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专题 16.6 二次根式章末十大题型总结（培优篇）
【人教版】
【题型1 二次根式相关概念辨析】..........................................................................................................................1
【题型2 二次根式有意义的条件】..........................................................................................................................1
【题型3 利用二次根式的性质化简】......................................................................................................................2
【题型4 同类二次根式的运用】..............................................................................................................................2
【题型5 最简二次根式的运用】..............................................................................................................................2
【题型6 比较二次根式的大小】..............................................................................................................................3
【题型7 求二次根式中的参数值】..........................................................................................................................3
【题型8 化简并估算二次根式的值】......................................................................................................................4
【题型9 二次根式的混合运算】..............................................................................................................................4
【题型10 二次根式的化简求值】..............................................................................................................................5
【题型1 二次根式相关概念辨析】
【例1】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）下列式子一定是二次根式是（ ）
A．√-4 B．π C．√3 a D．√7
【变式1-1】（2023春·湖北咸宁·八年级统考期中）若 是整数，则正整数n的最小值是 ．
√204n
【变式1-2】（2023春·北京海淀·八年级海淀实验中学统考期中）已知√12-n是正偶数，则实数n的最大值
为（ ）
A．12 B．11 C．8 D．3
【变式1-3】（2023·广东·八年级专题练习）下列各式① ; ② ; ③ ; ④ ;⑤ ; ⑥
√y √a+2 √x2+5 √3a √y2+6 y+9
√3,其中一定是二次根式的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【题型2 二次根式有意义的条件】
【例2】（2023春·山东威海·八年级统考期末）在实数范围内，不论x取何值，下列各式始终有意义的是（
）
A． B． C． D．
√2+x (√x) 2 √x2+1 √-3-x2【变式2-1】（2023春·广东惠州·八年级校考期中）已知x，y是实数，且y=√x-4+√4-x+3，求xy的平
方根．
【变式2-2】（2023春·全国·八年级期中）已知√2x+ y-5+√x-2y-5=√a+b-2022×√2022-a-b，
(1)求a+b的值；
(2)求2x+ y2021的值．
【变式2-3】（2023春·上海浦东新·八年级校考期末）若关于x的方程√4-x-a+1=0有实数解，则a的取
值范围是 ．
【题型3 利用二次根式的性质化简】
【例3】（2023春·山东威海·八年级统考期末）已知 ，则 a √ (b-a) 2的化简结果是 ．
a>b -
a-b a
【变式3-1】（2023春·山东烟台·八年级统考期中）若 ，则 化简后的结果是（ ）
xy<0 √x2y
A．x√y B．x√- y C．-x√- y D．-x√y
【变式3-2】（2023春·山东威海·八年级统考期末）化简 的结果是（ ）
(√3-a) 2+√(a-3) 2
A．0 B．-2a+6 C．2a-6 D．2a+6
【变式3-3】（2023春·安徽池州·八年级统考期末）代数式 的值为常数2，则 的取值范
√(1-a) 2+√(3-a) 2 a
围是（ ）
A．a≥3 B．a≤1 C．1≤a≤3 D．a=1或a=3
【题型4 同类二次根式的运用】
【例4】（2023·河南驻马店·八年级统考期中）下列二次根式中，可以合并的是（ ）
3
A．a√a和 √a2 B．√2a和√3a2
2
√1
C．3a√a和a2 D．√3a4和√2a2
a
1
【变式4-1】（2023春·山东威海·八年级统考期末）若√12与最简二次根式 √a-1是同类二次根式，则a
2
的值为 ．
【变式4-2】（2023春·山东潍坊·八年级统考期末）下列二次根式，不能与√12合并的是 （填写序号）
√3
①√48；②-√24；③ ；④√18
2【变式4-3】（2023春·甘肃武威·八年级校考期中）若最简二次根式 和 能合并，
3x-10 √2x+ y-5 √x-3 y+11
❑
则 ＝ ．
√x2+ y2
【题型5 最简二次根式的运用】
【例5】（2023春·宁夏固原·八年级校考期中）下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
√ y
A．√8x B．√5a2b C．√4a2+9b2 D．
2
√1
【变式5-1】（2023春·河北邢台·八年级校考期中）在二次根式√5，√15， ，√0.1中，最简二次根式有
5
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式5-2】（2023春·湖北襄阳·八年级统考期中）√24化简后与最简二次根式5√a+1的被开方数相等，
则a= .
【变式5-3】（2023春·全国·八年级期中）已知A=2√2x+1，B=3√x+3，C=√10x+3 y，其中A，B
为最简二次根式，且A+B=C，则2y-x的值为 ．
【题型6 比较二次根式的大小】
【例6】（2023春·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考期中）比较大小：√14-√13
√15-√14．
√2 √3 √5
【变式6-1】（2023春·山东菏泽·八年级统考期中）已知a= ，b= ，c= ，则下列大小关系正
2 3 5
确的是( )
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b
【变式6-2】（2023春·全国·八年级期末）已知a=√2022-√2021，b=√2021-√2020，
c=√2020-√2019，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A．a0，∴√19-2>2．请根据上述方法解答以下问题：
(1)√29的整数部分是________，7-√29的小数部分是_______；
(2)比较2-√23与-3的大小．
(3)已知(a+b)(a-b)=a2-b2，试用“比差法”比较√100+√98与2√99的大小．
【题型7 求二次根式中的参数值】
√x
【例7】（2023春·河北邢台·八年级校考阶段练习）已知√18x+2 +√2x=m，若x的值为整数，则m
2
的值可能为（ ）
A．10 B．8 C．4 D．-25
【变式7-1】（2023春·湖北十堰·八年级统考期中）已知√18-m是整数，则自然数m的所有可能值的个数
为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．无数个
【变式7-2】（2023春·江西宜春·八年级校联考阶段练习）若二次根式√16-2a有意义，且
是一个完全平方式，则满足条件的 值为（ ）
x2+(a-2)x+25 a
A．±12 B．±8 C．12 D．-8
【变式7-3】（2023春·江苏泰州·八年级统考期末）若 ，且a，m，n均为正整数，则a
a+4√3=(m+n√3) 2
的值为 ．
【题型8 化简并估算二次根式的值】
【例8】（2023春·重庆梁平·八年级统考期末）估算√2×√12+√6的值应在（ ）．
A．4和5之间 B．5和6之间
C．6和7之间 D．7和8之间．
【变式8-1】（2023春·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）估计√12-√3的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【变式8-2】（2023春·重庆合川·八年级统考期末）估计 的值应在（ ）
(√27-√6)÷√3
A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间
√1
【变式8-3】（2023春·河北邢台·八年级校考期中）估计(2√30-√24)⋅ 的值应在（ ）
6
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【题型9 二次根式的混合运算】
【例9】（2023春·四川广安·八年级校考期中）计算：
(1)9 √1 ÷ 3 √3 × 1 √ 2 2 ；
45 2 5 2 3
1√3 1
(2)(√6- - √24)×(-2√6)．
3 2 2
【变式9-1】（2023春·上海·八年级校考期末）计算： 2 √1 √ 1 √2 √ 3 ．
√12+ -4 -2+3 1 ÷ ×
√3-1 3 7 2 28
【变式9-2】（2023春·黑龙江绥化·八年级校考期中）计算．
(1) ；
(√5-√3+√2) (√5-√3-√2)
5 4 2
(2) - - ；
4-√11 √11-√7 3+√7
【变式9-3】（2023春·黑龙江绥化·八年级校考期中）计算
√ n ab n √m √ n
(1)(a2 - √mn+ )÷a2b2 ；
m m m n m
b-√ab a b a+b
(2)(√a+ )÷( + - )（a≠b）．
√a+√b √ab+b √ab-a √ab
【题型10 二次根式的化简求值】
【例10】（2023春·上海闵行·八年级上海市闵行区莘松中学校考期中）先化简，再求值：
x- y x+ y+2√xy 1
+ ，其中x=3,y= .
√x-√y √x+√y 3
【变式10-1】（2023春·浙江宁波·八年级校考期末）已知 1 ，且 ，则√ 6x
√x+ =3 0
