2m－1)×2＝1×(－2n－1)，
得2m＋1＋2n＝1.
又2m＋1＋2n≥2，所以2m＋n＋1≤2－2，即m＋n≤－3(当且仅当m＝－2，n＝－1时
取等号).
(2)由题意知a＝e ＋λe ＝(1，1＋λ)，
1 2
b＝－(2e －3e )＝(－2，1).
1 2
由于a∥b，所以1×1＋2(1＋λ)＝0，解得λ＝－.
1.在如图所示的平面直角坐标系中，向量AB的坐标是( )
A.(2，2) B.(－2，－2)
C.(1，1) D.(－1，－1)
答案 D解析 因为A(2，2)，B(1，1)，所以AB＝(－1，－1).
2.在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是( )
A.e ＝(0，0)，e ＝(1，2)
1 2
B.e ＝(－1，2)，e ＝(5，－2)
1 2
C.e ＝(3，5)，e ＝(6，10)
1 2
D.e ＝(2，－3)，e ＝(－2，3)
1 2
答案 B
解析 对于A，C，D都有e ∥e ，所以只有B成立.
1 2
3.(2022·东北师大附中等五校联考)已知向量a＝，b＝(cos α，1)，α∈，且a∥b，
则sin＝( )
A.－ B. C. D.－
答案 C
解析 由题意得＝tan α·cos α＝sin α.
又α∈，知cos α＝－，
所以sin＝－cos α＝.
4.(2021·郑州质检)已知向量AB＝(1，4)，BC＝(m，－1)，若AB∥AC，则实数m
的值为( )
A. B.－4 C.4 D.－
答案 D
解析 ∵向量AB＝(1，4)，BC＝(m，－1)，
∴AC＝AB＋BC＝(1＋m，3).
又AB∥AC，所以1×3－4(1＋m)＝0，解得m＝－.
5.如图， 在△ABC中，AN＝2NC，P是线段BN上一点，若AP＝tAB＋AC，则实
数t的值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题意，P是BN上一点，设BP＝λBN，0≤λ≤1，
则AP＝AB＋BP＝AB＋λBN
＝AB＋λ(AN－AB)
＝(1－λ)AB＋λAN.
又AN＝2NC，所以AN＝AC，
所以AP＝(1－λ)AB＋λAC
＝tAB＋AC，
所以解得t＝.
6.(2021·贵阳诊断)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，A＝60°，O为△ABC的外心.若
AO＝xAB＋yAC，x，y∈R，则2x＋3y＝( )
A.2 B. C. D.
答案 B
解析 如图所示，过O作三角形三边的垂线，垂足分别为D，E，F，且D，E，
F为所在边的中点，过O分别作AB，AC的平行线NO，MO.
由题意知cos 60°＝＝，解得BC＝，
则△ABC的外接圆半径r＝＝.
因为OD⊥AB，
所以OD＝＝＝.
又因为∠DMO＝60°，
所以DM＝，MO＝，
则AM＝，AN＝MO＝.
由题意可知AO＝xAB＋yAC＝AM＋AN，
所以x＝＝，y＝＝，
所以2x＋3y＝.
7.已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，
C(4，2)，则点D的坐标为________.
答案 (2，4)解析 因为在梯形ABCD中，DC＝2AB，
所以DC＝2AB，
设点D的坐标为(x，y)，
则DC＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)，
AB＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，
所以(4－x，2－y)＝2(1，－1)，
即(4－x，2－y)＝(2，－2)，
所以解得故点D的坐标为(2，4).
8.(2022·河北联盟模拟)已知点A(1，0)，B(1，)，点C在第二象限，且∠AOC＝
150°，OC＝－4OA＋λOB，则λ＝________.
答案 1
解析 因为点A(1，0)，B(1，)，点C在第二象限，OC＝－4OA＋λOB，
所以C(λ－4，λ).
因为∠AOC＝150°，所以∠COx＝150°，
所以tan 150°＝＝－，解得λ＝1.
9.已知O为坐标原点，向量OA＝(1，2)，OB＝(－2，－1)，若2AP＝AB，则|OP|
＝______.
答案
解析 设P点坐标为(x，y)，AB＝OB－OA＝(－2，－1)－(1，2)＝(－3，－3)，
AP＝(x－1，y－2)，
则由2AP＝AB得，2(x－1，y－2)＝(－3，－3)，
所以解得
故|OP|＝＝.
10.已知a＝(1，0)，b＝(2，1).
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若AB＝2a＋3b，BC＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值.
解 (1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2).
∵ka－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－.
(2)法一 ∵A，B，C三点共线，
∴存在实数λ，使得AB＝λBC，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
∴解得m＝.
法二 AB＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，
BC＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m).
∵A，B，C三点共线，∴AB∥BC，
∴8m－3(2m＋1)＝0，
即2m－3＝0，∴m＝.
11.已知A，B，C三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，并且AE＝AC，
BF＝BC.
(1)求E，F的坐标；
(2)求证：EF∥AB.
(1)解 设E，F两点的坐标分别为(x ，y )，(x ，y )，则依题意，得AC＝(2，2)，
1 1 2 2
BC＝(－2，3)，AB＝(4，－1)，
所以AE＝AC＝，
BF＝BC＝.
因为AE＝(x ，y )－(－1，0)＝，
1 1
即(x ，y )＝＋(－1，0)＝，
1 1
BF＝(x ，y )－(3，－1)＝，
2 2
即(x ，y )＝＋(3，－1)＝，
2 2
所以E的坐标为，F的坐标为.
(2)证明 由(1)得EF＝，AB＝(4，－1)，
因为4×－(－1)×＝0，
所以EF∥AB.
12.(2021·昆明模拟)如图是由等边△AIE和等边△KGC构成的六角星，其中 B，
D，F，H，J，L均为三等分点，两个等边三角形的中心均为 O，若OA＝mOC＋
nOJ，则＝( )A. B. C. D.1
答案 B
解析 连接OD(图略)，根据题意，可得OA＝OC＋DA①，
且OA＝OD＋DA，即OA＝－OJ＋DA②，
①－②×，得OA＝OC＋OJ，
即OA＝2OC＋3OJ，与OA＝mOC＋nOJ对应，可得m＝2，n＝3，所以＝.
13.赵爽是我国古代数学家.大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，
介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由 4个
全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的).类比“赵爽弦图”，可构
造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的
一个较大的等边三角形，设AD＝λAB＋μAC，若DF＝2AF，则λ＋μ＝________.
答案
解析 由题意可知，＝＝＝，则DE＝2BD，EF＝2CE，AD＝3AF.
由DE＝2BD，得AE－AD＝2(AD－AB)，
即AD＝AB＋AE.
同理由EF＝2CE，得AE＝AC＋AF.
又AF＝AD，
所以AE＝AC＋×AD＝AC＋AD，
则AD＝AB＋AE＝AB＋
＝AB＋AC＋AD，
所以AD＝AB＋AC，即λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝.
14.已知正方形ABCD的边长为2，动点P满足|PB|≤1，且AP＝xAB＋yAD，求2x
＋y的最大值.
解 如图建立平面直角坐标系，A(0，0)，B(2，0)，D(0，2)，设P(m，n)，
因为AP＝xAB＋yAD，所以(m，n)＝(2x，0)＋(0，2y)，即(m，n)＝(2x，2y)，得
m＝2x，n＝2y.
因为PB＝(2－m，－n)且|PB|≤1，
所以≤1，
整理得≤1，
即(x－1)2＋y2≤.
设z＝2x＋y，当直线z＝2x＋y与圆(x－1)2＋y2＝相切时，z取得最值，
即＝，
所以z＝2±，于是z ＝2＋，
max
即2x＋y的最大值为2＋.
