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[基础题组练]
1．在平面直角坐标系中，已知向量a＝(1，2)，a－b＝(3，1)，c＝(x，3)，若(2a＋b)∥c，则x
＝( )
A．－2 B．－4
C．－3 D．－1
解析：选D.因为a－b＝(3，1)，所以a－(3，1)＝b，则b＝(－4，2)．所以2a＋b＝(－2，6)．
又(2a＋b)∥c，所以－6＝6x，x＝－1.故选D.
2.已知向量AC，AD和AB在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若AC＝λAB＋
μAD，则λ＋μ等于( )
A．2 B．－2
C．3 D．－3
解析：选A.如图所示，建立平面直角坐标系，
则AD＝(1，0)，AC＝(2，－2)，AB＝(1，2)．
因为AC＝λAB＋μAD，所以(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1，0)＝(λ＋μ，2λ)，所以解得所以λ＋μ＝2.
故选A.
3．在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是BE的中点，若AF＝mAB＋nAD，则(
)
A．m＝，n＝ B．m＝，n＝
C．m＝，n＝ D．m＝，n＝
解析：选A.在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是BE的中点，
则AE＝AB＋AD，AF＝AE＋AB，
故AF＝＋AB，
＝AB＋AD.
由于AF＝mAB＋nAD，
所以m＝，n＝.
故选A.
4．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(m，3m－4)，b＝(1，2)，且平面内的任一向量c
都可以唯一地表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则m的取值范围是( )
A．(－∞，4) B．(4，＋∞)C．(－∞，4)∪(4，＋∞) D．(－∞，＋∞)
解析：选C.平面内的任意向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb，由平面向量基本定理
可知，向量a，b可作为该平面所有向量的一组基底，即向量a，b是不共线向量．又因为a＝
(m，3m－4)，b＝(1，2)，则 m×2－(3m－4)×1≠0，即 m≠4，所以 m 的取值范围为
(－∞，4)∪(4，＋∞)．
5．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C为坐标平面内第一象限内的点，且
∠AOC＝，|OC|＝2，若OC＝λOA＋μOB，则λ＋μ＝( )
A．2 B.
C．2 D．4
解析：选A.因为|OC|＝2，∠AOC＝，所以C(，)，又因为OC＝λOA＋μOB，所以(，)＝λ(1，0)
＋μ(0，1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.
6．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB＝(2，4)，AC＝(1，3)，则BD＝
________．
解析：由题意得BD＝AD－AB＝BC－AB＝(AC－AB)－AB＝AC－2AB＝(1，3)－2(2，4)＝
(－3，－5)．
答案：(－3，－5)
7．(2019·昆明市诊断测试)已知O为坐标原点，向量OA＝(1，2)，OB＝(－2，－1)，若2AP
＝AB，则|OP|＝________.
解析：设P点坐标为(x，y)，AB＝OB－OA＝(－2，－1)－(1，2)＝(－3，－3)，AP＝(x－1，y
－2)，由2AP＝AB得，2(x－1，y－2)＝(－3，－3)，所以，解得，故|OP|＝＝.
答案：
8．已知A(－3，0)，B(0，)，O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，OC＝λOA＋
OB，则实数λ的值为________．
解析：由题意知OA＝(－3，0)，OB＝(0，)，
则OC＝(－3λ，)，
由∠AOC＝30°知，以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150°，所以tan 150°
＝，
即－＝－，所以λ＝1，
答案：1
9．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－
2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量MN的坐标．
解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
所以解得
(3)设O为坐标原点，因为CM＝OM－OC＝3c，
所以OM＝3c＋OC＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．
所以M(0，20)．又因为CN＝ON－OC＝－2b，
所以ON＝－2b＋OC＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，
所以N(9，2)．所以MN＝(9，－18)．
10．如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上的点，∠CBA＝60°，∠ABD＝45°，CD＝xOA
＋yBC，求x＋y的值．
解：不妨设⊙O的半径为1，则A(－1，0)，B(1，0)，D(0，1)，C.
所以CD＝，
BC＝.又CD＝xOA＋yBC，
所以＝x(－1，0)＋y.
所以，解之得，
所以x＋y＝－＝－.
[综合题组练]
1．(创新型)若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，
β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组
基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为( )
A．(2，0) B．(0，－2)
C．(－2，0) D．(0，2)
解析：选D.因为a在基底p，q下的坐标为(－2，2)，
即a＝－2p＋2q＝(2，4)，
令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，
所以即
所以a在基底m，n下的坐标为(0，2)．
2．(创新型)已知P＝，Q＝是两个向量集合，则P∩Q等于( )
A. B.
C. D.
解析：选A.设a＝(x，y)，则P＝{(x，y)| }，所以集合P是直线x＝1上的点的集合．同理，
集合Q是直线x＋y＝2上的点的集合，即P＝，Q＝，所以P∩Q＝.故选A.3．(应用型)已知非零不共线向量OA，OB，若2OP＝xOA＋yOB，且PA＝λAB(λ∈R)，则点
Q(x，y)的轨迹方程是( )
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
解析：选A.由PA＝λAB，得OA－OP＝λ(OB－OA)，
即OP＝(1＋λ)OA－λOB.
又2OP＝xOA＋yOB，
所以消去λ得x＋y－2＝0，故选A.
4.如图，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于
圆O外一点D，若OC＝mOA＋nOB，则m＋n的取值范围是________．
解析：由点D是圆O外一点，可设BD＝λBA(λ＞1)，则OD＝OB＋λBA＝
λOA＋(1－λ)OB.又C，O，D三点共线，令OD＝－μOC(μ＞1)，则OC＝－OA－
·OB(λ＞1，μ＞1)，所以m＝－，n＝－，则m＋n＝－－＝－∈(－1，0)．
答案：(－1，0)
5．(一题多解)如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1，
1，，OA与OC的夹角为α，且tan α＝7，OB与OC的夹角为45°.若OC＝mOA＋
nOB(m，n∈R)，求m＋n的值．
解：法一：以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则
A(1，0)，由tan α＝7，α∈，得sin α＝，cos α＝，设C(x ，y )，B(x ，y )，则x ＝|OC|cos α＝×
C C B B C
＝，y ＝|OC|sin α＝×＝，即C.又cos(α＋45°)＝×－×＝－，sin (α＋45°)＝×＋×＝，则x
C B
＝|OB|cos(α＋45°)＝－，y ＝|OB|sin (α＋45°)＝，即B，由OC＝m OA＋n OB，可得
B
解得所以m＋n＝＋＝3.
法二：由tan α＝7，α∈，得sin α＝，cos α＝，则cos(α＋45°)＝×－×＝－，OB·OC＝
1××＝1，OA·OC＝1××＝，OA·OB＝1×1×＝－，由OC＝m OA＋n OB，得OC·OA＝m
OA2＋n OB·OA，即＝m－n ①，同理可得OC·OB＝m OA·OB＋n OB2，即1＝－m＋n
②，联立①②，解得所以m＋n＝＋＝3.
6．已知△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，AD为角平分线．
(1)求AD的长度；
(2)过点D作直线交AB，AC延长线于不同两点E，F，且满足AE＝xAB，AF＝yAC，求＋的
值，并说明理由．
解：(1)根据角平分线定理：＝＝2，所以＝，
所以AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC，
所以AD2＝AB2＋AB·AC＋AC2＝－＋＝，
所以AD＝.(2)因为AE＝xAB，AF＝yAC，所以AD＝AB＋AC＝AE＋AF，
因为E，D，F三点共线，所以＋＝1，所以＋＝3.
