文档内容
[基础题组练]
1．在直角坐标系xOy中，直线l 的参数方程为(t为参数)，直线l 的参数方程为(m为参
1 2
数)．设l 与l 的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.
1 2
(1)写出C的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M
3
为l 与C的交点，求M的极径．
3
解：(1)消去参数t得l 的普通方程l：y＝k(x－2)；消去参数m得l 的普通方程l：y＝(x＋
1 1 2 2
2)．
设P(x，y)，由题设得
消去k得x2－y2＝4(y≠0)．
所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．
(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)．
联立
得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．
故tan θ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝，
代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M的极径为.
2．(2018·高考全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点
(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
(1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．
解：(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.
当α＝时，l与⊙O交于两点．
当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－.l与⊙O交于两点当且仅当＜1，解得k＜－
1或k＞1，即α∈或α∈.
综上，α的取值范围是.
(2)l的参数方程为(t为参数，＜α＜)．
设A，B，P对应的参数分别为t ，t ，t ，则t ＝，且t ，t 满足t2－2tsin α＋1＝0.
A B P P A B
于是t ＋t ＝2sin α，t ＝sin α.
A B P
又点P的坐标(x，y)满足
所以点P的轨迹的参数方程是
(α为参数，＜α＜)．
3．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，
已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos.
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)已知直线l过点P(1，0)且与曲线C交于A，B两点，若|PA|＋|PB|＝，求直线l的倾斜角α.
解：(1)由ρ＝2cos＝2(cos θ＋sin θ) ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ) x2＋y2＝2x＋2y (x－1)2＋
(y－1)2＝2.
⇒ ⇒ ⇒
故曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
(2)由条件可设直线l的参数方程为(t为参数)，代入圆的方程，有t2－2tsin α－1＝0，
设点A，B对应的参数分别为t，t，
1 2
则t＋t＝2sin α，tt＝－1，|PA|＋|PB|＝|AB|＝|t－t|＝＝＝，
1 2 12 1 2
解得sin α＝或sin α＝－(舍去)，故α＝或.
4．(2019·合肥质检)在直角坐标系中，曲线C的参数方程为(α为参数)，以原点为极点，x
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D的极坐标方程为ρ＝4sin.
(1)写出曲线C的极坐标方程以及曲线D的直角坐标方程；
(2)若过点A(极坐标)且倾斜角为的直线l与曲线C交于M，N两点，弦MN的中点为P，
求的值．
解：(1)由题意可得曲线C的普通方程为＋＝1，
将代入曲线C的普通方程可得，曲线C的极坐标方程为＋＝1.
因为曲线D的极坐标方程为ρ＝4sin，
所以ρ2＝4ρsin＝4ρ，
又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以x2＋y2＝2y－2x，
所以曲线C的极坐标方程为＋＝1；曲线D的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0.
(2)点A，则所以A(2，2)．
因为直线l过点A(2，2)且倾斜角为，所以直线l的参数方程为(t为参数)，代入＋＝1可得，
t2＋(8＋18)t＋16＝0，
设M，N对应的参数分别为t，t，
1 2
由一元二次方程根与系数的关系得，t＋t＝－，tt＝，
1 2 12
所以＝＝.
[综合题组练]
1．(2019·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标
原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＋4sin θ＝
ρ.
(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)已知点M在直角坐标系中的坐标为(2，2)，若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，
求|MA|·|MB|的值．
解：(1)由消去参数t可得y＝(x－2)＋2，
所以直线l的普通方程为x－y＋2－2＝0.
因为ρsin2θ＋4sin θ＝ρ，所以ρ2sin2θ＋4ρsin θ＝ρ2.因为ρsin θ＝y，ρ2＝x2＋y2，
所以曲线C的直角坐标方程为x2＝4y.
(2)将代入抛物线方程x2＝4y中，可得(2＋t)2＝4(2＋t)，即t2＋(8－8)t－16＝0.
因为Δ>0，且点M在直线l上，
所以此方程的两个实数根为直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t，t，所以tt＝－
1 2 12
16，
所以|MA|·|MB|＝|tt|＝16.
12
2．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
C：ρsin2θ＝2acos θ(a>0)，直线l：(t为参数)．
(1)求曲线C的直角坐标方程，直线l的普通方程；
(2)设直线l与曲线C交于M，N两点，点P(－2，0)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实
数a的值．
解：(1)由ρsin2θ＝2acos θ(a>0)两边同乘以ρ得，曲线C：y2＝2ax，由直线l：(t为参数)，消
去t，得直线l：x－y＋2＝0.
(2)将代入y2＝2ax得，t2－2at＋8a＝0，
由Δ>0得a>4，设M，N(－2＋t，t)，则t＋t＝2a，tt＝8a，
2 2 1 2 12
因为|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，所以|t－t|2＝|tt|，所以(2a)2－4×8a＝8a，所以a＝5.
1 2 12
3．(综合型)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)，在以原点O为极点，
x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos(θ＋)＝－.
(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)设直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P是圆C上任意一点，求A，B两点的极坐
标和△PAB面积的最小值．
解：(1)由，消去参数t，得(x＋5)2＋(y－3)2＝2，
所以圆C的普通方程为(x＋5)2＋(y－3)2＝2.
由ρcos (θ＋)＝－，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，
所以直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.
(2)直线l与x轴，y轴的交点分别为A(－2，0)，B(0，2)，化为极坐标为A(2，π)，B，
设点P的坐标为(－5＋cos t，3＋sin t)，则点P到直线l的距离为d＝
＝.
所以d ＝＝2，又|AB|＝2.
min
所以△PAB面积的最小值是S＝×2×2＝4.
