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[基础题组练]
1．已知命题p：若x≥a2＋b2，则x≥2ab，则下列说法正确的是 ( )
A．命题p的逆命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”
B．命题p的逆命题是“若x＜2ab，则x＜a2＋b2”
C．命题p的否命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”
D．命题p的否命题是“若x≥a2＋b2，则x＜2ab”
解析：选C.命题p的逆命题是“若x≥2ab，则x≥a2＋b2”，故A，B都错误；命题p的否命
题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”，故C正确，D错误．
2．“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆否命题是( )
A．若x，y∈R，x，y全不为0，则x2＋y2≠0
B．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2＝0
C．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2≠0
D．若x，y∈R，x，y全为0，则x2＋y2≠0
解析：选C.依题意得，原命题的题设为若x2＋y2＝0，结论为x，y全为零．逆否命题：若x，
y不全为零，则x2＋y2≠0，故选C.
3．有下列几个命题：
①“若a＞b，则＞”的否命题；
②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．
其中真命题的序号是( )
A．① B．①②
C．②③ D．①②③
解析：选C.①原命题的否命题为“若a≤b，则≤”，假命题；②原命题的逆命题为“若x，
y互为相反数，则x＋y＝0”，真命题；③原命题为真命题，故逆否命题为真命题．所以真命题
的序号是②③.
4．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A B”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
⊆
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C.由A∩B＝A可得A B，由A B可得A∩B＝A.所以“A∩B＝A”是“A B”
的充要条件．故选C.
⊆ ⊆ ⊆
5．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.因为cos 2α＝cos2α－sin2α＝0，所以sin α＝±cos α，所以“sin α＝cos α”
是“cos 2α＝0”的充分不必要条件．故选A.6．(2019·郑州模拟)设平面向量a，b，c均为非零向量，则“a·(b－c)＝0”是“b＝c”的(
)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.由b＝c，得b－c＝0，得a·(b－c)＝0；反之不成立．故“a·(b－c)＝0”是“b＝
c”的必要不充分条件．
7．(2019·西安八校联考)在△ABC中，“AB·BC＞0”是“△ABC是钝角三角形”的(
)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.法一：设AB与BC的夹角为θ，因为AB·BC＞0，即|AB|·|BC|cos θ＞0，所以cos
θ＞0，θ＜90°，又θ为△ABC内角B的补角，所以∠B＞90°，△ABC是钝角三角形；当△ABC
为钝角三角形时，∠B不一定是钝角．所以“AB·BC＞0”是“△ABC是钝角三角形”的充
分不必要条件，故选A.
法二：由AB·BC＞0，得BA·BC＜0，即cos B＜0，所以∠B＞90°，△ABC是钝角三角形；
当△ABC为钝角三角形时，∠B不一定是钝角．所以“AB·BC＞0”是“△ABC是钝角三角
形”的充分不必要条件，故选A.
8．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C.法一：设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，则A的补集C＝
{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然CD，所以BA，于是“x≠y”是
“cos x≠cos y”的必要不充分条件．
法二(等价转化法)：因为x＝y cos x＝cos y，而cos x＝cos y⇒ x＝y，所以“cos x＝cos
y”是“x＝y”的必要不充分条件，即“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．
⇒
9．“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－＋a为奇函数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C.f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，当a＝0时，f(x)＝sin x－，f(－x)＝
sin(－x)－＝－sin x＋＝－＝－f(x)，故f(x)为奇函数；
反之，当f(x)＝sin x－＋a为奇函数时，f(－x)＋f(x)＝0，又f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－＋a＋
sin x－＋a＝2a，故a＝0，
所以“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－＋a为奇函数”的充要条件，故选C.
10．(2019·长沙四校联考)已知等差数列{a}的前n项和为S，则“S 的最大值是S”是
n n n 8
“”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.若S 的最大值为S，则；若，则 ，所以.所以“S 的最大值是S”是“”的必
n 8 n 8
要不充分条件，故选B.
11．使a＞0，b＞0成立的一个必要不充分条件是( )
A．a＋b＞0 B．a－b＞0
C．ab＞1 D. ＞1
解析：选A.因为a＞0，b＞0 a＋b＞0，反之不成立，而由a＞0，b＞0不能推出a－b＞0，
ab＞1，＞1，故选A.
⇒
12．圆x2＋y2＝1与直线y＝kx－3有公共点的充分不必要条件是( )
A．k≤－2或k≥2 B．k≤－2
C．k≥2 D．k≤－2或k＞2
解析：选B.若直线与圆有公共点，则圆心(0，0)到直线kx－y－3＝0的距离d＝≤1，即
≥3，所以k2＋1≥9，即k2≥8，所以k≥2或k≤－2，所以圆x2＋y2＝1与直线y＝kx－3有公共
点的充分不必要条件是k≤－2，故选B.
[综合题组练]
1．(创新型)(2019·抚州七校联考)A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70
分，C的得分为65分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．则下列四个
命题中为p的逆否命题的是( )
A．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格
B．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分
C．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分
D．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分
解析：选C.根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C
至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选C.
2．(2019·广东江门模拟)若a，b都是正整数，则a＋b＞ab成立的充要条件是( )
A．a＝b＝1 B．a，b至少有一个为1
C．a＝b＝2 D．a＞1且b＞1
解析：选B.因为a＋b＞ab，所以(a－1)(b－1)＜1.因为a，b∈N*，所以(a－1)(b－1)∈N，所
以(a－1)(b－1)＝0，所以a＝1或b＝1.故选B.
3．(2019·四川达州一诊)方程x2－2x＋a＋1＝0有一正一负两实根的充要条件是( )
A．a＜0 B．a＜－1
C．－1＜a＜0 D．a＞－1
解析：选B.因为方程x2－2x＋a＋1＝0有一正一负两实根，所以解得a＜－1.故选B.
4．(应用型)若命题“ax2－2ax－3>0 不成立”是真命题，则实数 a 的取值范围是
________．
解析：由题意知ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得解得－3≤a<0，故实数a的取值范围是－3≤a≤0.
答案：[－3，0]
5．(应用型)已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且﹁q的一个充分不必要条件是
﹁p，则a的取值范围是________．
解析：由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由¬q的一个充分不必要条件是¬p，可知¬p是
¬q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件，故a≥1.
答案：[1，＋∞)
