文档内容
第2讲 函数的单调性与最值
最新考纲 考向预测
以基本初等函数为载体，考查
函数的单调性、单调区间及函
1.通过已学过的函数特别是二次函数， 数最值的确定与应用；强化对
命题
理解函数的单调性、最大(小)值及其几 函数与方程思想、转化与化归
趋势
何意义. 思想、分类讨论思想的考查，题
2.会运用基本初等函数图象分析函数的 型既有选择、填空题，又有解答
单调性. 题.
核心
逻辑推理、数学抽象、数学运算
素养
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D
上的任意两个自变量的值x ，x
1 2
定义 当x f ( x )，那
1 2 1 2 1 2 1 2
就说函数f(x)在区间D上是增函 么就说函数f(x)在区间D上是
数 减函数
图象
描述
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一
区间具有(严格的)单调性， 区间 D 叫做函数y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
(1)对于任意x∈I，都有 (1)对于任意x∈I，都有
条件
f ( x ) ≤ M ； f ( x ) ≥ M ；(2)存在x ∈I，使得 (2)存在x ∈I，使得
0 0
f ( x ) ＝ M f ( x ) ＝ M
0 0
结论 M为最大值 M为最小值
常用结论
1．函数单调性的两个等价结论
设∀x ，x ∈D(x ≠x )，则
1 2 1 2
(1)>0(或(x －x )[f(x )－f(x )]>0)⇔f(x)在D上单调递增．
1 2 1 2
(2)<0(或(x －x )[f(x )－f(x )]<0)⇔f(x)在D上单调递减．
1 2 1 2
2．函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时
最值一定在端点取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
常见误区
1．求函数的单调区间，应先确定函数的定义域，忽略定义域研究函数的单调
性是常见的错误．
2．有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，
只能用“逗号”或“和”联结．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)0，x －1<0，x －1<0，
2 1 1 2
故当a>0时，f(x )－f(x )>0，即f(x )>f(x )，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；
1 2 1 2
当a<0时，f(x )－f(x )<0，即f(x )0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增．
利用定义法证明或判断函数单调性的步骤
[注意] 判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等．
角度二 求函数的单调区间
求函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调区间．
【解】 f(x)＝
＝
画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和(0，1]，单调递减
区间为(－1，0]和(1，＋∞)．
【引申探究】 (变条件)若本例函数变为f(x)＝|－x2＋2x＋1|，如何求解？
解：函数y＝|－x2＋2x＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y＝|－x2＋2x＋
1|的单调递增区间为[1－，1]和[1＋，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－]和[1，1
＋]．
确定函数的单调区间的方法1．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A可能是( )
A．(－∞，0) B.
C．[0，＋∞) D.
解析：选B.y＝|x|(1－x)＝
＝
＝
画出函数的草图，如图．
由图易知原函数在上单调递增．
2．(多选)下列函数中，满足“∀x ，x ∈(0，＋∞)且x ≠x ，(x －x )·[f(x )－
1 2 1 2 1 2 1
f(x )]>0”的是( )
2
A．y＝－ B．y＝x
C．y＝x2 D．y＝|x－1|
解析：选ABC.由(x －x )·[f(x )－f(x )]>0可知，f(x)在 (0，＋∞)上是增函数．对
1 2 1 2
于A项，y＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以A项符合题意；对于B项，y＝x在(0，
＋∞)上单调递增，所以B项符合题意；对于C项，y＝x2在(0，＋∞)上单调递增，
所以C项符合题意；对于D项，y＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调，故选ABC.
3．若函数f(x)＝在R上为增函数，则实数b的取值范围为( )
A. B．[1，2]
C. D.
解析：选B.要使此分段函数为R上的增函数，必须使函数g(x)＝(2b－1)x＋b
－1在(0，＋∞)上单调递增，函数h(x)＝－x2＋(2－b)x在(－∞，0]上单调递增，且
满足h(0)≤g(0)，根据一次函数和二次函数的单调性可得解得1≤b≤2，即实数b
的取值范围是[1，2]．
函数的最值(值域)
(1)函数y＝的值域是________．
(2)函数y＝x＋的最小值为________．(3)(2020·福建漳州质检)已知函数 f(x)＝有最小值，则实数a的取值范围是
________．
【解析】 (1)(分离常数法)因为y＝＝－1＋，又因为1＋x2≥1，所以0<≤2，所
以－1<－1＋≤1，所以函数y的值域为(－1，1]．
(2)方法一(换元法)：令t＝，且t≥0，则x＝t2＋1，
所以原函数变为y＝t2＋1＋t，t≥0.
配方得y＝＋，
又因为t≥0，所以y≥＋＝1，
故函数y＝x＋的最小值为1.
方法二(单调性法)：因为函数y＝x和y＝在定义域内均为增函数，故函数y＝x
＋在[1，＋∞)上为增函数，所以y ＝1.
min
(3)(基本不等式法)由题意知，当x>0时，函数f(x)＝x＋≥2＝4，当且仅当x＝2
时取等号；当x≤0时，f(x)＝2x＋a∈(a，1＋a]，因此要使f(x)有最小值，则必须有
a≥4.
【答案】 (1)(－1，1] (2)1 (3)[4，＋∞)
求函数最值的五种常用方法
[注意] 导数法求最值下章讲解，数形结合求最值见本节方法素养．
1．已知1≤x≤5，则下列函数中，最小值为4的是( )
A．y＝4x＋ B．y＝x＋
C．y＝－x2＋2x＋3 D．y＝5－
解析：选D.易知函数y＝4x＋在[1，5]上单调递增，所以4x＋≥5，A不符合题
意；
因为x≥1，所以y＝x＋＝x＋1＋－1≥4－1＝3(当且仅当x＝1时取等号)，故其最小值不为4，B不符合题意；
y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，其最大值为4(当x＝1时取得)，最小值是f(5)
＝－12，C不符合题意；
因为函数y＝5－在(0，＋∞)上单调递增，所以在区间[1，5]上也是增函数，其
最小值为f(1)＝5－＝4，符合题意．故选D.
2．(2020·深圳模拟)函数y＝的最大值为________．
解析：令 ＝t，则t≥2，
所以x2＝t2－4，所以y＝＝，
设h(t)＝t＋，则h(t)在[2，＋∞)上为增函数，
所以h(t) ＝h(2)＝，所以y≤＝(x＝0时取等号)．即y最大值为.
min
答案：
函数单调性的应用
角度一 比较函数值的大小
已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x >x >1时，[f(x )－f(x )](x
2 1 2 1 2
－x )<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为( )
1
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
【解析】 因为f(x)的图象关于直线x＝1对称．由此可得f＝f.当x >x >1时，
2 1
[f(x )－f(x )](x －x )<0恒成立，
2 1 2 1
知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
因为1<2<f>f(e)，
所以b>a>c.
【答案】 D
利用函数的单调性比较函数值大小的方法
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数
性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题通
常选用数形结合的方法进行求解．
角度二 解函数不等式
已知函数 f(x)＝ln x＋2x，若 f(x2－4)<2，则实数 x 的取值范围是
________．【解析】 因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln
1＋2＝2，所以由f(x2－4)<2得，f(x2－4)3
时，x2＋y2的取值范围是( )
A．(3，7) B．(9，25)
C．(13，49) D．(9，49)
【解析】 (1)分别画出y＝2x(x<1)和y＝－log x(x≥1)的图象，如图．由图象可
2
知，函数的值域为(－∞，2)．
(2)由函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，可知函数y＝f(x)的图象关于原
点(0，0)对称，
即函数y＝f(x)为奇函数，由f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)<0，得f(x2－6x＋21)3时，(x－3)2＋(y－4)2<4表示以M(3，4)为圆心，2为半径的右半圆内部，
x2＋y2可看作半圆内部上的点到原点的距离的平方，可知当延长OM交半圆于点
B时，x2＋y2的值最大，即(＋2)2＝49，当在点A时x2＋y2的值最小，最小值为32＋
22＝13，故x2＋y2的取值范围是(13，49)．【答案】 (1)A (2)C
(1)数形结合求函数的值域就是将函数与其图象有机地结合起来，利用图形的
直观性求函数的值域，其题型特点就是这些函数的解析式具有某种几何意义，如
两点间距离公式或直线的斜率等．
(2)数形结合求函数值域的原则是先确定函数的定义域，再根据函数的具体形
式及运算确定其值域．
求函数y＝＋的值域．
解：y＝＋＝
＋，
把函数看成坐标系内的点与点间的距离和，P(x，0)，A(－2，－2)，B(2，1)，
即y＝|PA|＋|PB|.
通过观察图象，当点P在线段AB上时，y＝|PA|＋|PB|取到最小值，y＝|AB|＝5.
所以|PA|＋|PB|≥5，即函数y的值域为[5，＋∞)．
[A级 基础练]
1．下列四个函数中，在x∈(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．f(x)＝3－x B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝－ D．f(x)＝－|x|
解析：选C.当x>0时，f(x)＝3－x为减函数；
当x∈时，f(x)＝x2－3x为减函数，
当x∈时，f(x)＝x2－3x为增函数；
当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－为增函数；
当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．
2．函数f(x)＝－x＋在上的最大值是( )
A． B．－
C．－2 D．2
解析：选A.函数f(x)＝－x＋的导数为f′(x)＝－1－，则f′(x)<0，可得f(x)在上单调递减，即f(－2)为最大值，且为2－＝.
3．若函数y＝，x∈(m，n]的最小值为0，则m的取值范围是( )
A．(1，2) B．(－1，2)
C．[1，2) D．[－1，2)
解析：选D.因为函数y＝＝＝－1在区间(－1，＋∞)上是减函数，且f(2)＝0，
所以n＝2.根据题意，x∈(m，n]时，y ＝0.所以m的取值范围是[－1，2)．
min
4．已知函数f(x)是R上的增函数，对实数a，b，若a＋b>0，则有( )
A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)
B．f(a)＋f(b)f(－a)－f(－b)
D．f(a)－f(b)0，所以a>－b，b>－a.所以f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)，结
合选项，可知选A.
5．(多选)已知f(x)是定义在[0，＋∞)上的函数，根据下列条件，可以断定f(x)是
增函数的是( )
A．对任意x≥0，都有f(x＋1)>f(x)
B．对任意x ，x ∈[0，＋∞)，且x ≥x ，都有f(x )≥f(x )
1 2 1 2 1 2
C．对任意x ，x ∈[0，＋∞)，且x －x <0，都有f(x )－f(x )<0
1 2 1 2 1 2
D．对任意x ，x ∈[0，＋∞)，且x ≠x ，都有>0
1 2 1 2
解析：选CD.根据题意，依次分析选项：对于选项A，对任意x≥0，都有f(x＋
1)>f(x)，不满足函数单调性的定义，不符合题意；对于选项B，当f(x)为常数函数时
对任意x ，x ∈[0，＋∞)，都有f(x )＝f(x )，不是增函数，不符合题意；对于选项C，
1 2 1 2
对任意x ，x ∈[0，＋∞)，且x －x <0，都有f(x )－f(x )<0，符合题意；对于选项D，
1 2 1 2 1 2
对任意x ，x ∈[0，＋∞)，设x >x ，若>0，必有f(x )－f(x )>0，则函数在[0，＋∞)上
1 2 1 2 1 2
为增函数，符合题意．
6．函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是________．
解析：由于f(x)＝|x－2|x＝结合图象(图略)可知函数的单调递减区间是[1，2]．
答案：[1，2]
7．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范
围是________．
解析：当a＝0时，f(x)＝2x－3在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上
单调递增；当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，且－≥4，解得－≤a<0.
综上，实数a的取值范围是.
答案：
8．已知y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)1时，0<<1.因此函数f(x)的值域是(0，
＋∞)．
(2)y＝x－＝－≥－，所以函数y的值域为.
10．已知函数f(x)＝.
(1)写出函数f(x)的定义域和值域；
(2)证明：函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，并求f(x)在x∈[2，8]上的最
大值和最小值．
解：(1)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．又f(x)＝1＋，所以值域为{y|y≠1}．
(2)由题意可设00，x －
1 2 1 2 1 2 1 2 2
x >0，所以f(x )－f(x )>0，即f(x )>f(x )，所以函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数．
1 1 2 1 2
在x∈[2，8]上，f(x)的最大值为f(2)＝2，最小值为f(8)＝.
[B级 综合练]
11．已知符号函数sgn x＝f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)－f(ax)(a＞1)，则(
)
A．sgn[g(x)]＝sgn x
B．sgn[g(x)]＝－sgn x
C．sgn[g(x)]＝sgn[f(x)]
D．sgn[g(x)]＝－sgn[f(x)]
解析：选B.因为f(x)是R上的增函数，且a>1，所以当x>0时，f(x)f(ax)，即g(x)>0.由符号
函数sgn x＝知，sgn [g(x)]＝＝－sgn x.12．设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围为________．
解析：因为当x≤0时，f(x)＝(x－a)2，f(0)是f(x)的最小值，所以a≥0.当x＞0时，
f(x)＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝1时取“＝”．要满足f(0)是f(x)的最小值，需2
＋a≥f(0)＝a2，即 a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2，所以实数 a 的取值范围是
0≤a≤2.
答案：[0，2]
13．已知函数f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围．
解：(1)证明：设x ＜x ＜－2，
1 2
则f(x )－f(x )＝－＝.
1 2
因为(x ＋2)(x ＋2)＞0，x －x ＜0，
1 2 1 2
所以f(x )－f(x )＜0，即f(x )＜f(x )，
1 2 1 2
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增．
(2)设1＜x ＜x ，
1 2
则f(x )－f(x )＝－＝.
1 2
因为a＞0，x －x ＞0，所以要使f(x )－f(x )＞0，
2 1 1 2
只需(x －a)(x －a)＞0恒成立，
1 2
所以a≤1.综上所述，实数a的取值范围为(0，1]．
14．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x )－f(x )，且当x>1时，
1 2
f(x)<0.
(1)求f(1)的值；
(2)证明：f(x)为单调递减函数；
(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2，9]上的最小值．
解：(1)令x ＝x >0，代入得f(1)＝f(x )－f(x )＝0，故f(1)＝0.
1 2 1 1
(2)证明：任取x ，x ∈，且x >x ，则>1，由于当x>1时，f(x)<0，所以f<0，即f(x )
1 2 1 2 1
－f(x )<0，因此f(x )0，
当x>1时，x2－2ax＋4a－2－2|x－1|＝(x－2)(x－2a)．
由(x－2)(x－2a)≤0得2≤x≤2a.
所以使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围为[2，2a]．
(2)设函数f(x)＝2|x－1|，g(x)＝x2－2ax＋4a－2，则f(x) ＝f(1)＝0，g(x) ＝
min min
g(a)＝－a2＋4a－2，
所以由F(x)的定义知m(a)＝min{f(1)，g(a)}，即
m(a)＝
