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第 02 讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（练）
一、单选题
1．如图所示，直三棱柱 中， 分别是 的中点，
，则 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取 的中点 的中点 ，由题可得 为 与 所成角，结合条件
及余弦定理即得.
【详解】取 的中点 的中点 ，则 ，
∴ 为 与 所成角，
由题可知直三棱柱 为正棱柱,
设 ，则 ，
在 中，可得 ,
∴ 与 所成角的余弦值为 ．故选：A．
2．下列能保证直线 与平面 平行的条件是（ ）
A． ，
B． ， ，
C． ､ ， ， ， ，且
D． ， ， ，
【答案】B
【分析】由线面平行的判定定理可知ACD不满足条件.【详解】A中，直线 可能在平面 内，A错误；
B中， ， ， ，根据线面平行的判定，可知 ，B正确；
C中， ，若点 在 内，则直线 在平面 内，C错误.
D中，直线 可能在平面 内，D错误.故选：B
3．在三棱锥 中 分别是 边的中点，且 ，则四边
形 是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】B
【分析】根据中位线的性质及平行公理可得四边形 是平行四边形，再利用
可得四边形 是矩形.
【详解】因为 分别是 边的中点，所以 ，所以
；
同理可得 ，所以四边形 是平行四边形；
又因为 ，所以 ，即四边形 是矩形.
故选：B.
4．对于直线m、n和平面 ，下面命题中的真命题是（ ）
A．如果 ， ，m、n是异面直线，那么
B．如果 ， ，m、n是异面直线，那么n与 相交
C．如果 ， ，m、n共面，那么
D．如果 ， ，m、n共面，那么
【答案】C
【分析】根据点、线、面的位置关系并结合图形即可判断答案
【详解】解：对于A，如果 ， ，m、n是异面直线，则 或 与 相交，故
A错；
对于B，如果 ， ，m、n是异面直线，那么n与 相交或平行，故B错；
对于C，如果 ， ，m、n共面，由线面平行的性质定理，可得 ，故C对；
对于D，如果 ， ，m、n共面，则 或 相交，故D错故选：C
5．一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（ ）A．平行 B．相交 C．异面 D．相交或异面
【答案】D
【分析】根据空间中两直线的位置关系，即可求解：
【详解】如图（1）所示，此时直线 与直线 为异面直线，其中 ，此时直线 与 为
相交直线；
如图（2）所示，此时直线 与直线 为异面直线，其中 ，此时直线 与 为异面直线，
综上，一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线的位置关系是相交或异
面.故选: D.
6．正方体的对角线与各个面上与其不共端点的对角线的位置关系是（ ）
A．异面垂直 B．异面不垂直 C．可能相交可能异面D．可能相交、平行或
异面
【答案】A
【分析】作出辅助线，证明线面垂直，从而证明线线垂直，得到正方体的对角线与各个面
上与其不共端点的对角线的位置关系.
【详解】如图，正方体的对角线 ，与其不共端点的面对角线 ，
连接 ，则 ，
又因为 平面A B C D ， 平面A B C D ，
1 1 1 1 1 1 1 1
所以 ，因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ，且两直线异面，
同理可证明正方体的对角线与各个面上与其不共端点的对角线垂直且异面，
综上：正方体的对角线与各个面上与其不共端点的对角线的位置关系为异面垂直.
故选：A
二、填空题
7．已知四面体 中， 、 、 分别为 、 、 的中点，且异面直线 与
所成的角为 ，则 _________.
【答案】 或
【分析】根据 ， ，结合异面直线夹角的定义求解即可.
【详解】如图，因为 、 、 分别为 、 、 的中点，故 ， ，
故 与 所成的角即 与 所成的角为 ，且与 相等或者互补，故
或 .
故答案为： 或
8．已知 ， ， ， 是相应长方体或空间四边形的边或对角线的中点，则这四点必定共
面的是______．（写序号）【答案】①③④
【分析】利用平面的基本性质及推论，逐一检验即可．
【详解】①中， ， ， ， ， 四点共面；
②中， 和 是异面直线，故四点不共面；
③中， ， ， ， ， 四点共面；
④中， ， ， ， ， 四点共面；
故答案为：①③④
9．从正方体的12条棱和12条面对角线中选出 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则 的最大值为______．
【答案】4
【分析】根据正方体的结构特征，先确定至多可选出4条，再确定选出4条两两异面的线，
即可得到结论．
【详解】正方体共有8个顶点，若选出的 条线两两异面，则不能共顶点，即至多可选出4
条，又可以选出4条两两异面的线（如图 ），故所求 的最大值是4．
故答案为：4．
10．对于任意给定的两条异面直线，存在______条直线与这两条直线都垂直．
【答案】无数
【分析】平移一条直线与另一条相交并确定一个平面，再由线面垂直的意义及异面直线所
成角判断作答.
【详解】令给定的两条异面直线分别为直线 ，平移直线 到直线 ，使 与直线 相交，
如图，
则直线 与 确定平面 ，点A是平面 内任意一点，过点A有唯一直线 ，
因此， ，即有 ，由于点A的任意性，
所以有无数条直线与异面直线 都垂直.故答案为：无数
三、解答题
11．如图， 为空间四边形，点 ， 分别是 ， 的中点，点 ， 分别在 ，
上，且 ， ．(1)求证： ， ， ， 四点共面；
(2)求证： ， 必相交且交点在直线 上．
【解析】（1）证明：连接 ，因为 ， 分别是 ， 的中点， ，
；所以 ， ，
所以 ，所以 ， ， ， 四点共面．
（2）证明：易知 ，又 ，所以 ，
结合（1）的结论可知，四边形 是梯形，
因此直线 ， 不平行．
设它们交点为 ， 平面 ，同理 ，所以 平面 ，
又平面 平面 ，
因此 ，即 ， 必相交且交点在直线 上．一、单选题
1．在正方体 中， 是棱 上的点且 ， 是棱 上的点，
记 与 所成的角为 ， 与底面 所成的角为 ，二面角 的平面
角为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】作 于 ，过 作 交 于 ，过 作 于 ，可得
， ， ，在正方体中求得它们的正切值比较大小后可得结
论．
【详解】作 于 ，则 ， ，从而 ，
而 平面 ，因此有 平面 ，
过 作 交 于 ，过 作 于 ，则 ， ,
由正方体性质易知 为二面角 的平面角，即 ，
，
平面 ，则 ，同理 ，
， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，所以 是矩形， ，
由 平面 知 ， ，
由 ， 得 ，即 ， 均为锐角，所以 ，
与 重合时，三角相等．
故选：B．
2．如图，点A，B，C在球心为O的球面上，已知 ， ， ，球O
的表面积为 ，下列说法正确的是（ ）．
A．
B．平面 平面OBC
C．OB与平面ABC所成角的正弦值为
D．平面OAB与平面ABC所成角的余弦值为
【答案】C
【分析】根据条件 ， ， 计算出 的长度，从而知三角形
为 ，故知截面圆心为三角形 边 中点（记为 ），进而知平面 平
面ABC，再由球O的表面积为 得出球的半径R，然后逐个分析选项即可.
【详解】如图1， ， ， ，由余弦定理得 ， ，
三角形 为 ，取 中点为 ，连接 ，则 平面ABC，又 ，
， .
据此，绘制出图2，则对A选项，如图2，若 ，而 ， ，而 ，
显然 不成立，故A错误；
对B选项，如图2，假设平面 平面OBC，过点C作OB垂线交OB于Q点，即
， 面 ， ，又 ， 与 重合，即
三角形 为 ，而在三角形 中， ， ，
三角形 不是 ，故矛盾，因此，故B不成立；
对C选项，如图1， 平面ABC ，OB与平面ABC所成角为 ， ，
， ， ，故C成立；
对D选项，如图2，取 中点为 ，连接 ， ，则 ， ，平
平面OAB与平面ABC所成角的平面角， 中， ，
， ，故D不成立．
故选：C．
3．已知正方体 中，点M在线段 上，记平面 平面 ，
则异面直线 与l所成角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由直线的平行关系可得出 即为所求角.
【详解】由图可知：， 平面BDM， 平面 ，
所以 平面BDM，
又因为平面 平面 ， 平面 ，所以 ，
故 即为异面直线 与l所成角，
易知 是等边三角形，所以 ．故选：C
4．已知正方体 中， 是 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A． 与 相交 B．
C． 平面 D． 平面
【答案】B
【分析】对于A，作图直接观察，由异面直线的定义，可得答案；
对于B，由线面垂直的定义，通过证明线面垂直，可得答案；
对于C，根据正方体的性质，结合线面垂直判定定理，找出垂线，判断其垂直与已知直线
的位置关系，可得答案；
对于D，过所求平面中的点，作已知直线的平行线，根据线面位置关系，可得答案.
【详解】对于A，由题意可作图如下：因为 与 异面，故A错误；
对于B，连接 在正方体 中，如下图：
， 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 平面 ， 平面 ，
所以 ，故B正确；
对于C，连接 ，如下图：
可得 平面 ，因为 与 不平行，所以 不垂直平面 ，
故C错误；
对于D，取 中点 ，连接 ，如下图：则 ，因为 交平面 于 ， 不平行平面 ，即 不平行平面 ，
故D错误．故选：B.
5．如图所示，在四棱柱 中， 平面ABCD，四边形ABCD为梯形，
，且 ，过 ，C，D三点的平面记为 ， 与 的交点为Q，则以下
四个结论：
① ；
② ；
③四棱柱被平面 分成的上下两部分的体积相等，
④几何体 是三棱台．
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】延长 与 相交于 ，连结 ，可证明 ，即可判断④；通过线段之间
的比例即可判断①②；通过对四棱柱被平面 分成的上下两部分的体积进行计算，即可判
断③
【详解】解：延长 与 相交于 ，连结 ，
因为 平面 平面ABCD，所以 在平面 与平面ABCD的交线 上，即 ，
由 及棱柱的性质可得平面 与平面 平行，
所以几何体 可看做是三棱锥 被平面 截剩下的一部分，故几何
体 是三棱台，故④正确；
因为 ，且 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，故①正确；
因为 ，所以 ，即 ，故②正确；
因为 ，所以 ， ，
因为 面 ，所以 ，
， ，
所以 ，故③错误；
故选：C.
6．如图，在棱长为 的正方体 中，M､N､P分别是 ， ， 的
中点，Q是线段 上的动点，则下列选项中错误的是（ ）A．存在点Q，使B､N､P､Q四点共面 B．存在点Q，使 平面MBN
C．三棱锥P-MBN的体积为 D．经过C､M､B､N四点的球的表面积为 .
【答案】C
【分析】利用空间中的平行关系的转化可判断AB的正误，利用体积公式可判断C的正误，
利用补体可求经过C、M、B、N四点的球的半径，从而可判断D的正误.
【详解】如图，
在正方体 中，连接 ， ，
因为N，P分别是 ， 的中点，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，B，N，P四点共面，即当Q与 重合时，B，N，P，Q四点共面，
故选项A正确；
连接PQ， ，当Q是 的中点时，因为 ， ，
所以 ，因为 平面BMN， 平面BMN，
所以 平面BMN，故选项B正确；连接 ， ， ， ，
由 与 平行且相等（都与 平行且相等）得 是平行四边形， ，
又 分别是正方形 的边 的中点，则 ，
所以 ，
所以 ，
故选项C错误；
分别取 ， 的中点E，F，构造长方体MADF-EBCN，
则经过C，M，B，N四点的球即为长方体MADF-EBCN的外接球，
设所求外接球的直径为2R，
则长方体MADF-EBCN的体对角线即为所求的球的直径，
即 ，
所以经过C，M，B，N四点的球的表面积为 ，故选项D正确.故选：C
二、填空题
7．如图，圆锥的底面直径 ，其侧面展开图为半圆，底面圆的弦 ，则异面直
线 与 所成角的余弦值为___________.
【答案】 ##0.25
【分析】分别取SA，BC，OA的中点M,N,P，连接OM，ON，MN，PM，PN，根据O为
AB的中点，得到 ， 是异面直线 与 所成的角（或补角）
求解.
【详解】解：如图所示：分别取SA，BC，OA的中点M,N,P，连接OM，ON，MN，PM，PN，
因为O为AB的中点，则 ，
所以 是异面直线 与 所成的角（或补角），
因为 ，所以 ，
因为圆锥的底面直径 ，其侧面展开图为半圆，
所以 ，解得 ，
，
在 中， ，则 ，
由余弦定理得 ，
所以 ，则 ，
在 中， ， ，
所以 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ，
故答案为：
8．过正方体 的顶点 在空间作直线 ，使 与平面 和直线 所成
的角都等于 ，则这样的直线 共有______条．
【答案】2
【分析】由题可转化为过点A与 ， 都成 的直线有几条，即可判断.
【详解】在正方体中， 与平面 垂直，再根据等角定理，问题可以转化为过点A
与 、 都成 的直线有几条．
考虑到 ， 夹角为 ，所以同一平面的角平分线与 ， 的夹角大小为 ，因为 ，从而存在两条直线满足条件．而 ， 的外角为120度，所以不存在
外角平分线满足条件．
综上，满足条件的直线共2条．
故答案为：2.
9．正方体 的棱长为 ，则异面直线 与 间的距离等于______．
【答案】
【分析】作辅助线，找出异面直线 与 的公垂线段，求出公垂线段可得答案.
【详解】取 中点 ，连接 ， ， 与 交于 ， 与 交于 ，
由正方体的性质可知 .
由 与 相似可得 ，
同理可得 ，所以 ，且 ，
所以 为 与 间的公垂线段，所以异面直线 与 间的距离等于 ．
故答案为： .10．空间四边形 的各边与两条对角线的长都为1，点 在边 上移动，点 在边
上移动，则点 ， 的最短距离为______．
【答案】
【分析】由已知条件可知几何体为正四面体，由此可知点 ， 的最短距离即为相对棱的
中点之间的距离，可求得答案.
【详解】由于空间四边形 的各边与两条对角线的长都为1，
故该几何体为正四面体，如图当P,Q分别为AB,CD的中点时，
连接AQ,BQ,则 ,所以 ,同理 ,
即当P,Q分别为AB,CD的中点时，PQ为异面直线AB,CD的公垂线，
此时点 ， 的距离最短；
因为空间四边形 的各边与两条对角线的长都为1，故 ,
所以 ,故答案为：
三、解答题
11．如图所示，在正方体 中，E，F分别是 的中点．(1)求证： 三线交于点P；
(2)在（1）的结论中，G是 上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，H三点
共线．
【解析】（1）证明：连接 ， ，
正方体 中，E，F分别是 的中点，
∴ 且 ，
∵ 且 ，
∴ 且 ，
∴EC与 相交，设交点为P，
∵P EC，EC 平面ABCD，∴P 平面ABCD；
又∵ ， 平面 ，∴ 平面 ，
∴P为两平面的公共点，
∵平面 平面 ，∴ ，
∴ 三线交于点P；
（2）
在（1）的结论中，G是 上一点，FG交平面ABCD于点H，
则FH 平面 ，∴ 平面 ，又 平面ABCD，∴ 平面 平面ABCD，
同理， 平面 平面ABCD，
平面 平面ABCD，
∴P，E，H都在平面 与平面ABCD的交线上，
∴P，E，H三点共线．
一、单选题
1．（2022·浙江·高考真题）如图，已知正三棱柱 ，E，F分别是棱
上的点．记 与 所成的角为 ， 与平面 所成的角为 ，二面角
的平面角为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先用几何法表示出 ，再根据边长关系即可比较大小．
【详解】如图所示，过点 作 于 ，过 作 于 ，连接 ，
则 ， ， ，
， ， ，
所以 ，故选：A．
2．（2020·山东·高考真题）已知正方体 （如图所示），则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据异面直线的定义，垂直关系的转化，判断选项.
【详解】A. ， 与 相交，所以 与 异面，故A错误；
B. 与平面 相交，且 ，所以 与 异面，故B错误；
C.四边形 是矩形，不是菱形，所以对角线 与 不垂直，故C错误；
D.连结 ， ， ， ，所以 平面 ，所以
，故D正确.
故选：D
3．（2021·全国·高考真题（理））在正方体 中，P为 的中点，则直线
与 所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】平移直线 至 ，将直线 与 所成的角转化为 与 所成的角，解三
角形即可.【详解】
如图，连接 ，因为 ∥ ，
所以 或其补角为直线 与 所成的角，
因为 平面A B C D ，所以 ，又 ， ，
1 1 1 1
所以 平面 ，所以 ，
设正方体棱长为2，则 ，
，所以 .故选：D
二、多选题
4．（2022·全国·高考真题）已知正方体 ，则（ ）
A．直线 与 所成的角为 B．直线 与 所成的角为
C．直线 与平面 所成的角为 D．直线 与平面ABCD所成的角为
【答案】ABD
【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.
【详解】如图，连接 、 ，因为 ，所以直线 与 所成的角即为直线
与 所成的角，
因为四边形 为正方形，则 ，故直线 与 所成的角为 ，A正确；连接 ，因为 平面 ， 平面 ，则 ，
因为 ， ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，故B正确；
连接 ，设 ，连接 ，
因为 平面A B C D ， 平面A B C D ，则 ，
1 1 1 1 1 1 1 1
因为 ， ，所以 平面 ，
所以 为直线 与平面 所成的角，
设正方体棱长为 ，则 ， ， ，
所以，直线 与平面 所成的角为 ，故C错误；
因为 平面 ，所以 为直线 与平面 所成的角，易得
，故D正确.故选：ABD
5．（2021·全国·高考真题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，
M，N为正方体的顶点．则满足 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线 构造所考虑的线线角后
可判断AD的正误.
【详解】设正方体的棱长为 ，
对于A，如图（1）所示，连接 ，则 ，
故 （或其补角）为异面直线 所成的角，
在直角三角形 ， ， ，故 ，
故 不成立，故A错误.对于B，如图（2）所示，取 的中点为 ，连接 ， ，则 ， ，
由正方体 可得 平面 ，而 平面 ，
故 ，而 ，故 平面 ，
又 平面 ， ，而 ，
所以 平面 ，而 平面 ，故 ，故B正确.
对于C，如图（3），连接 ，则 ，由B的判断可得 ，
故 ，故C正确.
对于D，如图（4），取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，
则 ，
因为 ，故 ，故 ，
所以 或其补角为异面直线 所成的角，因为正方体的棱长为2，故 ， ，
， ，故 不是直角，
故 不垂直，故D错误.
故选：BC.
三、填空题
6．（2020·全国·高考真题（理））设有下列四个命题：
p：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
1
p：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
2
p：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
3
p：若直线l 平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
4
则下述命题中所有真命题的序号是__________.
① ② ③ ④
【答案】①③④
【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题 的真假；利用三点共线可判断命题
的真假；利用异面直线可判断命题 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题 的真假.
再利用复合命题的真假可得出结论.
【详解】对于命题 ，可设 与 相交，这两条直线确定的平面为 ；
若 与 相交，则交点 在平面 内，
同理， 与 的交点 也在平面 内，
所以， ，即 ，命题 为真命题；
对于命题 ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题 为假命题；
对于命题 ，空间中两条直线相交、平行或异面，
命题 为假命题；
对于命题 ，若直线 平面 ，
则 垂直于平面 内所有直线，
直线 平面 ， 直线 直线 ，
命题 为真命题.
综上可知， ， 为真命题， ， 为假命题，
为真命题， 为假命题，
为真命题， 为真命题.
故答案为：①③④.
四、解答题
7（理）．（2021·北京·高考真题）如图：在正方体 中， 为 中点，
与平面 交于点 ．
（1）求证： 为 的中点；
（2）点 是棱 上一点，且二面角 的余弦值为 ，求 的值．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【分析】(1)首先将平面 进行扩展，然后结合所得的平面与直线 的交点即可证得题
中的结论；
(2)建立空间直角坐标系，利用空间直角坐标系求得相应平面的法向量，然后解方程即可求
得实数 的值.
【详解】(1)如图所示，取 的中点 ，连结 ，由于 为正方体， 为中点，故 ，
从而 四点共面，即平面CDE即平面 ，
据此可得：直线 交平面 于点 ，
当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点 与点 重合，
即点 为 中点.
(2)以点 为坐标原点， 方向分别为 轴， 轴， 轴正方向，建立空间直角坐
标系 ，
不妨设正方体的棱长为2，设 ，
则： ，
从而： ，
设平面 的法向量为： ，则：
，
令 可得： ，
设平面 的法向量为： ，则：，
令 可得： ，
从而： ，
则： ，
整理可得： ，故 （ 舍去）.
8（理）．（2021·浙江·高考真题）如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边
形， ，M，N分别为 的中点，
.
（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【分析】（1）要证 ，可证 ，由题意可得， ，易证
，从而 平面 ，即有 ，从而得证；
（2）取 中点 ，根据题意可知， 两两垂直，所以以点 为坐标原点，
建立空间直角坐标系，再分别求出向量 和平面 的一个法向量，即可根据线面角的
向量公式求出．
【详解】（1）在 中， ， ， ，由余弦定理可得 ，
所以 ， ．由题意 且 ， 平面
，而 平面 ，所以 ，又 ，所以 ．
（2）由 ， ，而 与 相交，所以 平面 ，因为，所以 ，取 中点 ，连接 ，则 两两垂直，以点
为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系,
则 ,
又 为 中点，所以 .
由（1）得 平面 ，所以平面 的一个法向量
从而直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
