考向18平面向量的数量积及应用举例（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_一轮复习

考向 18 平面向量的数量积及 应用举例 1．（2022甲卷理第13题）设向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ， ，则 ． 【答案】 【解析】 ． 2.（2022甲卷文科第13题）已知向量 ， ，若 ，则 ________． 【答案】 【解析】由 ，得 ，解得 ． 3.（2022乙卷理科第3题）已知向量 满足 ， ， ，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设， ，得 ，代入 ， ，有 ，故 . 4.（2022乙卷文科第3题）3．已知向量 , ，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可得 ，则 ，选项D正确． （2022年新高考2卷第4题）已知 ， ， ， ，则A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知有 ， ，故 ，解得 . 5.（2022北京卷第10题）10.在 中， 为 所在平面内的动点，且 =1，则 的取值范围是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】建立如图所示坐标系，由题易知，设 所以选D. 【方法2】注意： ，且 其中， . 6.（2021 新高考 1 卷第 10 题）10．已知 为坐标原点，点 ， ， ， ，则 A． B． C． D．【答案】AC 【解析】对于A： ， ，A对； 因为 ， ，所以B错； 因为 ， ， ，所以C对； 而 ， ， 所 以 D 错． 故答案为AC． 1.计算向量数量积的三个角度 (1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即 a·b＝|a||b|cos θ(θ是a 与b的夹角)． (2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数 量积，进而求解． (3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解． 2.求向量夹角问题的方法 (1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系． (2)若已知a＝(x ，y )与b＝(x ，y )，则cos〈a，b〉＝ . 1 1 2 2 3.求向量的模或其范围的方法 (1)定义法：|a|＝＝，|a±b|＝＝. (2)坐标法：设a＝(x，y)，则|a|＝. (3)几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用解三角形的相 关知识求解．1．求平面向量的模的公式 (1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝＝； (2)|a±b|＝＝； (3)若a＝(x，y)，则|a|＝. 2．有关向量夹角的两个结论 (1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)； (2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)． 1．投影和两向量的数量积都是数量，不是向量． 2．向量a在向量b方向上的投影与向量b在向量a方向上的投影不是一个概念，要加以区别． 3．向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示 一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线． 1.已知向量a，b的夹角为，若c＝，d＝，则c·d＝( ) A. B． C. D． 【答案】B 【解析】c·d＝·＝＝cos ＝.故选B. 2．已知向量a，b满足a·(b＋a)＝2，且a＝(1，2)，则向量b在a方向上的投影为( ) A. B．－ C．－ D．－ 【答案】D 【解析】由a＝(1，2)，可得|a|＝，由a·(b＋a)＝2，可得a·b＋a2＝2，所以a·b＝－3，所以向 量b在a方向上的投影为＝－.故选D. 3．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a，c的数量积为( ) A．0 B．－2a2 C．2a2 D．－a2 【答案】A 【解析】由非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，可得c＝－(a＋b)，所以a·c＝a·[－(a＋b)]＝ －a2－a·b＝－a2－|a|·|b|·cosa，b．由于a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，所以a·c＝－a2－| a|·|b|cos 120°＝－|a|2－2|a|2×＝0.故选A. 4.已知单位向量a，b满足a·b＝0，若向量c＝a＋b，则sin〈a，c〉＝( ) A. B． C. D． 【答案】B 【解析】因为a，b是单位向量，所以|a|＝|b|＝1.又因为a·b＝0，c＝a＋b，所以|c|＝＝3，a·c ＝a·(a＋b)＝，所以cos〈a，c〉＝＝. 因为〈a，c〉∈[0，π]，所以sin〈a，c〉＝.故选B. 5．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(，)，则|a＋2b|＝( ) A．2 B．2 C. D． 【答案】C 【解析】因为a－b＝(，)，所以|a－b|＝，所以|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝5－2a·b＝5，则a·b ＝0，所以|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝17，所以|a＋2b|＝.故选C. 6．设a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于( ) A．－ B．－ C. D． 【答案】A 【解析】.c＝a＋kb＝(1，2)＋k(1，1)＝(1＋k，2＋k)，因为b⊥c，所以b·c＝0，b·c＝(1，1)·(1 ＋k，2＋k)＝1＋k＋2＋k＝3＋2k＝0，所以k＝－. 7.(多选)已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，OA＋AB＋AC＝0，且|OA|＝|AB|，下列 结论正确的是( ) A.CA在CB方向上的投影长为－ B.OA·AB＝OA·AC C.CA在CB方向上的投影长为 D.OB·AB＝OC·AC 【答案】BCD 【解析】由OA＋AB＋AC＝0得OB＝－AC＝CA，所以四边形OBAC为平行四边形．又 O为 △ABC外接圆的圆心，所以|OB|＝|OA|，又|OA|＝|AB|，所以△OAB为正三角形．因为△ABC 的外接圆半径为2，所以四边形OBAC是边长为2的菱形，所以∠ACB＝，所以CA在CB上的投影为|CA|cos＝2×＝，故C正确．因为OA·AB＝OA·AC＝－2，OB·AB＝OC·AC＝2，故B，D 正确． 8．(多选)在△ABC中，下列命题正确的是( ) A.AB－AC＝BC B.AB＋BC＋CA＝0 C．若(AB＋AC)·(AB－AC)＝0，则△ABC为等腰三角形 D．若AC·AB>0，则△ABC为锐角三角形 【答案】BC 【解析】由向量的运算法则知AB－AC＝CB；AB＋BC＋CA＝0，故A错，B对； 因为(AB＋AC)·(AB－AC)＝|AB|2－|AC|2＝0，所以|AB|2＝|AC|2，即AB＝AC， 所以△ABC为等腰三角形，故C对； 因为AC·AB>0，所以角A为锐角，但三角形不一定是锐角三角形．故选BC. 9.如图，在△ABC中，M为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，AB与AC的夹角为60°，则|MA|＝ ____． 【答案】 【解析】因为M为BC的中点，所以AM＝(AB＋AC)， 所以|MA|2＝(AB＋AC)2＝(|AB|2＋|AC|2＋2AB·AC)＝(1＋9＋2×1×3cos 60°)＝， 所以|MA|＝. 10．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________． 【答案】－ 【解析】因为|a|＝|a＋2b|，所以|a|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2，所以a·b＝－|b|2， 令a与b的夹角为θ.所以cos θ＝＝＝－. 11.已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实 数λ的值为________． 【答案】 【解析】因为AP⊥BC，所以AP·BC＝0.又AP＝λAB＋AC，BC＝AC－AB，所以(λAB＋AC)·(AC－AB)＝0，即(λ－1)AC·AB－λAB2＋AC2＝0， 所以(λ－1)|AC||AB|cos 120°－9λ＋4＝0. 所以(λ－1)×3×2×－9λ＋4＝0.解得λ＝. 12．已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2BE＝BC，设向量AE，BD的夹角为θ，则 cos θ＝________． 【答案】－ 【解析】方法一：因为2BE＝BC，所以E为BC的中点．设正方形的边长为 2，则|AE|＝，| BD|＝2，AE·BD＝·(AD－AB)＝|AD|2－|AB|2＋AD·AB＝×22－22＝－2，所以cos θ＝＝＝－. 方法二：因为2BE＝BC，所以E为BC的中点． 设正方形的边长为 2，建立如图所示的平面直角坐标系 xAy，则点 A(0，0)，B(2，0)， D(0，2)，E(2，1)，所以AE＝(2，1)，BD＝(－2，2)，所以AE·BD＝2×(－2)＋1×2＝－2，故 cos θ＝＝＝－. 一、单选题 1．（2021·全国·模拟预测）已知A，B，C，D在同一平面上，其中 ，若点B，C，D均在面 积为 的圆上，则 （ ） A．4 B．2 C．－4 D．－2 【答案】A 【解析】依题意，圆的半径为2，设圆心为O，因为 ，所以BD为圆的直径，，因为 ，则 是等边三角形，所以 ， 所成角为60°，所以 故选：A．2．（2022·江西·赣州市第三中学模拟预测（理））已知向量 ， .若 ，则 可 能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵ ， ，∴ ， ∴ ，又∵ ， ∴ 或 ， 对选项A，若 ， ， 解得 ，此时不成立； 对选项B，若 ， ， 解得 ，此时不成立； 对选项C，若 ， ， 解得 ，此时成立； 对选项D，若 ， ，且 ，此时不成立. 故选：C3．（2021··模拟预测）已知点 ，点 ， 则 的最大值为（ ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【解析】设 ， ， 所以 ， 因为 ， 所以 ， ， 所以要使 最大， ， 所以 ， 所以 . 故选：A. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是将点坐标化，二是分析到 时有最大值，然后再用辅助角公式. 4．（2022·全国·模拟预测）已知向量 ， ， ， ，则下列说法正确的是（ ） A．若 ，则 有最小值 B．若 ，则 有最小值 C．若 ，则 的值为 D．若 ，则 的值为1 【答案】A【解析】∵ ， ，∴ ． 对A：若 ，则 ， 当且仅当 ，即 ， ，取得等号，故选项A正确； 对B：若 ，则 ， 当且仅当 ， ，取得等号，故选项B错误； 对C：若 ，则 ，即 ， 则 ，故选项C错误； 对D：因为 , 所以 ， ，则D不正确. 故选：A． 5．（2022·全国·模拟预测）中国古塔多为六角形或八角形.已知某八角形塔的一个水平截面为正八边形 ABCDEFGH，如图所示，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】连接CE，因为正八边形ABCDEFCH的每一个内角都是135°，且 ，所以 , 由正八边形的对称性知 ，且 ，所以 ， 则 ， 故选:D. 6．（2022·山东潍坊·模拟预测）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做 扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝2OC＝2，点E在弧 CD上，则 的最小值是（ ） A．－1 B．1 C．－3 D．3 【答案】C 【解析】以 为原点， 为 轴的正方形建立平面直角坐标系， 则 ，设 ， ， 所以当 时， 取得最小值 .故选：C 二、多选题 7．（2022·山东·烟台二中模拟预测）中华人民共和国的国旗图案是由五颗五角星组成，这些五角星的位置 关系象征着中国共产党领导下的革命与人民大团结．如图，五角星是由五个全等且顶角为36°的等腰三角 形和一个正五边形组成．已知当 时， ，则下列结论正确的为（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】对于A，连接DH，如图，由DF=FH， 得： ， ，A正 确；对于B，连接AF，由 得：AF垂直平分DH，而 ，即 ，则 ， B正确； 对于C， 与 不共线，C不正确； 对于D，连接CH，BH，由选项A知， ，而 ，则四边形 是平行四边形， ，D不正确. 故选：AB 8．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）已知O为坐标原点， ， ， ，则下列结论正确的是（ ） A． 为等边三角形 B． 最小值为 C．满足 的点P有两个 D．存在一点P使得 【答案】AD 【解析】对于A， ， ， ， ，为等边三角形，A正确； 对于B， ， ， 又 ， 又 在 上单调递增， ，B错误； 对于C， ， 即 ， 只有一个点，C错误； 对于D，假设存在点 ， ， 即 ，D正确； 故选：AD. 9．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知 , ,其中 ，则以下结论 正确的是（ ）A．若 ，则 B．若 ，则 或 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】BCD 【解析】对于A，若 ，则 ，则 ， 因为 ，所以 ，则 或 或 ，故A不正确； 对于B，若 ，则 ，则 ， 因为 ，所以 ，所以 或 ， 所以 或 ，故B正确； 对于C， ，则 ，故C正确； 对于D，若 ，则 ，则 ，则 ，即 ，所以 ，故D正确. 故选：BCD. 10．（2022·山东聊城·三模）在直四棱柱 中，所有棱长均2， ，P为 的中点， 点Q在四边形 内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（ ）A．当点Q在线段 上运动时，四面体 的体积为定值 B．若 平面 ，则AQ的最小值为 C．若 的外心为M，则 为定值2 D．若 ，则点Q的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】对于A，因为 ，又因为 面 ， 面 ，所以 面 ，所以直线 到平面 的距离相等，又 的面积为定值，故A正确； 对于B，取 的中点分别为 ，连接 ， 则易证明： ， 面 ， 面 ，所以 面 ，又因为 ，， 面 ， 面 ，所以 面 ， ，所以平面 面 ， 面 ，所以 平面 当 时，AQ有最小值，则易求出 ，所以 重合，所以则AQ的最小值 为 ，故B正确； 对于C，若 的外心为M，，过 作 于点 ， 则 .故C错误； 对于D，过 作 于点 ，易知 平面 ， 在 上取点 ，使得 ，则 ，所以若 ，则 在以 为圆心，2为半径的圆弧 上运动， 又因为 所以 ，则圆弧 等于 ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 11．（2022·四川广安·一模（理））早在公元前1100年，我国数学家商高就已经知道“勾三股四弦五”， 如图，在△ABC中， ， ， ，点D是CB延长线上任意一点，则 的值为 __________． 【答案】16 【解析】因为 . 故答案为：16. 12．（2021·上海宝山·二模）如图，若同一平面上的四边形 满足： （ ， ），则当 的面积是 的面积的 倍时， 的最大值为________ △ △【答案】 【解析】因为 ， 所以 ， 过点S作 于A，过点 作 于 ， 因为 的面积是 面积的 ，所以 ，从而 ， 在 的两边同时点乘 ， 得 ， 由向量数量积的几何意义（投影）得 ， 从而 ，即 ， 整理得 ，所以 ， 当且仅当 时取等号，所以 的最大值为 . 【点睛】（1）在几何图形中进行向量运算: ①构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则； ②树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算. （2）利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： ①“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； ②“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成 积的因式的和转化成定值； ③“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所 求的最值，这也是最容易发生错误的地方． 13．（2021·浙江金华·三模）如图，在△ABC中， ， ， ，直线FM交 AE于点G，直线MC交AE于点N，若△MNG是边长为1的等边三角形，则 ___________. 【答案】 【解析】设 ， 而 ，所以 ， ，因为 ，所以 ， ，所以 . 同理 ，所以 . ， ， , 所以 . 【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减 或数乘运算． (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形 式，再通过向量的运算来解决． 14．（2022·浙江省义乌中学模拟预测）已知向量 ，若对于满足 的任意向量 ，都存在 ，使得 恒成立，则向量 的模 的最大值为________. 【答案】 【解析】设 ， ，满足 ， 即满足 ①，都存在 ，使得 恒成立， 即存在 ，使得 ②， 由①②可知：存在 ，使得 成立 即 ，即 ， 化简得： ③，即③式恒成立，则必须满足 ， 解得： ，即 ， 所以 的最大值为 . 故答案为： 【点睛】有关于向量模长的取值问题或最值问题，坐标化处理是一种重要方法和思路，结合题目特征，合 理设出向量，利用向量的坐标运算公式，二次函数根的分布或基本不等式，导函数等进行求解. 1．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知向量a，b满足 ， ， ，则 ( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， ， ， ． ， 因此， ． 2．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知 ， ， ，则 ( )A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵ ， ，∴ ,∴ ，解得 ，即 ，则 ． 【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法，利用转化 与化归思想解题．本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．学生易在处理向 量的法则运算和坐标运算处出错，借助向量的模的公式得到向量的坐标，然后计算向量数量积． 3．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知非零向量 ， 满足 ，且 ，则 与 的 夹角为 ( ) A． B． C． D． 【答案】B 【 解 析 】 ， 所 以 ， 所以 ． 4．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知向量 ， 满足 ， ，则 ( ) A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】B 【解析】 5．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知向量 , ,则 ( ) A． B． C． D． 【答案】A【解析】由题意,得 ,所以 ,故选A. 6．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)已知向量 ，且 ，则 ( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由 可得： ，所以 ，又 所以 ，所以 ，故选D． 7．(2014高考数学课标2理科)设向量a,b满足|a+b|= 10 ，|a-b|= 6 ，则a  b= ( ) A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【解析】因为 两式相加得： 所以 ，故选A． 8．(2021年高考全国甲卷理科)已知向量 ．若 ，则 ________． 【答案】 ． 【解析】 , ，解得 , 9．(2021年高考全国乙卷理科)已知向量 ，若 ，则 __________． 【答案】 【解析】因为 ，所以由 可得，，解得 ． 【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设 ， ，注意与平面向量平行的坐标表示区分． 10．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设 为单位向量，且 ，则 ______________． 【答案】 【解析】因为 为单位向量，所以 所以 解得： 所以 11．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知单位向量 , 的夹角为45°， 与 垂直，则 k=__________． 【答案】 【解析】由题意可得： ， 由向量垂直的充分必要条件可得： ， 即： ，解得： ． 12．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知 ， 为单位向量，且 ，若 ，则___________． 【答案】 ． 【解析】因为 ， ，所以 ， ，所以 ，所以 ． 13．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)已知向量 ， ， ，若 ， 则 ． 【答案】 【解析】依题意可得 ，又 ， 所以 ，解得 ．       a 2 b 1 a2b 14．(2017 年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知向量 a , b 的夹角为 60 , , ,则  __________． 2 3 【答案】         |a2b|2|a|2 4ab4|b|24421cos60 412 |a2b|2 3 【解析】法一: ，所以 ．   法二(秒杀解法):利用如下图形,可以判断出 a2b 的模长是以2为边长的菱形对角线的长度,则为 2 3 ． 法三:坐标法  1 3 a  2,0 b  2 , 2   a  2b  2,0  1, 3    3, 3    依题意,可设 , ,所以   2 a2b  32  3 2 3 所以 ． 15．(2016 高考数学课标Ⅰ卷理科)设向量 ， ，且 ，则 ． 【答案】 【解析】由已知得： ∴ ，解得 ． 16．(2015 高考数学新课标 2 理科)设向量 ， 不平行，向量 与 平行，则实数 _________． 【答案】 【解析】因为向量 与 平行，所以 ，则 所以 ．  1   AO (AB AC)   17．(2014高考数学课标1理科)已知A,B,C是圆O上的三点,若 2 ,则AB与 AC 的夹 角为______． 900 【答案】  1   AO (AB AC) 【解析】∵ 2 ,∴O为线段BC中点,故BC为 O 的直径,   ∴ BAC 900 ,∴AB与 AC 的夹角为 900 ． 18．(2013高考数学新课标1理科)已知两个单位向量 的夹角为60°， ，若 ， 则t =_____． 【答案】 2 【解析】 = = = = =0，解得 = ．