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第 19 讲 导数的概念及其运算
1. 导数的几何意义
(1) 函数y＝f(x)在x＝x 处的导数就是曲线y＝f(x)在点(x，f(x))处的切线的斜率k，即k＝ ．
0 0 0
(2) 曲线y＝f(x)在点(x，f(x))处的切线方程为 .
0 0
2. 基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数)
f(x)＝xα(α是实数)
f(x)＝sinx
f(x)＝cosx
f(x)＝ex
f(x)＝ax(a＞0)
f(x)＝lnx
f(x)＝log x(a＞0，a≠1)
a
3. 导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则：
(1) [f(x)±g(x)]′＝ ；
(2) [f(x)·g(x)]′＝ ；
(3) ′＝ (g(x)≠0)．
4. 复合函数的求导：复合函数y＝f(g(x))的导数y′＝ .
5. 设s＝s(t)是位移函数，则s′(t)表示物体在t＝t 时刻的 ; 设v＝v(t)是速度函数，则v′(t)表
0 0 0
示物体在t＝t 时刻的 .
0
1、【2022年新高考1卷】若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是
________________．
2、【2022年新高考2卷】曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
3、【2021年甲卷理科】曲线 在点 处的切线方程为__________．
4、【2020年新课标1卷理科】函数 的图像在点 处的切线方程为（ ）
A． B．C． D．
5、【2020年新课标3卷理科】若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为
（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y= x+1 D．y= x+
6、【2019年新课标3卷理科】已知曲线 在点 处的切线方程为 ，则
A． B． C． D．
1、下列求导结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2、若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3、(2022·珠海高三期末)若函数f(x)＝ln x＋的图象在x＝1处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则a＝
________．
4、函数y＝x sin x－cos x的导数为______________________．
5、（2022·福建·莆田二中模拟预测）曲线 在点 处的切线方程为______．
6、（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）曲线 在点 处的切线方程为______．
考向一 基本函数的导数例1、求下列函数的导数.
(1)y＝x2sin x；(2)y＝ln x＋；
(3)y＝；(4)y＝xsincos.
变式1 已知定义在R上的可导函数f(x)满足：f(1)＝1，f′(x)＋2x>0，其中f′(x)是f(x)的导数，写出满足上
述条件的一个函数 .
变式2 求下列函数的导数：
(1) f(x)＝(x2＋2x－1)e1－x；
(2) f(x)＝ln.
变式3、求下列函数的导数：
(1) f(x)＝x3＋x sin x；
(2) f(x)＝x ln x＋2x;
(3) f(x)＝excos x；
(4) f(x)＝.
方法总结：求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：
连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求
导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内
逐层求导，必要时可换元
考向二 求导数的切线方程
例2、（1）（2022·河北衡水中学一模）已知 为偶函数，且当 时， ，则
在 处的切线方程为______．（2）（2022·福建·三模）已知 是定义在 上的函数，且函数 是奇函数，当 时，
，则曲线 在 处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
变式1、 (1) 若函数f(x)＝2的图象在点(a，f(a))处的切线与直线2x＋y－4＝0垂直，求该切线的方程；
(2) 求过点P(2，5)与曲线f(x)＝x3－x＋3相切的直线方程；
(3) 若存在过点(1，0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，求实数a的值．
变式2、（2022·广东深圳·二模）已知 ，若过点 可以作曲线 的三条切线，则
（ ）
A． B． C． D．
方法总结： 利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：
(1)函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．
(2)切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．
(3)曲线y＝f(x)“在”点P(x ，y)处的切线与“过”点P(x ，y)的切线的区别：曲线y＝f(x)在点P(x ，
0 0 0 0 0
y)处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为k＝f′(x )，是唯一的一条切线；曲线y＝f(x)过
0 0
点P(x ，y)的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．
0 0
考向三 导数几何意义的应用
例3、（1）已知函数 是 的导函数，则过曲线 上一
点 的切线方程为__________________．
（2）：若直线 是曲线 的切线，则实数 的值为________．
变式1、（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知函数 ，则函数
___________.变式2、（2022·湖北武汉·模拟预测）已知函数 ，则 __________.
方法总结：1．利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，
进而求出参数的值或取值范围．
2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点
(1)注意曲线上横坐标的取值范围；
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．
1、（2022·湖南·模拟预测）已知P是曲线 上的一动点，曲线C在P点处的切线
的倾斜角为 ，若 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2、（2022·湖南·雅礼中学二模）已知 的一条切线 与f（x）有且
仅有一个交点，则（ ）
A． B．
C． D．
3、（2022·湖北·武汉二中模拟预测）已知函数 ，直线 是曲线 的一条切线，
则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4、（2022·广东汕头·二模）已知函数 ，若过点 存在3条直线与曲线 相切，则
t的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
5、（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）已知f (x)=cos x，g (x) = x，则关于x的不等式
的解集为__________.
6、（2022·山东·模拟预测）已知直线 与曲线 相切，则 ___________.
