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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 19 讲 三角恒等变换（精讲）
题型目录一览
①公式的直接应用
②辅助角公式的应用
③三角函数式的化简
④给值求值问题
⑤给值求角问题
一、知识点梳理
一、两角和与差的正余弦与正切
① ；
② ；
③ ；
二、二倍角公式
① ；
② ；
③ ；
三、降幂公式
四、辅助角公式
b a b
sinϕ= ，cosϕ= ，tanϕ=
asinα+bcosα= √a2 +b2sin(α+ϕ)
（其中
√a2 +b2 √a2 +b2 a
）．
【常用结论】
拆分角的变形：① ； ；② ；
③ ；④ ；⑤ ．
二、题型分类精讲题型 一 公式的直接应用
策略方法 应用公式化简求值的策略
(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．
例如两角差的余弦公式可简化为“同名相乘，符号相反”．
(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
【典例1】 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式及两角和的正弦公式求解．
【详解】
．
故选：B．
【典例2】下列各式中，值为 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用和差角公式、二倍角公式化简各选项，计算判断作答.
【详解】对于A， ，A不符合；
对于B， ，B不符合；对于C， ，C符合；
对于D， ，D不符合.
故选：C
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习） （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据诱导公式以及两角和与差的余弦公式即可求解.
【详解】 ；
；
原式
.
故选：C
2．（山西省太原市2022届高三第一次模拟数学试题） （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三角函数和差公式即可.
【详解】
；
故选：D.
3．（四川省成都市玉林中学2023届高三适应性考试数学试题）设 ，则 等于（ ）
A．-2 B．2 C．-4 D．4
【答案】C
【分析】先用两角差的正切公式可求出 的值，再用两角和的正切公式即可求解
【详解】因为 ，所以 ，
故 ，
故选：C．
4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知角 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由 及 的范围求出 ，再根据二倍角的余弦公式可求出 .
【详解】因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 .
故选：D.
5．（2023·全国·高三专题练习）若 为锐角， ，则 （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据二倍角的余弦公式与同角三角函数的关系化简得出只关于 的式子，即可解得答案.
【详解】 为锐角，
，即 ，
解得 ，
故选：B.
6．（2023·广东深圳·校考二模）已知 ，则 的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】利用二倍角公式和商公式即可得出答案.
【详解】由 ，
则 .
故选：D
二、填空题
7．（2023·全国·高三专题练习）计算： ______.
【答案】
【分析】根据两角差的余弦公式计算化简可得原式等于 ，即可得出结果.
【详解】由题意得，
.
故答案为： .8．（2023·全国·高三专题练习）若cosα＝－ ，α是第三象限的角，则sin ＝____________.
【答案】
【解析】根据同角的三角函数关系式中平方和关系、两角和的正弦公式直接求解即可.
【详解】因为cosα＝－ ，α是第三象限的角，
所以 ，所以有：
故答案为：
【点睛】本题考查了同角三角函数关系式和两角和的正弦公式的应用，考查了数学运算能力.
9．（2023·全国·高三专题练习） ____________．
【答案】
【分析】由正切的差角公式，可得 ，经过等量代换与运算可得答案.
【详解】
．
故答案为： .10．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，则 __________．
【答案】
【分析】首先根据题意得到 ， ，再利用正弦二倍角公式求解即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
所以 .
故答案为：
题型二 辅助角公式的应用
【典例1】求函数 的最大值（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用两角差的余弦公式、辅助角公式化简 ，从而求得 的最大值.
【详解】
所以，当 时 取得最大值为 .故选：A
【题型训练】
一、单选题1．（2023·新疆和田·校考一模）该函数 的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据辅助角公式化简结合三角函数的性质即得.
【详解】因为 ，又 ，
所以函数 的最大值是2.
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）函数 的最小正周期和最大值分别是（ ）
A． 和 B． 和2 C． 和 D． 和2
【答案】C
【分析】利用辅助角公式化简 ，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.
【详解】由题， ，所以 的最小正周期
为 ，最大值为 .
故选：C．
3．（2023春·云南昭通·高三校考阶段练习）已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角函数的辅角公式可得 ，进而 ，再根
据 ，分析可得 ，由此即可求出结果.【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，又 ，所以 ，所以 ，
故 .故选：C.
【点睛】本题主要考查了三角函数的辅角公式，三角函数值的应用，属于基础题.
4．（2023·广西·校联考模拟预测） 的值所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用辅助角公式变形，再探讨角所在区间即可判断作答.
【详解】 ，而 ，则 ，即有 ，
所以 的值所在的范围是 .
故选：A
二、填空题
5．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，则 的最大值为________
【答案】
【分析】根据向量数量积的乘法运算法则计算，结合辅助角公示即可求得最大值.
【详解】因为 ， ，则 ， ，所以 的最
大值为 .
故答案为： .6．（2023·陕西西安·校考模拟预测）若 ，则 __________．
【答案】
【分析】利用辅助角公式得 即可求出 即可求解 .
【详解】因为 ,
所以 即 ，所以 ，所以
故答案为: .
7．（2023·全国·高三专题练习）函数 的最大值为______．
【答案】2
【分析】利用三角诱导公式和恒等变换化简得到 ，从而求出最大值.
【详解】
故函数 的最大值为2
故答案为：2
题型三 三角函数式的化简
策略方法
1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则2．三角函数式化简的方法
(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数
式时，一般需要升次．
【典例1】已知 ，则 的值是（ ）
A． B．不存在 C． 或 不存在 D．
【答案】C
【分析】结合倍角公式化简、因式分解，即可求 的值.
【详解】由 得 ，
故 或 .
故选：C
【典例2】已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用降幂公式，再利用二倍角公式化简即得解.
【详解】由已知 ，化简得 ．
平方得 ，
所以 ．
故选：A．【题型训练】
一、单选题
1．（2023·江西九江·瑞昌市第一中学校联考模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用降幂公式，再利用二倍角公式化简即得解.
【详解】由已知 ，化简得 ．
平方得 ，
所以 ．
故选：A．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据诱导公式、两角差的正弦公式、二倍角的余弦公式化简即可求解.
【详解】由 ，
所以 .
故选：D.
3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）已知锐角 ， 满足 ，则
的值为（ ）A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】利用二倍角公式公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再根据两角差的正切公式计算可得.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
即 ，即 ，
所以 .
故选：C
4．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由同角三角函数的平方关系、二倍角公式可得 ，再由降幂公式、诱导公式可得
，即可得解.
【详解】由 两边平方得： ，
所以 即 ，
所以 .故选：B.
【点睛】本题考查了同角三角函数的平方关系、诱导公式及二倍角公式的综合应用，考查了运算求解能力，
属于基础题.5．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用降幂公式，化简求值.
【详解】 ，解得： .
故选：B
6．（2023·全国·模拟预测）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合同角三角函数的基本关系式、降次公式求得正确答案.
【详解】依题意 ， ，
所以 ，
，解得 ，负根舍去.
故选：B
7．（2023·河北·统考模拟预测）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用两角和正切公式得 ，再利用二倍角公式化简，根据同角三角函数的基本关系
将弦化切，代入计算可得.【详解】因为 ，所以 ，
则
.
故选：D
二、填空题
8．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）函数 的最小正周期为__________．
【答案】
【分析】先将函数化简降次，然后再利用公式求周期.
【详解】 ，
所以最小正周期为 .
故答案为： .
9．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知 为钝角， ，则 的值
为______.
【答案】
【分析】利用二倍角公式可得 ，再由 可得答案.
【详解】因为 ，
所以 ，
因为 为钝角，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，可得 ，因为 为钝角，所以 .
故答案为： .
10．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，且 ，则 的
值是______.
【答案】
【解析】利用诱导公式可求得 的值，结合同角三角函数的平方关系可求得 的值，再利用两角差
的正弦公式和二倍角公式可求得结果.
【详解】由于 ，且 ，则 ，
得 ，
则 .
故答案为： .
【点睛】本题考查三角函数值的计算，涉及诱导公式、二倍角公式以及两角差的正弦公式的应用，考查计
算能力，属于中等题.
题型四 给值求值问题
策略方法 给值求值：一般是给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解
题的关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系．
【典例1】已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】根据诱导公式、倍角余弦公式有 ，将条件代入求值即可.
【详解】 .
故选：C
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知 ， ，则 的
值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据二倍角的余弦公式求出 ，观察角的关系，利用诱导公式计算即可求解.
【详解】由题意知， ，
又 ，
所以 .
故选：D.
2．（2023·河北·统考模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】利用三角函数诱导公式结合二倍角余弦公式，化简求值，即得答案.
【详解】由题意得
,
故选：B
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】由题解得 ，再由 求解即可.
【详解】由 ，解得 ，
所以 .
故选：A.
4．（2023·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考模拟预测）已知 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两角差与和的正弦公式可得 ，则 ，结合
二倍角的余弦公式计算即可求解.【详解】因为
即 ，
所以 .
故选：A.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式和商数关系展开后，然后由和差公式可得.
【详解】因为
所以
由 ，所以 ，
所以 ，即
所以 ，即
故选：A
6．（2023·河南·校联考模拟预测）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】根据切化弦以及两角和差公式解出 ，代入两角差的余弦公式即可.
【详解】由题意可得 ，
即 ， ，
故 .
故选：A.
7．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用降幂公式及诱导公式计算可得.
【详解】因为 ，
所以 .
故选：A
8．（2023·全国·模拟预测）已知 ， 为锐角， ， ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由同角三角函数的基本关系求出 ， ，再由二倍角公式求出 ，最后由计算可得.
【详解】因为 ， 为锐角且 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 .
故选：B
9．（2023·江西九江·统考三模）已知 ，且 ，则cosβ=（ ）
A． B． C． D．0
【答案】D
【分析】利用三角恒等变换计算即可，注意整体思想的运用.
【详解】解法一：∵ ，∴ ，
又 ，∴ ，
∴
，
故选：D．
解法二：∵ ，∴ ，∴ ，即
∵
∴ ，
故选：D．
二、填空题
10．（2023·高三课时练习）已知 ，则 __________.
【答案】
【解析】根据两角和的正弦公式，将原式化简整理，即可得出结果.
【详解】由 可得 ，
则 ，因此 ，
从而有 ，
即 .
故答案为： .
11．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）已知 ，则 ________.
【答案】
【分析】由辅助角公式和二倍角的余弦公式化简即可得出答案.
【详解】因为 ，则 .
故答案为： .
12．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考期末）已知 ，则
__________．
【答案】
【分析】利用两角差的余弦公式展开，即可得到答案；
【详解】
，
故答案为：
13．（2023·重庆·统考模拟预测）已知 ， ，则 ________．
【答案】
【分析】先通过条件确定角 的范围，进而可求出 ，再利用
，通过诱导公式以及二倍角的正弦公式化简计算.
【详解】 ， ，
，
，若 ，则 ，与 矛盾，
故 ，
，
故答案为： .
题型五 给值求角问题
策略方法
给值求角：实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某一个三角函数值来求角．在选取
函数时，遵循以下原则：
①已知正切函数值，选正切函数．
( π)
0，
②已知正、余弦函数值，若角的范围是 2 ，选正、余弦函数皆可，若角的范围是(0，
( π π)
− ，
π)，选余弦函数，若角的范围是 2 2 ，选正弦函数．
【典例1】已知 ，则 的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用角的变换 ，结合两角差的正弦公式求得 ，检验各选项即可.
【详解】由 ，得 ，而 ，
从而 或 ，
当 时，只有B符合；当 时，四个选项均不符合.
故答案为：B．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·河南·校联考模拟预测）设 ， 是方程 的两根，且 ，则
（ ）．
A． B． C． 或 D．
【答案】B
【分析】利用两角和的正切公式求解即可.
【详解】因为 ， 是方程 的两根，
所以
所以 ，
因为
所以 且 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
故选:B.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知 且 ，则 =（ ）A． B．
C． D． 或
【答案】C
【分析】根据给定条件利用三角恒等变换求出 的值，再判断 的范围即可得解.
【详解】因 ，则 ，
，
因 ， ，则 ，又 ，有 ，
于是得 ，因此， ，
所以 .
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，且 ， ，则 的
值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用同角三角函数平方关系可求得 ，利用两角和差余弦公式可求得 ，结合
可得结果.
【详解】 ， ， ， ，，
又 ， .
故选：B.
二、多选题
4．（2023·全国·高三专题练习）若 ，则 的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】首先由两角和的正切公式得出 ，即可得到 的取值；
【详解】解：由题意得 ，
所以 ，
所以 的值可能为 ， ．
故选：AC
5．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】先根据 ，判断角 的范围，再根据 求 ；
根据平方关系，判断 的值；利用公式 求值，并根据角的范围判断角 的值；利用公式 和 ，联合求 .
【详解】①因为 ，所以 ，
又 ，故有 ， ，
解出 ，故A错误；
② ，
由①知： ，所以 ，
所以 ，故B正确；
③由①知： ，而 ，所以 ，
又 ，所以 ，
解得 ，
所以
又因为 ， ，
所以 ，有 ，故C正确；
④由 ，
由③知， ，
两式联立得： ，故D错误．
故选：BC【点睛】关键点点睛：本题的关键是三角函数恒等变形的灵活应用，尤其是确定角的范围，根据三角函数
值 ，确定 ，且 ，进一步确定 ，这些都是确定函
数值的正负，以及角的大小的依据.
三、填空题
6．（2023·全国·高三专题练习）已知 都是锐角， ，则 ___________.
【答案】
【分析】要求 ，先求 ，结合已知可有 ，利用两角差的余弦公式展开可求.
【详解】 、 为锐角，
，
，
由于 为锐角，
故答案为：
7．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，若 ，则 ________．
【答案】
【详解】因为 ,所以 ,又因为 ,所以
,所以 == = ,又因为 ,所以β= .
8．（2023·全国·高三专题练习）若 ，且 ，则 的值为___________.
【答案】 或
【分析】根据二倍角的余弦公式和两角差的正弦公式可得 ，
分类讨论当 、 时的情况，结合 和辅助角公式计算即可.
【详解】由题意知，
则 ，
即 ，
当 时， ，即 ，
由 ，得 ；
当 时， ，
所以 ，即 ，
由 ，得 ，所以 ，得 .
故答案为： 或
9．（2023·全国·高三专题练习）若 ，且 ， ，则 ______.
【答案】【分析】由已知得 ，进而求得 ，再利用角 的范围即可求
解
【详解】因为 ，所以 ，所以
.又 ， ，所以 ，故 .
故答案为
【点睛】本题考查两角和与差的正切公式的逆用．考查考生的灵活变通能力，是基础题
