文档内容
[基础题组练]
1．(2019·河北省九校第二次联考)函数y＝x＋＋2ln x的单调递减区间是( )
A．(－3，1) B．(0，1)
C．(－1，3) D．(0，3)
解析：选B.法一：令y′＝1－＋＜0，得－3＜x＜1，又x＞0，故所求函数的单调递减区间为
(0，1)．故选B.
法二：由题意知x＞0，故排除A、C选项；又f(1)＝4＜f(2)＝＋2ln 2，故排除D选项．故选
B.
2．(2019·济南调研)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则
下列叙述正确的是( )
A．f(b)>f(c)>f(d)
B．f(b)>f(a)>f(e)
C．f(c)>f(b)>f(a)
D．f(c)>f(e)>f(d)
解析：选C.由题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，
因为af(b)>f(a)，故选C.
3．(2019·江西七校第一次联考)若函数f(x)＝2x3－3mx2＋6x在区间(1，＋∞)上为增函数，
则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．(－∞，1)
C．(－∞，2] D．(－∞，2)
解析：选C.因为f′(x)＝6(x2－mx＋1)，且函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，所以f′(x)＝
6(x2－mx＋1)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即x2－mx＋1≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以m≤＝x＋
在(1，＋∞)上恒成立，即m≤(x∈(1，＋∞))，因为当x∈(1，＋∞)时，x＋＞2，所以m≤2. 故选
C.
4．设函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．(1，2] B．(4，＋∞)
C．(－∞，2) D．(0，3]
解析：选A.因为f(x)＝x2－9ln x，所以f′(x)＝x－(x>0)，由x－≤0，得00且a＋1≤3，解得10，解得a>－3，所以实数a
的取值范围是(－3，0)∪(0，＋∞)．
答案：(－3，0)∪(0，＋∞)
8．已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)≥0的解集为________．
解析：由f(x)图象特征可得，
f′(x)在和[2，＋∞)上大于0，在上小于0，
所以xf′(x)≥0 或⇔0≤x≤或x≥2，
所以xf′(x)≥0的解集为∪[2，＋∞)．
⇔
答案：∪[2，＋∞)
9．已知函数f(x)＝(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与
x轴平行．
(1)求k的值；
(2)求f(x)的单调区间．
解：(1)由题意得f′(x)＝，
又因为f′(1)＝＝0，故k＝1.
(2)由(1)知，f′(x)＝，
设h(x)＝－ln x－1(x>0)，
则h′(x)＝－－<0，即h(x)在(0，＋∞)上是减函数．
由h(1)＝0知，当00，从而f′(x)>0；
当x>1时，h(x)<0，从而f′(x)<0.
综上可知，f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围；
(2)若函数f(x)在(－1，1)上为单调减函数，求实数a的取值范围；
(3)若函数f(x)的单调递减区间为(－1，1)，求实数a的值；
(4)若函数f(x)在区间(－1，1)上不单调，求实数a的取值范围．
解：(1)因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立．
因为3x2≥0，
所以只需a≤0.
又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，
f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0，即实数a的取值范围为(－∞，0]．
(2)由题意知f′(x)＝3x2－a≤0在(－1，1)上恒成立，
所以a≥3x2在(－1，1)上恒成立，
因为当－10.
令f′(x)＝0，解得x＝±.
因为f(x)在区间(－1，1)上不单调，所以f′(x)＝0在(－1，1)上有解，需0<<1，得00 B．x＋x>0
1 2 1 2
C．x－x>0 D．x－x<0
解析：选D.由f(x)＝xsin x，得f′(x)＝sin x＋xcos x＝cos x(tan x＋x)，当x∈时，f′(x)>0，
即f(x)在上为增函数，又f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x＝f(x)，所以f(x)为偶函数，所以当
f(x)0，函数
单调递增，所以由f(x2＋2)0时，xf′(x)－f(x)<0，则使
得f(x)>0成立的x的取值范围是________．
解析：设y＝g(x)＝(x≠0)，则g′(x)＝，当x>0时，xf′(x)－
f(x)<0，所以 g′(x)<0，所以 g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝
f(1)＝－f(－1)＝0.
因为 f(x)为奇函数，所以 g(x)为偶函数，
所以 g(x)的图象的示意图如图所示．
当x＞0，g(x)＞0时，f(x)＞0，0＜x＜1，
当x＜0，g(x)＜0时，f(x)>0，x＜－1，
所以 使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)．
答案：(－∞，－1)∪(0，1)
5．(综合型)设函数f(x)＝aln x＋，其中a为常数．
(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
解：(1)由题意知a＝0时，f(x)＝，x∈(0，＋∞)，
此时f′(x)＝，
可得f′(1)＝，又f(1)＝0，
所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x－2y－1＝0.
(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝＋＝.
当a≥0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a<0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，
Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)．
①当a＝－时，Δ＝0，f′(x)＝≤0，
函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．②当a<－时，Δ<0，g(x)<0，
f′(x)<0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
③当－0，
设x，x(x0，
1
所以当x∈(0，x)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(x，x)时，g(x)>0，f′
1 1 2
(x)>0，
函数f(x)单调递增，
当x∈(x，＋∞)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．
2
综上可得：
当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a≤－时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当－0时，f(x)的单调增区间为(0，1)，
单调减区间为(1，＋∞)；
当a<0时，f(x)的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0，1)；
当a＝0时，f(x)为常函数．
(2)由(1)及题意得f′(2)＝－＝1，即a＝－2，
所以f(x)＝－2ln x＋2x－3，f′(x)＝.
所以g(x)＝x3＋x2－2x，
所以g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.
因为g(x)在区间(t，3)上总不是单调函数，
即g′(x)在区间(t，3)上有变号零点．
由于g′(0)＝－2，
所以当g′(t)<0时，
即3t2＋(m＋4)t－2<0对任意t∈[1，2]恒成立，
由于g′(0)<0，故只要g′(1)<0且g′(2)<0，
即m<－5且m<－9，即m<－9；
由g′(3)>0，即m>－.
所以－
