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第 01 讲 椭圆
一、单选题
1．设 为实数，若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
2．与椭圆 有公共焦点，且离心率为 的双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知 是椭圆 的左､右焦点，点 为抛物线 准
线上一点，若 是底角为 的等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知椭圆C的中心为原点O， 为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一
点，满足 ，且 ，则椭圆C的方程为（ ）A． B． C． D．
6．已知 、 是椭圆C： 的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，B在x
轴上， 且 .若坐标原点O到直线AB的距离为3，则椭圆C的方
程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知椭圆 过点 ，则其焦距为（ ）
A．8 B．12 C． D．
8．已知椭圆和双曲线有共同的焦点 ， ，P是它们的一个交点，且 ，记椭圆
和双曲线的离心率分别为 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
二、填空题
9．若椭圆 的离心率为 ，则实数 的值等于__________．
10．已知复数 满足 ，若 为实数（i为虚数单位），则 为_______.
11．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，左顶点为A，上顶点为B，
点P为椭圆上一点，且 .若 ，则椭圆的离心率为______.
12．“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂
直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上．称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔 蒙日（1746-1818）最先发现．若椭圆 的左、右焦点分别为
， 为椭圆 上一动点，过 和原点作直线 与椭圆 的蒙日圆相交于 ，则
_________．
三、解答题
13．已知椭圆 的离心率为 ，长轴的长为4．
(1)求椭圆的方程；
(2)过左焦点 ，作互相垂直的直线 ，直线 与椭圆交于 两点，直线 与圆
交于 两点， 为 的中点，求 面积的最大值．
14．已知椭圆 的右焦点 ，离心率为 ，且点 在椭圆 上．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过 的直线 不与 轴重合 与椭圆 相交于 、 两点， 不在直线 上且
， 是坐标原点，求 面积的最大值．
15．已知O为坐标原点，点 在椭圆C： 上，直线l： 与
C交于A，B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为 ．
(1)求C的方程；
(2)若 ，试问C上是否存在P，Q两点关于l对称，若存在，求出P，Q的坐标，若不存
在，请说明理由．
16．椭圆的两个焦点是 ， ，点 在椭圆上．
(1)求此椭圆方程；
(2)过 做两条互相垂直的直线，分别交椭圆于A，B，C，D四点，求四边形 面积的
取值范围．一、单选题
1．阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，
他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆
C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为 ，面积为 ，则椭圆C的
方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知点 分别是椭圆 的左､右焦点，已知椭圆上的点到焦点的距离最大值
为9，最小值为1.若点 在此椭圆上， ，则 的面积等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知 ， 分别是椭圆 的左，右焦点，若在椭圆 上存在点 ，
使得 的面积等于 ，则椭圆 的离心率 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆 的两个焦点为 ，过 的直线与 交于 两点.若
， 的面积为 ，则 的值为（ ）
A．4 B．3 C．5 D．6
5．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，上顶点为 ，直线
与 的另一个交点为 ．若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
故选：B
6．已知 为坐标原点， 是椭圆 的左焦点， 分别为 的左，右
顶点． 为 上一点，且 轴．直线 与 轴交于点 ，若直线 经过 的中点，
则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．7．椭圆 的上顶点为A，左焦点为F，AF延长线与椭圆交于点B，若
， ，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知O为坐标原点，焦点在x轴上的曲线C： 的离心率 满足 ，
A，B是x轴与曲线C的交点，P是曲线C上异于A，B的一点，延长PO交曲线C于另一
点Q，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知椭圆 左､右焦点分别为 、 ，过 且倾斜角为 的直线
与过 的直线 交于 点，点 在椭圆上，且 .则椭圆 的离心率
__________.
10．已知椭圆 与双曲线 公共焦点为 ，点 为两曲线
的一个公共交点，且 ，则双曲线的虚轴长为___________.
11．已知直线l： 与椭圆 交于A、B两点，与圆
交于C、D两点．若存在 ，使得 ，则椭圆 的
离心率的取值范围是_____________．
12．已知 ， 是椭圆 的两个焦点，满足 的点 总在椭
圆内部，则椭圆离心率的取值范围是______.
三、解答题
13．已知椭圆 的离心率为 ，椭圆的短轴端点与双曲线
的焦点重合，过点 且不垂直于 轴的直线l与椭圆相交于A，B两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点B关于 轴的对称点为点E，证明：直线 与 轴交于定点.14．已知椭圆E： 的左，右焦点分别为 ， ，且 ， 与短轴的两
个端点恰好为正方形的四个顶点，点 在E上．
(1)求E的方程；
(2)过点 作直线交E于A，B两点，求 面积的最大值.
15．已知椭圆的两焦点为 ， ， 为椭圆上一点，且 .
(1)求此椭圆的方程；
(2)若点 在第二象限， ，求 的面积.
16．已知曲线 上一动点 到两定点 ， 的距离之和为 ，过点
的直线 与曲线 相交于点 ， ．
(1)求曲线 的方程；
(2)动弦 满足： ，求点 的轨迹方程；
一、单选题
1．已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
2．已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则 的最大值
为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
二、多选题
3．已知曲线 .（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
三、解答题4．椭圆 的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足 ．
(1)求椭圆的离心率 ；
(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若
，且 的面积为 ，求椭圆的标准方程．
5．已知椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ，离心率为 ，且
．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线 与椭圆有唯一的公共点 ，与 轴的正半轴交于点 ，过 与 垂直的直线
交 轴于点 ．若 ，求直线 的方程．
四、双空题
6．已知椭圆 ，焦点 ， ，若过 的直线和圆
相切，与椭圆在第一象限交于点P，且 轴，则该直线的斜率是
___________，椭圆的离心率是___________.
