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第19讲 复数
【知识点总结】
一.基本概念
（1） 叫虚数单位，满足 ，当 时， .
（2）形如 的数叫复数，记作 .
①复数 与复平面上的点 一一对应， 叫z的实部，b叫z的虚部；
Z点组成实轴； 叫虚数； 且 ，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包
括原点）。两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数.
②两个复数 相等 （两复数对应同一点）
③复数的模：复数 的模，也就是向量 的模，即有向线段 的长度，其计算公式为
，显然， .
二.基本性质
1.复数运算
（1）
（2）
其中 ，叫z的模； 是 的共轭复数 .
（3） .
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数.
2.复数的几何意义
（1）复数 对应平面内的点 ；
（2）复数 对应平面向量 ；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数.（4）复数 的模 表示复平面内的点 到原点的距离.
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）复数 （ 为虚数单位）在复平面内的对应点位于（ ）A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】
解：因为 ，
所以复数 在复平面内的对应点为 ，位于第二象限，
故选：B.
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为 ，所以 ，
所以
故选：C
（多选题）例3．（2022·全国·高三专题练习）若复数z满足 ，则（ ）
A．|z|=2 B． 是纯虚数
C．复数z在复平面内对应的点在第三象限 D．若复数z在复平面内对应的点在角α的终边上，则
sinα=
【答案】AB
【详解】
由题意 ， ，A选项正确；
，B选项正确；
在复平面内对应点为 ，对应点在第一象限，C选项错误；，D选项错误.
故选：AB.例4．（2022·上海·高三专题练习）已知复数 ，则 ___________.
【答案】2
【详解】
解： ，
则 .
故答案为：2.
例5．（2022·江苏·高三专题练习）已知 其中 是实数， 是虚数单位，则 _________
【答案】
【详解】
由 ，可得
则 ，解得 .
故答案为： .
例6．（2022·全国·高三专题练习）若复数 ，其中 为虚数单位，则 的虚部为
_____________.
【答案】-1
【详解】
，所以虚部为-1.
故答案为：-1.
例7．（2022·全国·高三专题练习）复数 在复平面内对应的点位于第一
象限，则实数 的取值范围是_____________.
【答案】
【详解】因为 ，
所以 在复平面中所对应的点的坐标为 ，令 ，解得 .
故答案为： .
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测）已知 ， ， ，复数 的实部为 ，虚部为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由复数的除法运算化简复数后结合复数的定义可得．
【详解】
，所以 ， ，
所以 .
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）设 ，则z的共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先对复数 化简，从而可求出其共轭复数，进而可求出其虚部
【详解】
因为 ，
所以 ，
所以 的虚部为 ，故选：C
3．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中∶①两个复数不能比较大小；②若 ，则当且仅当时， 为纯虚数；③ 则 ；④ ；⑤若
实数 与 对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】
根据复数的概念，逐项判断，即可得到结果.
【详解】
复数 ( 为实数)，当 时可以比较大小，当 时，不能比较大小，故①错误;
复数 ，当 为实数且 时， 为纯虚数，故②错误;
若 ,则 ，但 不成立，故③错误;
只有当 时，有 ，故④错误;
若 ，则 ， 不是纯虚数，故⑤错误.
综上可知，有0个命题正确.
故选：A.
4．（2022·全国·高三专题练习）若 ，且 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据复数的乘法运算和相等复数的性质，求出 ，再根据 ，得出 ，从而可求出 的
取值范围.
【详解】
解：因为 ， 所以 ，所以 ，解得： ，
因为 ，所以 ，解得： 或 ，则实数 的取值范围是 .
故选：B.
5．（2022·全国·高三专题练习（文））已知复数 的共轭复数为 ，若 （i为虚数单位），则
复数 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用复数相等列方程组，解方程组求得 ，由此求得 的虚部.
【详解】
设 ， ，则 ，
∵ ，
∴ ，
即 ，解得 ，
∴ ，
故复数 的虚部为 .
故选：D
6．（2022·浙江·高三专题练习）设 ， ， 为复数，则下列命题中一定成立的是（ ）
A．如果 ，那么
B．如果 ，那么
C．如果 ，那么D．如果 ， ，那么 ，且
【答案】D
【分析】
举特例排除选项 ，利用正实数的性质判断 正确.【详解】
对于 ，反例 ， ，满足， ，但是 不正确，所以 不正确；
对于 ，反例 ，满足 ，但是 ，所以 不正确；
对于 ，满足 的复数 对应的点的轨迹为点 与点 连线的中垂线，所以 不
正确；
对于 ， ， 显然为正实数，所以 ，且 正确.
故选：
7．（2022·浙江·高三专题练习）复数 ，若复数 ，则在复平面内，复数 对应的点与
复数 对应的点（ ）
A．关于实轴对称 B．关于虚轴对称
C．关于原点对称 D．关于点 对称
【答案】B
【分析】
由条件求得 ，化简，根据复平面内坐标，判断两复数对称性即可.
【详解】
由题知， ，由复数 在复平面内对应的点的坐标知，其对应的点
关于虚轴对称.
故选：B
8．（2022·全国·高三专题练习（理））在复平面内，平行四边形 的三个顶点，A，B，C对应的
复数分别为 ， ， ( 为虚数单位)，则点D对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先利用复数的几何意义写出各点的坐标，再利用平行四边形构造相等向量列方程组求解.【详解】
由题知， ， ， ，设 .则 ， .
因为 为平行四边形，所以 .
由 ，解得 ，
所以点 对应的复数为 .
故选：A.
9．（2022·全国·高三专题练习）若复数 满足 （ 为虚数单位），则在复平面内 所对
应的点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用复数的除法化简复数 ，可求得复数 ，利用复数的几何意义可得出结论.
【详解】
由题意，得 ，所以 ．
所以在复平面内 对应的点为 ．
故选：D．
10．（2022·全国·高三专题练习）在复平面内，复数 是虚数单位），则 的共轭复数 在复
平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】
利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数 ，求出 ，再求出 在复平
面内对应的点的坐标，从而可得结果.【详解】
，，
则 在复平面内对应的点的坐标为 ，位于第二象限，故选B.
【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯
虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算
时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
11．（2022·全国·高三专题练习）在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先根据复数几何意义得 ，再根据复数乘法法则得结果.
【详解】
由题意得 ， .
故选：B.
【点睛】
本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.
12．（2022·全国·高三专题练习（理））设复数z满足 ，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之
间的距离为1，可选正确答案C．
【详解】
则 ．故选C．
【点睛】
本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用
方程思想解题．13．（2022·全国·高三专题练习）若复数 （ 为虚数单位），则复数 在复平面上对应的点位
于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】
首先化简复数 ，再根据复数的几何意义，判断选项.
【详解】
由题意可知： ，所以复数 在复平面上对应的点为
.位于第四象限.
故选:D.
14．（2022·全国·高三专题练习）欧拉公式 ( 是自然对数的底数，i是虚数单位)是由
瑞士著名数学家欧拉发现的．它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它
在复变函数论里占有非常重要的地位，当 时，就有 ，根据上述背景知识，试判断 表
示的复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】
根据欧拉公式，化简复数得的 ，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】
由题意，可得 ，
所以复数 表示的复数在复平面内对应的点为 位于第二象限．
故选：B.15．（2022·全国·高三专题练习）欧拉公式 ( 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发
现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重
要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知， 表示的复数位于复平面中的（ ）A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】
先由欧拉公式计算可得 ，然后根据复数的几何意义作出判断即可.
【详解】
根据题意 ，故 ，对应点 ，在第一象限.
故选：A.
16．（2022·全国·模拟预测）已知复数 在复平面上对应的点在直线 上，则
（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【分析】
由复数的四则运算得出复数 在复平面上对应的点的坐标，再代入直线方程得出 .
【详解】
因为
所以其对应点的坐标为
由题意知 ，解得
故选：D.
17．（2022·全国·高三专题练习）设复数 （ 是虚数单位），则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据共轭复数的概念及复数模的公式，即可求解.
【详解】
由复数 ，可得 ，所以 ，所以 .
故选：D.
18．（2022·全国·高三专题练习）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】
根据复数的除法运算求出复数 ，再根据共轭复数及模长公式可求出结果.
【详解】
因为 ，
所以
所以 .
故选：D
19．（2022·全国·高三专题练习）已知复数 满足 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】
利用复数的运算先求z，再利用复数的模长公式求解.
【详解】
因为 ，
所以 ，
，
所以|z|= .故选：C.
20．（2022·浙江·高三专题练习）已知复数 ，满足 ，复数z的实部为 ，则复
数z的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由复数z的实部为 ，结合 ，由 求解.
【详解】
因为复数z的实部为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
解得 ， （舍去），
所以复数z的虚部 ．
故选：A
21．（2022·全国·高三专题练习）已知 为虚数单位，复数 满足 ，则 的最大值为
（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】D
【分析】
设 ，利用 推出 对应复平面上的点的轨迹， 的最大值即为轨迹上的点到
原点距离的最大值.
【详解】设 ，由 ，推出 ，则 ，
于是 可看成以 为圆心，半径为 的圆上运动， ，
意为A到 的距离，距离最大值为3，所以 .
故选：D.22．（2022·全国·高三专题练习（文））若复数 ，则 =（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【分析】
根据复数的乘方运算以及减法运算求出 ，然后利用模长公式即可求出结果.
【详解】
由题意可得： ，则 ，所以 ．
故选：B．
23．（2021·全国·高三专题练习）已知复数 是关于 的方程 的一个根，则
（ ）
A．25 B．5 C． D．41
【答案】C
【分析】
将 代入原方程，然后根据复数相等求解出 的值，则 可求.
【详解】
因为复数 是关于 的方程 的一个根，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
则 ，
故选：C.
24．（2021·全国·高三阶段练习（理））复数 的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】
运用复数的四则运算求得 ，再根据共轭复数的定义即可得到答案.【详解】
因为 ，
所以 的共轭复数为 .
故选 .
二、多选题
25．（2022·全国·高三专题练习）若实数 ， 满足 ，则（ ）
A． 的共轭复数为 B．
C． 的值可能为 D．
【答案】BCD
【分析】
由复数相等的定义求出 的关系，并求得 的可能值，然后判断各选项.
【详解】
因为 .
所以 ， ，
即 ， ，则 .解得 或 ，
故A错误，B，C，D均正确.
故选：BCD.
26．（2022·全国·高三专题练习）已知复数 ， ，则（ ）
A． 是纯虚数 B． 对应的点位于第二象限
C． D．
【答案】AD
【分析】
对于A选项利用复数的相关概念可判断；对于B选项结合复数的减法运算以及复数的几何意义即可判
断；对于C选项结合复数的加法运算以及复数的模长公式即可判断；对于D选项结合复数的乘法运算以及复数的模长公式即可判断.
【详解】
对于A选项,利用复数的相关概念可判断A正确；对于B选项， 对应的点位于第四象限，故B错；
对于C选项， ，则 ，故C错；
对于D选项， ，则 ，故D正确.
故选：AD.
27．（2022·江苏·高三专题练习）若复数 ，其中 为虚数单位，则下列结论正确的是
A． 的虚部为 B．
C． 为纯虚数 D． 的共轭复数为
【答案】ABC
【分析】
首先利用复数代数形式的乘除运算化简 后得： ，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断
即可.
【详解】
因为 ，
对于A： 的虚部为 ，正确；
对于B：模长 ，正确；
对于C：因为 ，故 为纯虚数，正确；
对于D： 的共轭复数为 ，错误.
故选：ABC.
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查
对基础知识的理解和掌握，属于常考题.
28．（2021·江苏·海安高级中学高三阶段练习）设 ， 是复数，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】ABD【分析】
利用复数运算对选项进行分析，由此确定正确选项.
【详解】
设 ，
， ，A正确.
，
，B正确.
，C错误.
， ， ， ，D正确.
故选：ABD
29．（2021·福建·泉州鲤城北大培文学校高三期中）设 是 的共轭复数，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． 是实数 D． 是纯虚数
【答案】ABC
【分析】
设 （ ， 为虚数单位），有 （ ， 为虚数单位）.
对于A， ， ，由此可判断.
对于B，根据复数的除法运算和复数的模的运算可判断；
对于C，由 可判断.
对于D，由 ，分 和 判断.
【详解】
解：设 （ ， 为虚数单位），则 （ ， 为虚数单位）.对于A， ， ，所以A选项正
确.
对于B， ，所以B选项
正确.对于C， ，为实数，所以C选项正确.
对于D， ，当 时，为实数，当 时，为纯虚数，故D选项错误.
故选：ABC.
30．（2021·全国·高三专题练习）设 是复数，则下列命题中的真命题是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】ABC
【分析】
对于A，B，利用复数模和共轭复数的意义即可判断；对于C，设出复数 和 的代数形式，根据给
定条件计算判断；对于D，举特例说明并判断作答.
【详解】
对于A，因 ，则 ，即 ，则 为真，A正确；
对于B，因 ，则 和 互为共轭复数，则 为真，B正确；
对于C，设 ，因 ，则 ，即
，
于是得 ，则 为真，
C正确；
对于D，当 ，有 ，而 ，即 为假，D不正确.
故选：ABC31．（2021·重庆·模拟预测）已知复数 （ 为虚数单位）在复平面内的对应的点为 ，复数
满足 在复平面内对应的点 为 ，则下列结论正确的有（ ）
A．复数 的虚部为
B．C． 的最大值
D． 的最小值为
【答案】BC
【分析】
根据复数的概念和几何意义即可求解.
【详解】
对于A，由 得，虚部为1，故A错误，
对于B，因为， ， 在复平面内对应的点 为 ，则 ，
所以 ，故B正确，
对于C，由题意知，点B在以 为圆心，半径为2的圆周上，
根据复数的几何意义， ，
所以， ，故C正确，
对于D， 表示点B与定点 的距离，易知点在圆内，
所以 ，故D错误.
故选：BC.
32．（2021·全国·高三专题练习（理））设 为复数，则下列命题中正确的是（ ）
A．
B．
C．若 ，则 的最大值为2
D．若 ，则
【答案】ACD【分析】
设 ，根据复数求模公式、乘法法则、几何意义等知识，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】
设 ，则 ，对于A： ， ，故A正确；
对于B： ， ，当 时， ，故B错误；
对于C： 表示z对应的点Z，在以（0,0）为圆心，1为半径的圆上，
则 表示点Z与点（0，-1）的距离，
所以当 时， 的最大值为2，故C正确；
对于D： ，表示z对应的点Z在以（1,0）为圆心，1为半径的圆上，
则 表示点Z与原点（0,0）的距离，
当点Z在原点时， 最小为0，
当点 时， 最大为2，
所以 ，故D正确.
故选：ACD
33．（2021·湖南·高三阶段练习）已知复数 （ 为虚数单位）在复平面内对应的点为 ，复
数 满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 点的坐标为 B． （ 为 的共轭复数）
C． 的最大值为 D． 的最小值为
【答案】ABC
【分析】
对 A，根据复数的表达式直接写出 点的坐标进行判断即可；对B，根据复数的共轭复数的定义进行
判断即可；对C，D，根据复数模的几何意义，结合圆的性质进行判断即可.
【详解】
解：对A， 复数 为虚数单位 在复平面内对应的点为 ，点的坐标为 ，故A正确；
对 B， ，
，故B正确；
对 C，D，设 ，在复平面内对应的点为 ，
设 ，，
点 到点 的距离为1，
因此点 是在以 为圆心，1为半径的圆，
表示圆 上的点到 点距离，
因此 ，
，故C正确，D错误.
故选：ABC.
三、填空题
34．（2022·浙江·高三专题练习）已知 是虚数单位， ，且 ，则
__________.
【答案】3
【分析】
根据复数相等得出 ，解方程组即可求解.
【详解】
由题意可得 解得 ，
所以 .
故答案为：3
35．（2022·全国·高三专题练习（文）） 为虚数单位，若关于 的方程 有实根，
则实数 ___________，
【答案】【分析】
设实根为 ，代入方程，利用复数相等的条件列出方程，即可解得 和 的值.
【详解】
设该方程的实根为 ，则 ，
整理得 ，因为 ，所以 解得 .
故答案为： .
36．（2022·上海·高三专题练习）若复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 _________．
【答案】
【详解】
设 ，则
考点：复数相等，共轭复数
37．（2022·全国·高三专题练习） 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数m的值为
___________.
【答案】
【分析】
根据复数的运算法则，化简得到 ，结合复数的概念，列出方程组，即可求解.
【详解】
根据复数的运算法则，化简得 ，
因为复数为纯虚数，可得 ，解得 .
故答案为： .
38．（2022·全国·高三专题练习（理））复数 ， ，若 为实数，则 ______．
【答案】
【分析】
利用复数的四则运算化简复数 ，根据已知条件可得出关于实数 的等式，由此可求得实数
的值.
【详解】，由已知条件可得 ，解得 ．
故答案为： .39．（2022·上海·高三专题练习）已知复数 ， ， 是正实数，则复数
__________.
【答案】
【分析】
令 ，应用复数的乘法求 ，结合已知可得 且 ，即可求x、y，进而写
出复数 .
【详解】
令 ，而 ，
∴ 为正实数，
∴ ，又 ， 即 或 （舍），
∴ .
故答案为：
40．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， 为虚数单位，若 为实数，则 的值为__________．
【答案】-2
【详解】
为实数，
则 .
【考点】 复数的分类
【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
复数 ，
当 时， 为虚数，
当 时， 为实数，
当 时， 为纯虚数.41．（2022·全国·高三专题练习）已知m∈R，复数z＝（2+i）m2﹣m（1﹣i）﹣（1+2i）（其中i为虚
数单位），若复数z在复平面上对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围是_____
【答案】
【分析】
化复数z为a+bi的形式，由实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解．
【详解】
解：∵复数z＝（2+i）m2﹣m（1﹣i）﹣（1+2i）＝（2m2﹣m﹣1）+（m2+m﹣2）i
在复平面上对应的点位于第四象限，
∴ ，解得 ．
∴实数m的取值范围是 ．
故答案为： ．
42．（2022·全国·高三专题练习）若复数 （ ， ，i为虚数单位）满足 ，写出
一个满足条件的复数 __________．
【答案】 (答案不唯一)
【分析】
先写 ，再利用 列式化简，即得 （ 可为任意实数）均满足题意，写
出其中一个即可.
【详解】
，故 .
由 知， ，化简得 ，
故只要 ，即 （ 可为任意实数）均满足题意，可取 .
故答案为： (答案不唯一).
43．（2021·上海市建平中学高三阶段练习）若 是关于 的实系数方程 的一个复数根，则 ___________.
【答案】3
【分析】由题知 与其共轭复数 均为方程的根，进而由韦达定理即可得答案.
【详解】
∵实系数一元二次方程 的一个虚根为 ，
∴其共轭复数 也是方程的根.
由根与系数的关系知， ，
∴ ， .
故答案为：
【点睛】
本题考查方程复数根的特点的应用，熟练掌握实系数方程的虚根成对原理（需明确两根为共轭复数）
和根与系数的关系是解题的关键，属于基础题.
44．（2021·重庆梁平·高三阶段练习） 是虚数单位，已知复数 ，则 ________．
【答案】
【分析】
根据给定条件结合 的幂的运算求出复数z即可计算作答.
【详解】
依题意， ，
所以 .
故答案为：
45．（2021·全国·高三专题练习）i是虚数单位， ________．
【答案】0
【分析】
先化简，再利用 的周期性计算可得.
【详解】原式＝ .
故答案为：0.
【点睛】
具有周期性：① ；② ；③ ；④ .
