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第19讲 利用导数研究函数的极值和最值
【基础知识网络图】
函数的极值 函数极值点条件
函数的极值和最
求函数极值
函数在闭区间上的最大值和最小值
【基础知识全通关】
1.函数的极值
函数的极值的定义
f(x)
一般地，设函数 在点 及其附近有定义，
x f(x)f(x ) f(x ) f(x)
（2）若对 0附近的所有点，都有 0 ，则 0 是函数 的一个极小
y =f(x )
值，记作 极小值 0 .
极大值与极小值统称极值.
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.
2、求函数极值的的基本步骤：
①确定函数的定义域；
②求导数
f' (x)；
③求方程
f' (x)=0
的根；
④检查 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大
值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)3、函数的最值
1.函数的最大值与最小值定理
[a,b] f(x) [a,b]
若函数 在闭区间 上连续，则 在 上必有最大值和最小值；在
(a,b) f(x)
开区间 内连续的函数 不一定有最大值与最小值.如 .
注意：
①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。
②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。
2.通过导数求函数最值的的基本步骤：
[a,b]
若函数 在闭区间 有定义，在开区间 内有导数，则求函数
[a,b]
在 上的最大值和最小值的步骤如下：
（1）求函数
f(x)
在
(a,b)
内的导数
f' (x)；
（2）求方程
f' (x)=0
在
(a,b)
内的根；
（3）求在
(a,b)
内使
f' (x)=0
的所有点的函数值和
f(x)
在闭区间端点处的函数值
f(a) f(b)
， ；
[a,b]
（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数 在闭区间 上的最大值，最
[a,b]
小者为函数 在闭区间 上的最小值.
【考点研习一点通】
考点01利用倒数解决函数的极值等问题
f(x)=mx3 +3x2 −3x,m∈R. f(x)在x =−1
1.已知函数 若函数 处取得极值，试求m的f (x) M(1,f(1))
值，并求 在点 处的切线方程；
【解析】
f(x)在x =−1
因为 处取得极值
所以
所以 。
又
f (x) M(1,f(1))
所以 在点 处的切线方程
即 .
【变式1-1】设 为实数，函数 ．
(1)求 的单调区间与极值；
(2)求证：当 且 时， ．
【解析】（1）由 知 ．
令 ，得 ．于是当 变化时， 的变化情况如下表：
－ 0 +
单调递减 单调递增
故 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ，
处取得极小值，极小值为
(2)证明：设 ，于是 ，
由(1)知当 时， 最小值为
于是对任意 ，都有 ，所以 在R内单调递增．
于是当 时，对任意 ，都有 ．
而 ，从而对任意 ．
即 ，故 ．
【变式1-3】函数 的定义域为区间（a，b），导函数 在（a，b）内的图如图所
示，则函数 在（a，b）内的极小值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】由极小值的定义，只有点B是函数 的极小值点，故选A。
考点02利用导数解决函数的最值问题
2、已知函数 ， ．
(Ⅰ)若 在 处取得极值，求 的值；
(Ⅱ)求 在区间 上的最小值；
(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下，若 ，求证：当 时，恒有 成
立．【解析】（Ⅰ）由 ，定义域为 ，得 ．
因为函数 在 处取得极值，所以 ，即 ，
解得 ．
经检验，满足题意，所以 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，定义域为 ．
当 时，有 ， 在区间 上单调递增，最小值为 ；
当 ，由 得 ，且 ．
当 时， ， 单调递减，当 时， ，
单调递增，
所以 在区间 上单调递增，最小值为 ；
当 时， ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ，
单调递增，
所以函数 在 取得最小值 ．
综上当 时， 在区间 上的最小值为 ；当 时， 在区间 上的最小值为 ．
（Ⅲ）由 得 ．
当 时， ， ，
欲证 ，只需证 ，
即证 ，即 ．
设 ，
则 ．
当 时， ，所以 在区间 上单调递增．
所以当 时， ，即 ，
故 ．
所以当 时， 恒成立．
【变式2-1】已知函数 ( ), .
(1)若曲线 与曲线 在它们的交点(1, )处具有公共切线,求 的值;
(2)当 时,求函数 的单调区间,并求其在区间 上的最大值.
【解析】(1)由
1，c
为公共切点可得: ,则 , ,
,则 , ,
①
又 , ,
,即 ,
代入①式可得: .
(2) ,
设
则 ,令 ,
解得: , ;
, ,
原函数在 单调递增,在 单调递减,在 上单调递增
①若 ,即 时,最大值为 ;
②若 ,即 时,最大值为
③若 时,即 时,最大值为 .
综上所述:当 时,最大值为 ;当 时,最大值为 .
【变式2-2】已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－ 与x＝1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间
（2）若对x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。
【解析】（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f（x）＝3x2＋2ax＋b
由f（ ）＝ ，f（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝ ，b＝－2
f（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），
函数f（x）的单调区间如下表：
（－，－ －
（1，＋
x 1
（－ ）
） ，1）
f
＋ 0 － 0 ＋
（x）
f 极 极
（x） 大值 小值
所以函数f（x）的递增区间是（－，－ ）与（1，＋），递减区间是（－ ，1）
（2）f（x）＝x3－ x2－2x＋c，x〔－1，2〕，
当x＝－ 时，f（x）＝ ＋c为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大
值。
要使f（x）c2（x〔－1，2〕）恒成立，只需c2f（2）＝2＋c，
解得c－1或c2。
【变式2-3】已知函数 .
(1)试讨论f(x)的单调性；
(2)若b＝c-a(实数c是a与无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，a的取值范围恰
好是 ，求c的值.【解析】(1)f′(x)＝3x2+2ax，令f′(x)＝0，解得 ．
当a＝0时，因为f′(x)＝3x2＞0，(x≠0)，所以函数f(x)在(-∞，+∞)上单调递增；
当a＞0时， 时，f′(x)＞0， 时，f′(x) ＜0，所以
函数f(x)在 ，(0，+∞)上单调递增，在 上单调递减；
当a＜0时， 时， 时，f′(x)＜0，
所以函数f(x)在(-∞，0)， 上单调递增，在 上单调递减．
(2)由(1)知，函数f(x)的两个极值为f(0)＝b， ，
则函数f(x)有三个零点等价于 ，
从而 或 ．
又b＝c-a，所以当a＞0时， 或当a＜0时， ．
设 ，因为函数f(x)有三个零点时，
a的取值范围恰好是 ，
则在(-∞，-3)上g(a)＜0，且在 上g(a) ＞0均恒成立，从而g(-3)＝c-1≤0，且 ，因此c＝1．
此时， ，
因函数有三个零点，则 有两个异于-1的不等实根，
所以 ，且 ，
解得 ．
综上c＝1．
考点03导数在研究实际问题中最值问题的应用
4.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，
左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为 立方米，且 ．假设该容器的
建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3千元，半球形部分每
平方米建造费用为 千元．设该容器的建造费用为 千元．
(1)写出 关于 的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2)求该容器的建造费用最小时的 ．
【解析】(1)设容器的容积为V，
由题意知 ，又 ，
故 ．由于 ，因此 ．
所以建造费用 ，
因此 ， ．
(2)由(1)得 ， ．
由于 ，所以 ，
当 时， ．
令 ，则m＞0，
所以 ．
①当 即 时，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，
所以 是函数y的极小值点，也是最小值点．
②当 即 时，当 时， 函数单调递减，
所以r=2是函数y的最小值点，
综上所述，当 时，建造费用最小时 ，当 时，建造费用最小时 ．
【考点易错】
1、 设函数 是定义在 上的函数，满足 ，且对任意的 ，恒
有 ，已知当 时， ，则有（ ）
A．函数 的最大值是1，最小值是
B．函数 是周期函数，且周期为2
C．函数 在 上递减，在 上递增
D．当 时，
【答案】AC
【解析】因为函数 满足 ，即 ，
所以函数 是偶函数，
因为 ，
所以函数 是周期为 的周期函数，B错误，
因为当 时， ，
所以当 时，函数 是增函数，最大值为 ，最小值为 ，根据函数 是偶函数可知当 时最大值为 、最小值为 ，
根据函数 是周期为 的周期函数可知当 时，最大值为 ，最小值为 ，A正
确，
因为当 时，函数 是增函数，
所以当 时，函数 是减函数，
所以根据函数 周期为 可知函数 在 上递减，在 上递增，C正确，
令 ，则 ， ，
故当 ， ，
令 ，则 ， ，
故当 ， ，D错误，
故选：AC.
2、.已知函数f(x)=x+ (a>0)的最小值为2,则实数a=( )
【答案】B
【解析】由2x-a≥0得x≥loga,故函数f(x)的定义域为[log a,+∞),易知函数f(x)在[log a,+∞)上单
2 2 2
调递增,所以f(x) =f(log a)=log a=2,解得a=4.故选B.
min 2 2
3、设函数 ， .
(1)若曲线 在点 处的切线与 轴平行，求 ；
(2)当 时，函数 的图象恒在 轴上方，求 的最大值.【解析】(1) , ,
,
曲线 在点 处的切线与 轴平行,
,即 ,解得 ,
经验证 满足题意.
(2)令 ,即 ,则 ,
①当 时,即 ,
对于任意 有 ,故 在 上单调递减；
对于任意 有 ,故 在 上单调递增,
因此当 时, 有最小值为 成立.
②当 时,即 ,
对于任意 有 ,
故 在 上单调递减,
因为 ,所以 ,即 ,
综上, 的最大值为 .
【点睛】本题考查导函数的几何意义的应用,考查利用导函数求函数的最值,考查分类讨论思
想和运算能
【巩固提升】
1、已知 为正实数，若函数 的极小值为0，则 的值为A． B．1 C． D．2
【答案】A
【解析】由已知 ，
又 ，
所以由 得 或 ，即函数在 和 上单调递增，
由 得 ，函数在 上单调递减，
所以 在 处取得极小值0，
即 ，
又 ，解得 ，
故选A．
【点睛】本题考查了函数的极值与导数关系的应用，考查运算求解的能力，属于中档
题.
2、已知函数 ，若 ， ，使得 ，且
，则 的最大值为
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】 ， ，
令 ，即 ，解得 ， ，
当 时， ，所以 在 上单调递增；
当 时， ，所以 在 上单调递减；当 时， ，所以 在 上单调递增.
在 处取得极大值，极大值为 ；
在 处取得极小值，极小值为 .
令 ，即 ，即 ，解得 (舍)或 ；
令 ，即 ，即 ，解得 (舍)或
；
的最大值为 .
故选C.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值问题，考查运算求解能力，求
出函数的极大值与极小值是解决本题的关键，属于中档题.
3、若函数 有两个不同的极值点，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 的定义域是(0，+∞)，
，
若函数 有两个不同的极值点，
则 在(0，+∞)由2个不同的实数根，
故 ，解得： ，故选D．
【点睛】本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档
题．
4、已知函数 ， 为 的导函数．
(Ⅰ)当 时，
(i)求曲线 在点 处的切线方程；
(ii)求函数 的单调区间和极值；
(Ⅱ)当 时，求证：对任意的 ，且 ，有
．
【解析】(Ⅰ)(i)当 时， ，故 ．可得 ，
，所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即
．
(ii)依题意， ．从而可得
，整理可得 ．令 ，解得
．
当 变化时， 的变化情况如下表：1
- 0 +
↘ 极小值 ↗
所以，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ； 的极小值
为 ，无极大值．
(Ⅱ)证明：由 ，得 ．
对任意的 ，且 ，令 ，则
． ①
令 ．当 时， ，
由此可得 在 单调递增，所以当 时， ，即
．
因为 ， ，
所以，． ②
由(Ⅰ)(ii)可知，当 时， ，即 ，
故 ． ③
由①②③可得 ．所以，当
时，对任意的 ，且 ，有 ．
5、设函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 存在极值，对于任意 ，都有 恒成立，求 的取值范
围．
【答案】(1)答案见解析；(2) .
【解析】(1) ， ，
①当 时， ，
即 ，所以 在 上是增函数；
②当 时，令 ，
则 ，
∴ ， ，所以 时， ，
时， ，
所以 在 上是减函数，
在 上是增函数；
(2)由 存在极值知 ，
“对于任意 ，都有 恒成立”等价于
“对于任意 ，都有 恒成立”，
设 ， ，
则 ， ，
设 ， ，
则 ， ，
所以 在 上是减函数，
又 ，所以 时，
， 时， ，
所以 在 上是增函数， 在 上是减函数，所以 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数与不等式恒成立，还考查了分类讨
论的思想和运算求解的能力，属于难题.
6、已知函数 ， .
(1)当 时，总有 ，求 的最小值；
(2)对于 中任意 恒有 ，求 的取值范围.
【答案】(1)1；(2) .
【解析】(1)令 ，
则 ，
在 上单调递增，且
若 ，则 在 上单调递增， ，即 满足条件；
若 存在单调递减区间 ，又 ，
所以存在 使得 与已知条件矛盾，所以 ， 的最小值为1.
(2)由(1)知 ，如果 ，则必有 成立.
令 ，
则 ，即 .
若 ，必有 恒成立，故当 时， 恒成立，
下面证明 时， 不恒成立.
令 ， ，
当 时， ， 在区间 上单调递增
故 ，即 ，故 .
，
令 ， ，
所以 在 上单调递增，又 ，则一定存在区间 (其中
)，
当 时， ，
则 ，故 不恒成立.
综上所述：实数 取值范围是 .
【点睛】本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，考查学生的逻辑推理能力和计算
能力，属于难题.
7、已知函数 且 .
(1)求a；
(2)证明： 存在唯一的极大值点 ，且 .
【答案】(1)a=1；(2)见解析.
【解析】(1)因为f(x)＝ax2﹣ax﹣xlnx＝x(ax﹣a﹣lnx)(x＞0)，则f(x)≥0等价于h(x)＝ax﹣a﹣lnx≥0，求导可知h′(x)＝a ．
则当a≤0时h′(x)＜0，即y＝h(x)在(0，+∞)上单调递减，
所以当x＞1时，h(x)＜h(1)＝0，矛盾，故a＞0．
0 0
因为当0＜x 时h′(x)＜0、当x 时h′(x)＞0，
所以h(x) ＝h( )，
min
又因为h(1)＝a﹣a﹣ln1＝0，
所以 1，解得a＝1；
另解：因为f(1)＝0，所以f(x)≥0等价于f(x)在x＞0时的最小值为f(1)，
所以等价于f(x)在x＝1处是极小值，
所以解得a＝1；
(2)证明：由(1)可知f(x)＝x2﹣x﹣xlnx，f′(x)＝2x﹣2﹣lnx，
令f′(x)＝0，可得2x﹣2﹣lnx＝0，记t(x)＝2x﹣2﹣lnx，则t′(x)＝2 ，
令t′(x)＝0，解得：x ，
所以t(x)在区间(0， )上单调递减，在( ，+∞)上单调递增，
所以t(x) ＝t( )＝ln2﹣1＜0，从而t(x)＝0有解，即f′(x)＝0存在两根x，x，
min 0 2
且不妨设f′(x)在(0，x)上为正、在(x，x)上为负、在(x，+∞)上为正，
0 0 2 2
所以f(x)必存在唯一极大值点x，且2x﹣2﹣lnx ＝0，
0 0 0
所以f(x) x﹣xlnx x+2x﹣2 x ，
0 0 0 0 0 0 0由x 可知f(x)＜(x ) ；
0 0 0 max
由f′( )＜0可知x ，
0
所以f(x)在(0，x)上单调递增，在(x， )上单调递减，
0 0
所以f(x)＞f( ) ；
0
综上所述，f(x)存在唯一的极大值点x，且e﹣2＜f(x)＜2﹣2．
0 0
【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注
意解题方法的积累，属于难题．
8、已知函数：
(I)当 时，求 的最小值；
(II)对于任意的 都存在唯一的 使得 ，求实数a的取
值范围．
【答案】(I)答案不唯一，见解析(II)
【解析】(I)
时， 递增， ,
时， 递减， ，
时， 时 递减，时 递增，
所以
综上，当 ；
当
当
(II)因为对于任意的 都存在唯一的 使得 成立,
所以 的值域是 的值域的子集.
因为
递增， 的值域为
(i)当 时， 在 上单调递增，
又 ，
所以 在[1,e]上的值域为 ,
所以 ，
即 ，(ii)当 时，因为 时， 递减， 时， 递增，
且 ，
所以只需
即 ，所以
(iii)当 时，因为 在 上单调递减，且 ，
所以不合题意.
综合以上，实数 的取值范围是 .
【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值,分类讨论思想,等价转化思想,本题属于难
题.
解题方法总结:
像”对于任意的 都存在唯一的 使得 ，”已知条件,
一般是转化为两个函数的值域得包含关系,口诀是:任意是存在的子集.
9、已知函数 .
(1)若 ， ，求 的最大值；
(2)当 时，讨论 极值点的个数.
【答案】(1) (2) 时， 极值点的个数为0个；
时， 极值点的个数为2个
【解析】(1)当 ， 时， ，此时，函数 定义域为 ， ，
由 得： ；由 得： ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以 .
(2)当 时，函数 定义域为 ，
，
①当 时， 对任意的 恒成立，
在 上单调递减，所以此时 极值点的个数为0个；
②当 时，设 ，
(i)当 ，即 时，
对任意的 恒成立，即 在 上单调递减，
所以此时 极值点的个数为0个；
(ii)当 ，即 时，记方程 的两根分别为 ， ，
则 ， ，所以 ， 都大于0，
即 在 上有2个左右异号的零点，
所以此时 极值点的个数为2.
综上所述 时， 极值点的个数为0个；时， 极值点的个数为2个.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的性质，确定函数的最大值和极值点的个数，
考查了分类讨论思想、逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.
10、已知函数 .
(1 )若b=0，曲线f(x)在点(1, f(1)) 处的切线与直线y= 2x平行,求a的值;
(2)若b=2，且函数f(x)的值域为 求a的最小值.
【解析】(1)当 时， ， ，
由 ，得 ，
即 ， 解得 或 .
当 时， ，此时直线 恰为切线，故舍去，所以 .
(2)当 时， ，设 ，则 ，
故函数 可化为 .
由 ,可得 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
所以 的最小值为 ， 此时t 1，函数的 的值域为
，
问题转化为当 时， 有解，
即 ， 得 ， 设 ， 则
，故 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
所以 的最小值为 ，故 的最小值为 .
