文档内容
3.1 函数的三要素（精练）（提升版）
题组一 定义域
1．（2022·北京·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 的定义域为 ， ，即 ，
，解得： 且 ， 的定义域为 .选： .
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域是 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ 的定义域为 ，∴只需分母不为 即可，即 恒成立，
（1）当 时， 恒成立，满足题意，
（2）当 时， ，解得 ，综上可得 .故选：B.
3．（2022·全国·）（多选）已知函数 的定义域为 ，则实数 的取值可能是
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】ABC【解析】因函数 的定义域为 ，于是得 ，不等式 成立，
当 时， 恒成立，则 ，
当 时，必有 ，解得 ，
综上得： ，显然，选项A，B，C都满足，选项D不满足.故选：ABC
4．（2022·全国·河源市河源中学模拟预测）函数 的定义域为___________.
【答案】
【解析】由题意可知 ，而以2为底的对数函数是单调递增的，
因此 ，求解可得 或 ．故答案为： ．
5．（2022·河南南阳·高一期中）函数 的定义域为___________.
【答案】
【解析】由题意得： ，解得 .故答案为： .
6．（2022·全国·高三专题练习）若函数 的定义域为R.则实数a取值范围为
______.
【答案】
【解析】由题得 的解集为R,
当 时，6≥0恒成立，所以a=1满足题意；
当a=-1时，x≥-1,不满足题意；当 时， 且 ，所以 .
综合得 .
故答案为：
7．（2022·全国·高三专题练习）若函数 的定义域是R，则实数 的取值范围是
__________.
【答案】
【解析】由函数 的定义域为R,得 恒成立,化简得 恒成
立,所以由 解得: .故答案为: .
8．（2022·上海·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是
____________．
【答案】
【解析】函数f（x）＝lg（ ax）的定义域为R，∴ ax＞0恒成立，∴ ax恒成立，
设y ，x R，y2﹣x2＝1，y≥1；它表示焦点在y轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为y＝±x；
∈
令y＝﹣ax，x R；它表示过原点的直线；
∈
由题意知，直线y＝﹣ax的图象应在y 的下方，画出图形如图所示；
∴0≤﹣a≤1或﹣1≤﹣a<0，解得﹣1≤a≤1；∴实数a的取值范围是[﹣1，1]．故答案为[﹣1，1]．题组二 解析式
1．（2022·浙江·高三专题练习）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令 ，则 ，据此可得： ，
所以 的解析式为 .故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习））已知函数 在定义域 上单调，且 时均有 ，
则 的值为（ ）
A．3 B．1 C．0 D．
【答案】A
【解析】根据题意，函数 在定义域 上单调，且 时均有 ，
则 为常数，设 ，则 ，
则有 ，解可得 ，则 ，故 ；故选：A.
3．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数f(x)满足 ，则f(x)的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】若 ，则 ，满足题意；
若 ，则 ，不满足题意；若 ，则 ，不满足题意；
若 ，则 ，不满足题意.故选：A.
4．（2022·陕西西安）已知 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因 ，则设 ，有 ，而 ，则有 ，于是得
，
所以 ，故选：C
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 为 ，则 ，与 联立可解得， ．故选：D．
6．（2022·全国·高三专题练习）设函数f(x)对x≠0的一切实数都有f(x)＋2f( )＝3x，则f(x)＝_________.
【答案】
【解析】因为 ，可得 ，
由 ，解得 .故答案为： .7．（2022·全国·高三专题练习）定义在 上的函数 单调递增，且对 ，有 ，则
___________.
【答案】
【解析】根据题意，对 ，有
又 是定义在R上的单调增函数 R上存在常数a使得
， ，解得
故答案为： .
8．（2022·全国·高三专题练习）已知f(x－ )＝x2＋ ，则f（x+ ）＝________.
【答案】
【解析】因为f(x－ )＝x2＋ ，所以 ，
所以f（x+ ） ，故答案为：
9．（2022·全国·高三专题练习）设 若 ，则 _________.
【答案】
【解析】令 ，
， ，
10．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，则 =_____.【答案】 或
【解析】解： ，
或 ．故答案为： 或 ．
题组三 值域
1．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 得 ，得 ，
设 ，则 ，
所以 ，即函数 的值域是 .故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则 ，则 ，则函数等价为 ，
对称轴为 ，则当 时，函数取得最大值 ，
即 ，即函数的值域为 ， ，故选： ．
3．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】 故选：C．
4．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 （ ），则 ，
所以 ，
因为 ，且 ，所以当 时， 取最大值为 ，即 ，
所以函数的值域为 ，故选：C
5．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，且 的定义域为 ， ，值域为 ， ，设
函数 的定义域为 ､值域为 ，则 （ ）
A． B． ， C． ， D． ，
【答案】C
【解析】因为 ，且 的定义域为 ， ，值域为 ， ，
则 的定义域为 ， ，值域为 ， ，由 得 ，
所以 的定义域为 ， ，值域为 ， ，则 ， ， ， ，
所以 .故选：C.
6．（2022·全国·高三专题练习）若 的定义域为 ，值域为 ，则 的值域为
（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 是将原函数 ，向右平移1个单位，
再向上平移1个单位得到，但是左右平移不改变值域，故 的值域为 .故选：A.
7．（2022·全国·高三专题练习）若函数 在 上的最大值与最小值之和
不小于 ，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】法一：由题意， ，对于 ，
当 ，即 时， ， 在 上单调递增，
所以 ，即 ，因此 ；
当 ，即 时，由 、 且 ，则 在 上有两
个不相等的实根 ， ，
不妨设 ，则 上 ， 上 ， 上 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
由此， ， .
由 ，则 ，同理可得 ，
所以 ， ，则 ，解得 ，与 矛盾.
综上， .
法二：由题意得： ，
.
当 时， ，即
，
所以 ；
，又 ， ，即 ，
所以 .
综上， ，即 ，得 .
故选：B.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知 的值域为 ，则实数
（ ）
A．4或0 B．4或 C．0或 D．2或
【答案】B
【解析】由 ，由 ，可得 ，或 ，或 ，
它的定义域为 ，值域为 ，
若 ，则 ，则函数的值域为 ，不满足条件.
若 ，则根据函数的定义域为 ，
此时，函数 的零点为 ， ，
若 ，当 时， 不满足题意.
若 ，当 时， 不满足题意.
所以 ，求得 ；
若 ，则函数的定义域为 ，
此时函数 的零点为 ， ，
同理可得 ，所以 .
综上 ，或 ，
故选：B.
9（2022·浙江·高三专题练习）已知函数 ，则 的最大值为______．
【答案】
【解析】 时， 单调递增， ；
时， 单调递减， .所以 的最大值为 ．故答案为： ．
10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，对任意的 ， ，有 恒成立，则实数 的取值范围是___________.
【答案】
【解析】函数 在 ， 上单调递增， 在 ， 上单调递增，
∴ ， ，
对任意的 ， ， 有 恒成立，
∴ ，即 ，解得 ，
∴实数 的取值范围是 ．
故答案为： .
11．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是_____（写出正确命题的序号）
（1） ，使 ，只需 ；
（2） ， 恒成立，只需 ；
（3） ， ， 成立，只需 ；
（4） ， ， ，只需 ．
【答案】（2）（3）
【解析】对于（1）， ，使 ，只需 ，故（1）错误；
对于（2）， ， 恒成立，即 恒成立，
应需 ，故（2）正确；
对于（3）， ， ， 成立，
即需 ，故（3）正确；对于（4）， ， ， ，，
应需 ，故（4）错误．
综上，正确的命题是（2）（3）．故答案为：（2）（3）．
12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，函数 ，若对任意的
，总存在 使得 ，则实数 的取值范围是_____．
【答案】
【解析】由 可得 ，
当 时， ； 时， ；
所以 在 单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
因为 ， ，
可得 在 的值域为 ，
由 在 递增，
可得 的值域为 ，
由对任意的 ，总存在 ，使得 ，
可得 ，所以 ，可得 ，
实数 的取值范围是 .
故答案为： .
13．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的值域（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
（7） ；
（8）
（9） ；
（10） .
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） 且 ；（5） ；
（6） ；（7） ；（8） ；（9） ；（10） .
【解析】（1）分式函数 ，
定义域为 ，故 ，所有 ，故值域为 ；
（2）函数 中，分母 ，则 ，故值域为 ；
（3）函数 中，令 得 ，易见函数 和 都是减函数，
故函数 在 时是递减的，故 时 ，故值域为 ；（4） ， 故值域为 且 ；
（5） ， 而 ， ，
， ，即 ，故值域为 ；
（6）函数 ，定义域为 ，令 ，
所以 ，所以 ，对称轴方程为 ，
所以 时，函数 ，故值域为 ；
（7）由题意得 ，解得 ，
则 ，
故 ， ， ，
由y的非负性知， ，故函数的值域为 ；
（8）函数 ，定义域为 ， ，故
，即值域为 ；
（9）函数 ，定义域为 ，
故 ，所有 ，故值域为 ；
（10）函数 ，
令 ，则由 知， ， ，根据对勾函数 在 递减，在 递增,
可知 时， ，故值域为 .
