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[基础题组练]
1．已知直线l：mx＋y－1＝0与直线l：(m－2)x＋my－2＝0，则“m＝1”是“l⊥l”的(
1 2 1 2
)
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.由l⊥l，得m(m－2)＋m＝0，解得m＝0或m＝1，所以“m＝1”是“l⊥l”
1 2 1 2
的充分不必要条件，故选A.
2．若直线l：x＋ay＋6＝0与l：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l 与l 之间的距离为( )
1 2 1 2
A. B．4
C. D．2
解析：选C.因为l∥l，所以＝≠，解得a＝－1，所以l 与l 的方程分别为l：x－y＋6＝0，
1 2 1 2 1
l：x－y＋＝0，所以l 与l 的距离d＝＝.
2 1 2
3．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为(
)
A．(1，2) B．(2，1)
C．(1，2)或(2，－1) D．(2，1)或(－1，2)
解析：选C.设P(x，5－3x)，则d＝＝，化简得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，解得x＝1或x＝
2，故P(1，2)或(2，－1)．
4．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程
为( )
A．2x＋3y－12＝0 B．2x－3y－12＝0
C．2x－3y＋12＝0 D．2x＋3y＋12＝0
解析：选D.由ax＋y＋3a－1＝0，可得a(x＋3)＋(y－1)＝0，令可得x＝－3，y＝1，所以
M(－3，1)，M不在直线2x＋3y－6＝0上，设直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为
2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，则＝，解得c＝12或c＝－6(舍去)，所以所求方程为2x＋3y＋12＝0，
故选D.
5．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4，
2)，(3，1)，则点C的坐标为 ( )
A．(－2，4) B．(－2，－4)
C．(2，4) D．(2，－4)
解析：选C.设A(－4，2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则解得所以BC所在直线方程
为y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0.同理可得点B(3，1)关于直线y＝2x的对称点为(－1，3)，所
以AC所在直线方程为y－2＝·(x＋4)，即x－3y＋10＝0.联立得解得则C(2，4)．故选C.
6．(一题多解)已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k
的取值范围是________．解析：法一：由方程组
解得
(若2k＋1＝0，即k＝－，则两直线平行，没有交点)
所以交点坐标为.
又因为交点位于第一象限，所以
解得－kAF，即k ∈(4，＋∞)．
FD 1 FD
答案：(4，＋∞)
5．正方形的中心为点C(－1，0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所
在直线的方程．
解：点C到直线x＋3y－5＝0的距离d＝＝.
设与x＋3y－5＝0平行的一边所在直线的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)，
则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离
d＝＝，
解得m＝－5(舍去)或m＝7，
所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0.设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是3x－y＋n＝0，
则点C到直线3x－y＋n＝0的距离
d＝＝，
解得n＝－3或n＝9，
所以与x＋3y－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0.
6．(创新型)在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：
(1)P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大；
(2)P到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小．
解：(1)如图，设B关于l的对称点为B′，AB′的延长线交l于P，在l上
0
另任取一点 P，则|PA|－|PB|＝|PA|－|PB′|<|AB′|＝|PA|－|PB′|＝|PA|－|
0 0 0
PB|，则P 即为所求．
0 0
易求得直线BB′的方程为x＋3y－12＝0，
设B′(a，b)，则a＋3b－12＝0，①
又线段BB′的中点在l上，故3a－b－6＝0.②
由①②解得a＝3，b＝3，
所以B′(3，3)．
所以AB′所在直线的方程为2x＋y－9＝0.
由可得P(2，5)．
0
(2)设C关于l的对称点为C′，与(1)同理可得C′.
连接AC′交l于P，在l上另任取一点P，有|PA|＋|PC|＝|PA|＋|PC′|>|AC′|＝|PC′|＋|PA|
1 1 1
＝|PC|＋|PA|，故P 即为所求．
1 1 1
又AC′所在直线的方程为19x＋17y－93＝0，
故由可得P.
1
