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第19讲 复数
【知识点总结】
一.基本概念
（1） 叫虚数单位，满足 ，当 时， .
（2）形如 的数叫复数，记作 .
①复数 与复平面上的点 一一对应， 叫z的实部，b叫z的虚部；
Z点组成实轴； 叫虚数； 且 ，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包
括原点）。两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数.
②两个复数 相等 （两复数对应同一点）
③复数的模：复数 的模，也就是向量 的模，即有向线段 的长度，其计算公式为
，显然， .
二.基本性质
1.复数运算
（1）
（2）
其中 ，叫z的模； 是 的共轭复数 .
（3） .
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数.
2.复数的几何意义
（1）复数 对应平面内的点 ；
（2）复数 对应平面向量 ；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数.（4）复数 的模 表示复平面内的点 到原点的距离.
【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）复数 （ 为虚数单位）在复平面内的对应点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
（多选题）例3．（2022·全国·高三专题练习）若复数z满足 ，则（ ）
A．|z|=2 B． 是纯虚数
C．复数z在复平面内对应的点在第三象限 D．若复数z在复平面内对应的点在角α的终边上，则
sinα=
例4．（2022·上海·高三专题练习）已知复数 ，则 ___________.
例5．（2022·江苏·高三专题练习）已知 其中 是实数， 是虚数单位，则 _________
例6．（2022·全国·高三专题练习）若复数 ，其中 为虚数单位，则 的虚部为
_____________.
例7．（2022·全国·高三专题练习）复数 在复平面内对应的点位于第一
象限，则实数 的取值范围是_____________.
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测）已知 ， ， ，复数 的实部为 ，虚部为 ，则（ ）
A． B． C． D．2．（2022·全国·高三专题练习）设 ，则z的共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中∶①两个复数不能比较大小；②若 ，则当且仅当时， 为纯虚数；③ 则 ；④ ；⑤若
实数 与 对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2022·全国·高三专题练习）若 ，且 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习（文））已知复数 的共轭复数为 ，若 （i为虚数单位），则
复数 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·浙江·高三专题练习）设 ， ， 为复数，则下列命题中一定成立的是（ ）
A．如果 ，那么
B．如果 ，那么
C．如果 ，那么
D．如果 ， ，那么 ，且
7．（2022·浙江·高三专题练习）复数 ，若复数 ，则在复平面内，复数 对应的点与
复数 对应的点（ ）
A．关于实轴对称 B．关于虚轴对称
C．关于原点对称 D．关于点 对称
8．（2022·全国·高三专题练习（理））在复平面内，平行四边形 的三个顶点，A，B，C对应的
复数分别为 ， ， ( 为虚数单位)，则点D对应的复数为（ ）A． B． C． D．
9．（2022·全国·高三专题练习）若复数 满足 （ 为虚数单位），则在复平面内 所对
应的点为（ ）
A． B． C． D．10．（2022·全国·高三专题练习）在复平面内，复数 是虚数单位），则 的共轭复数 在复
平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．（2022·全国·高三专题练习）在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
12．（2022·全国·高三专题练习（理））设复数z满足 ，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A． B． C． D．
13．（2022·全国·高三专题练习）若复数 （ 为虚数单位），则复数 在复平面上对应的点位
于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
14．（2022·全国·高三专题练习）欧拉公式 ( 是自然对数的底数，i是虚数单位)是由
瑞士著名数学家欧拉发现的．它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它
在复变函数论里占有非常重要的地位，当 时，就有 ，根据上述背景知识，试判断 表
示的复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
15．（2022·全国·高三专题练习）欧拉公式 ( 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发
现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重
要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知， 表示的复数位于复平面中的（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
16．（2022·全国·模拟预测）已知复数 在复平面上对应的点在直线 上，则
（ ）A． B．2 C． D．3
17．（2022·全国·高三专题练习）设复数 （ 是虚数单位），则 的值为（ ）
A． B． C． D．18．（2022·全国·高三专题练习）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
19．（2022·全国·高三专题练习）已知复数 满足 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．
20．（2022·浙江·高三专题练习）已知复数 ，满足 ，复数z的实部为 ，则复
数z的虚部是（ ）
A． B． C． D．
21．（2022·全国·高三专题练习）已知 为虚数单位，复数 满足 ，则 的最大值为
（ ）
A．1 B． C．2 D．3
22．（2022·全国·高三专题练习（文））若复数 ，则 =（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
23．（2021·全国·高三专题练习）已知复数 是关于 的方程 的一个根，则
（ ）
A．25 B．5 C． D．41
24．（2021·全国·高三阶段练习（理））复数 的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
25．（2022·全国·高三专题练习）若实数 ， 满足 ，则（ ）A． 的共轭复数为 B．
C． 的值可能为 D．
26．（2022·全国·高三专题练习）已知复数 ， ，则（ ）
A． 是纯虚数 B． 对应的点位于第二象限
C． D．
27．（2022·江苏·高三专题练习）若复数 ，其中 为虚数单位，则下列结论正确的是
A． 的虚部为 B．C． 为纯虚数 D． 的共轭复数为
28．（2021·江苏·海安高级中学高三阶段练习）设 ， 是复数，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．若 ，则
29．（2021·福建·泉州鲤城北大培文学校高三期中）设 是 的共轭复数，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． 是实数 D． 是纯虚数
30．（2021·全国·高三专题练习）设 是复数，则下列命题中的真命题是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
31．（2021·重庆·模拟预测）已知复数 （ 为虚数单位）在复平面内的对应的点为 ，复数
满足 在复平面内对应的点 为 ，则下列结论正确的有（ ）
A．复数 的虚部为
B．
C． 的最大值
D． 的最小值为
32．（2021·全国·高三专题练习（理））设 为复数，则下列命题中正确的是（ ）A．
B．
C．若 ，则 的最大值为2
D．若 ，则
33．（2021·湖南·高三阶段练习）已知复数 （ 为虚数单位）在复平面内对应的点为 ，复
数 满足 ，则下列结论正确的是（ ）A． 点的坐标为 B． （ 为 的共轭复数）
C． 的最大值为 D． 的最小值为
三、填空题
34．（2022·浙江·高三专题练习）已知 是虚数单位， ，且 ，则
__________.
35．（2022·全国·高三专题练习（文）） 为虚数单位，若关于 的方程 有实根，
则实数 ___________，
36．（2022·上海·高三专题练习）若复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 _________．
37．（2022·全国·高三专题练习） 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数m的值为
___________.
38．（2022·全国·高三专题练习（理））复数 ， ，若 为实数，则 ______．
39．（2022·上海·高三专题练习）已知复数 ， ， 是正实数，则复数
__________.
40．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， 为虚数单位，若 为实数，则 的值为__________．
41．（2022·全国·高三专题练习）已知m∈R，复数z＝（2+i）m2﹣m（1﹣i）﹣（1+2i）（其中i为虚
数单位），若复数z在复平面上对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围是_____
42．（2022·全国·高三专题练习）若复数 （ ， ，i为虚数单位）满足 ，写出
一个满足条件的复数 __________．
43．（2021·上海市建平中学高三阶段练习）若 是关于 的实系数方程 的一个复数
根，则 ___________.
44．（2021·重庆梁平·高三阶段练习） 是虚数单位，已知复数 ，则 ________．
45．（2021·全国·高三专题练习）i是虚数单位， ________．
