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[基础题组练]
1．已知直线l：mx＋y－1＝0与直线l：(m－2)x＋my－2＝0，则“m＝1”是“l⊥l”的(
1 2 1 2
)
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.由l⊥l，得m(m－2)＋m＝0，解得m＝0或m＝1，所以“m＝1”是“l⊥l”
1 2 1 2
的充分不必要条件，故选A.
2．若直线l：x＋ay＋6＝0与l：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l 与l 之间的距离为( )
1 2 1 2
A. B．4
C. D．2
解析：选C.因为l∥l，所以＝≠，解得a＝－1，所以l 与l 的方程分别为l：x－y＋6＝0，
1 2 1 2 1
l：x－y＋＝0，所以l 与l 的距离d＝＝.
2 1 2
3．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为(
)
A．(1，2) B．(2，1)
C．(1，2)或(2，－1) D．(2，1)或(－1，2)
解析：选C.设P(x，5－3x)，则d＝＝，化简得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，解得x＝1或x＝
2，故P(1，2)或(2，－1)．
4．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程
为( )
A．2x＋3y－12＝0 B．2x－3y－12＝0
C．2x－3y＋12＝0 D．2x＋3y＋12＝0
解析：选D.由ax＋y＋3a－1＝0，可得a(x＋3)＋(y－1)＝0，令可得x＝－3，y＝1，所以
M(－3，1)，M不在直线2x＋3y－6＝0上，设直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为
2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，则＝，解得c＝12或c＝－6(舍去)，所以所求方程为2x＋3y＋12＝0，
故选D.
5．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4，
2)，(3，1)，则点C的坐标为 ( )
A．(－2，4) B．(－2，－4)
C．(2，4) D．(2，－4)
解析：选C.设A(－4，2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则解得所以BC所在直线方程
为y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0.同理可得点B(3，1)关于直线y＝2x的对称点为(－1，3)，所
以AC所在直线方程为y－2＝·(x＋4)，即x－3y＋10＝0.联立得解得则C(2，4)．故选C.
6．(一题多解)已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k
的取值范围是________．解析：法一：由方程组
解得
(若2k＋1＝0，即k＝－，则两直线平行，没有交点)
所以交点坐标为.
又因为交点位于第一象限，所以
解得－<k<.
法二：如图，已知直线y＝－x＋2与x轴、y轴分别交于点A(4，0)，
B(0，2)．
而直线方程y＝kx＋2k＋1可变形为y－1＝k(x＋2)，表示这是一条
过定点P(－2，1)，斜率为k的动直线．
因为两直线的交点在第一象限，
所以两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，
所以动直线的斜率k需满足k <k<k .
PA PB
因为k ＝－，k ＝.
PA PB
所以－<k<.
答案：
7．已知一直线经过点(1，2)，并且与点(2，3)和(0，－5)的距离相等，则此直线的方程为
________．
解析：若所求直线的斜率存在，则可设其方程为：
y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，
由题设有＝，
即|k－1|＝|k－7|，解得k＝4.
此时直线方程为4x－y－2＝0.
又若所求直线的斜率不存在，方程为x＝1，
满足题设条件．
故所求直线的方程为4x－y－2＝0或x＝1.
答案：4x－y－2＝0或x＝1
8．已知点A(－1，2)，B(3，4)．P是x轴上一点，且|PA|＝|PB|，则△PAB的面积为________．
解析：设AB的中点坐标为M(1，3)，
k ＝＝，
AB
所以AB的中垂线方程为y－3＝－2(x－1)．
即2x＋y－5＝0.
令y＝0，则x＝，
即P点的坐标为(，0)，
|AB|＝＝2.
P到AB的距离为|PM|＝＝.
所以S ＝|AB|·|PM|＝×2×＝.
△PAB答案：
9．已知两直线l：ax－by＋4＝0和l：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
1 2
(1)l⊥l，且直线l 过点(－3，－1)；
1 2 1
(2)l∥l，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
1 2
解：(1)因为l⊥l，
1 2
所以a(a－1)－b＝0.
又因为直线l 过点(－3，－1)，
1
所以－3a＋b＋4＝0.
故a＝2，b＝2.
(2)因为直线l 的斜率存在，l∥l，
2 1 2
所以直线l 的斜率存在．
1
所以＝1－a.①
又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，
所以l，l 在y轴上的截距互为相反数，即＝b.②
1 2
联立①②可得a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.
10．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P.
(1)点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程；
(2)求点A(5，0)到直线l的距离的最大值．
解：(1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为
(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
所以＝3，解得λ＝或λ＝2.
所以直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
(2)由
解得交点P(2，1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到直线l的距
离，
则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．
所以d ＝|PA|＝.
max
[综合题组练]
1．已知直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直，垂足为(t，1)，则n的值为( )
A．7 B．9
C．11 D．－7
解析：选A.由直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直得，20－2m＝0，m＝10.直线
4x＋10y－6＝0过点(t，1)，所以4t＋10－6＝0，t＝－1.点(－1，1)又在直线5x－2y＋n＝0上，
所以－5－2＋n＝0，n＝7.
2．两条平行线l，l 分别过点P(－1，2)，Q(2，－3)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平
1 2
行，则l，l 之间距离的取值范围是( )
1 2A．(5，＋∞) B．(0，5]
C．(，＋∞) D．(0，]
解析：选D.当直线PQ与平行线l，l 垂直时，|PQ|为平行线l，l 间的距离的最大值，为＝，
1 2 1 2
所以l，l 之间距离的取值范围是(0，]．故选D.
1 2
3．在平面直角坐标系xOy(O为坐标原点)中，不过原点的两直线l：x－my＋2m－1＝0，
1
l：mx＋y－m－2＝0的交点为P，过点O分别向直线l，l 引垂线，垂足分别为M，N，则四边
2 1 2
形OMPN面积的最大值为( )
A．3 B.
C．5 D.
解析：选D.将直线l 的方程变形得(x－1)＋m(2－y)＝0，
1
由，得，则直线l 过定点A(1，2)，同理可知，直线l 过定点A(1，2)，
1 2
所以，直线l 和直线l 的交点P的坐标为(1，2)，易知，直线
1 2
l⊥l，如图所示，
1 2
易知，四边形OMPN为矩形，且|OP|＝＝，
设|OM|＝a，|ON|＝b，则a2＋b2＝5，
四边形OMPN的面积为S＝|OM|·|ON|＝ab≤＝，
当且仅当，即当a＝b＝时，等号成立，
因此，四边形OMPN面积的最大值为，故选D.
4．(应用型)如图，已知A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)，E(－1，0)，F(1，
0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反
射，落到线段AE上(不含端点)，则直线FD的斜率的取值范围为
________．
解析：从特殊位置考虑．如图，
因为点A(－2，0)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为A(2，4)，所以
1
kAF＝4.又点E(－1，0)关于直线AC：y＝x＋2的对称点为E(－2，1)，
1 1
点E(－2，1)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为E(1，4)，此时直线EF
1 2 2
的斜率不存在，所以k >kAF，即k ∈(4，＋∞)．
FD 1 FD
答案：(4，＋∞)
5．正方形的中心为点C(－1，0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所
在直线的方程．
解：点C到直线x＋3y－5＝0的距离d＝＝.
设与x＋3y－5＝0平行的一边所在直线的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)，
则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离
d＝＝，
解得m＝－5(舍去)或m＝7，
所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0.设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是3x－y＋n＝0，
则点C到直线3x－y＋n＝0的距离
d＝＝，
解得n＝－3或n＝9，
所以与x＋3y－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0.
6．(创新型)在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：
(1)P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大；
(2)P到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小．
解：(1)如图，设B关于l的对称点为B′，AB′的延长线交l于P，在l上
0
另任取一点 P，则|PA|－|PB|＝|PA|－|PB′|<|AB′|＝|PA|－|PB′|＝|PA|－|
0 0 0
PB|，则P 即为所求．
0 0
易求得直线BB′的方程为x＋3y－12＝0，
设B′(a，b)，则a＋3b－12＝0，①
又线段BB′的中点在l上，故3a－b－6＝0.②
由①②解得a＝3，b＝3，
所以B′(3，3)．
所以AB′所在直线的方程为2x＋y－9＝0.
由可得P(2，5)．
0
(2)设C关于l的对称点为C′，与(1)同理可得C′.
连接AC′交l于P，在l上另任取一点P，有|PA|＋|PC|＝|PA|＋|PC′|>|AC′|＝|PC′|＋|PA|
1 1 1
＝|PC|＋|PA|，故P 即为所求．
1 1 1
又AC′所在直线的方程为19x＋17y－93＝0，
故由可得P.
1
