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第19讲 利用导数研究函数的极值和最值
【基础知识网络图】
函数的极值 函数极值点条件
函数的极值和最
求函数极值
函数在闭区间上的最大值和最小值
【基础知识全通关】
1.函数的极值
函数的极值的定义
f(x)
一般地，设函数 在点 及其附近有定义，
x f(x)f(x ) f(x ) f(x)
（2）若对 0附近的所有点，都有 0 ，则 0 是函数 的一个极小
y =f(x )
值，记作 极小值 0 .
极大值与极小值统称极值.
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.
2、求函数极值的的基本步骤：
①确定函数的定义域；
②求导数
f' (x)；
③求方程
f' (x)=0
的根；
④检查 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大
值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)3、函数的最值
1.函数的最大值与最小值定理
[a,b] f(x) [a,b]
若函数 在闭区间 上连续，则 在 上必有最大值和最小值；在
(a,b) f(x)
开区间 内连续的函数 不一定有最大值与最小值.如 .
注意：
①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。
②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。
2.通过导数求函数最值的的基本步骤：
[a,b]
若函数 在闭区间 有定义，在开区间 内有导数，则求函数
[a,b]
在 上的最大值和最小值的步骤如下：
（1）求函数
f(x)
在
(a,b)
内的导数
f' (x)；
（2）求方程
f' (x)=0
在
(a,b)
内的根；
（3）求在
(a,b)
内使
f' (x)=0
的所有点的函数值和
f(x)
在闭区间端点处的函数值
f(a) f(b)
， ；
[a,b]
（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数 在闭区间 上的最大值，最
[a,b]
小者为函数 在闭区间 上的最小值.
【考点研习一点通】
考点01利用倒数解决函数的极值等问题
f(x)=mx3 +3x2 −3x,m∈R. f(x)在x =−1
1.已知函数 若函数 处取得极值，试求m的f (x) M(1,f(1))
值，并求 在点 处的切线方程；
【变式1-1】设 为实数，函数 ．
(1)求 的单调区间与极值；
(2)求证：当 且 时， ．
【变式1-3】函数 的定义域为区间（a，b），导函数 在（a，b）内的图如图所
示，则函数 在（a，b）内的极小值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点02利用导数解决函数的最值问题
2、已知函数 ， ．(Ⅰ)若 在 处取得极值，求 的值；
(Ⅱ)求 在区间 上的最小值；
(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下，若 ，求证：当 时，恒有 成
立．
【变式2-1】已知函数 ( ), .
(1)若曲线 与曲线 在它们的交点(1, )处具有公共切线,求 的值;
(2)当 时,求函数 的单调区间,并求其在区间 上的最大值.
【变式2-2】已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－ 与x＝1时都取得极值
（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间
（2）若对x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。【变式2-3】已知函数 .
(1)试讨论f(x)的单调性；
(2)若b＝c-a(实数c是a与无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，a的取值范围恰
好是 ，求c的值.
考点03导数在研究实际问题中最值问题的应用
4.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，
左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为 立方米，且 ．假设该容器的
建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3千元，半球形部分每
平方米建造费用为 千元．设该容器的建造费用为 千元．
(1)写出 关于 的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2)求该容器的建造费用最小时的 ．【考点易错】
1、 设函数 是定义在 上的函数，满足 ，且对任意的 ，恒
有 ，已知当 时， ，则有（ ）
A．函数 的最大值是1，最小值是
B．函数 是周期函数，且周期为2
C．函数 在 上递减，在 上递增
D．当 时，
2、.已知函数f(x)=x+ (a>0)的最小值为2,则实数a=( )
3、设函数 ， .
(1)若曲线 在点 处的切线与 轴平行，求 ；
(2)当 时，函数 的图象恒在 轴上方，求 的最大值.
【巩固提升】1、已知 为正实数，若函数 的极小值为0，则 的值为
A． B．1 C． D．2
2、已知函数 ，若 ， ，使得 ，且
，则 的最大值为
A．2 B．3 C．4 D．6
3、若函数 有两个不同的极值点，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
4、已知函数 ， 为 的导函数．
(Ⅰ)当 时，
(i)求曲线 在点 处的切线方程；
(ii)求函数 的单调区间和极值；
(Ⅱ)当 时，求证：对任意的 ，且 ，有
．
5、设函数 ．
(1)讨论 的单调性；(2)若 存在极值，对于任意 ，都有 恒成立，求 的取值范
围．
6、已知函数 ， .
(1)当 时，总有 ，求 的最小值；
(2)对于 中任意 恒有 ，求 的取值范围.
7、已知函数 且 .
(1)求a；
(2)证明： 存在唯一的极大值点 ，且 .
8、已知函数：(I)当 时，求 的最小值；
(II)对于任意的 都存在唯一的 使得 ，求实数a的取
值范围．
9、已知函数 .
(1)若 ， ，求 的最大值；
(2)当 时，讨论 极值点的个数.
10、已知函数 .
(1 )若b=0，曲线f(x)在点(1, f(1)) 处的切线与直线y= 2x平行,求a的值;
(2)若b=2，且函数f(x)的值域为 求a的最小值.
