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专题 26.3 难点探究专题：反比例函数与几何综合问题之六大考点
【考点导航】
目录
【典型例题】..................................................................................................................................................1
【考点一 根据图形面积求比例系数(解析式)】............................................................................................1
【考点二 反比例函数与三角形的综合问题】................................................................................................3
【考点三 反比例函数与平行四边形的综合问题】........................................................................................9
【考点四 反比例函数与矩形的综合问题】..................................................................................................12
【考点五 反比例函数与菱形的综合问题】..................................................................................................17
【考点六 反比例函数与正方形的综合问题】..............................................................................................21
【过关检测】...........................................................................................................................................26
【典型例题】
【考点一 根据图形面积求比例系数(解析式)】
例题：（2023秋·北京东城·九年级东直门中学校考阶段练习）如图，已知反比例函数 的图象经过点
A，且 ． 的面积为2，则k的值为
【变式训练】
1．（2023·西藏拉萨·统考一模）如图，一直线经过原点 ，且与反比例函数 相交于点 、点 ，过点 作 轴，垂足为 ，连接 ．若 面积为 ，则 ___．
2．（2023秋·安徽合肥·九年级合肥市第四十五中学校考阶段练习）如图，已知点A， 在反比例函数
的图象上， 轴于点 ， 轴于点 ， 与 交于点 ，且 为 的中点，若
的面积为1，则 的值为 ．
【考点二 反比例函数与三角形的综合问题】
例题：（2023·山西·山西实验中学校考模拟预测）如图， 为等边三角形，点 恰好在反比例函数
的图象上，且 轴于点 ．若点 的坐标为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．2
【变式训练】
1.（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，平面直角坐标系中，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，且∠A＝∠C＝90°，点B、D都在x轴上，点A、C都在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，则点C的横坐
标为________．
2.（2023·山东济南·统考一模）已知在等腰直角三角形 中， ， ， ．
(1)如图1，请直接写出点C的坐标______，若点C在反比例函数 上，则 ______；
(2)如图2，若将 延x轴向右平移得到 ，平移距离为m，当 ， 都在反比例函数
上时，求 ，m；
(3)如图3，在（2）的条件下，在y轴上是否存在点P，使得 的面积是 面积的一半．若存在，
请求出点P；若不存在，请说明理由．
【考点三 反比例函数与平行四边形的综合问题】
例题：（2023秋·陕西咸阳·九年级统考期末）如图，点A是反比例函数 的图象上的一点，过
点A作平行四边形 ，使点B、C均在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形 的面积为_______．【变式训练】
1.（2023春·山东济南·九年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， ．反比
例函数 的图象经过平行四边形 的顶点C，则 ________
2.（2023·河南·模拟预测）如图，平行四边形OABC的顶点A，C都在反比例函数y （k＞0）的图象上，
已知点B的坐标为（8，4），点C的横坐标为2．
(1)求反比例函数y （k＞0）的解析式；
(2)求平行四边形OABC的面积S．
【考点四 反比例函数与矩形的综合问题】
例题：（2023·广东佛山·石门中学校考一模）如图，矩形ABCD的边 轴，顶点A在反比例函数
上，点B、D在反比例函数 上，则矩形ABCD的面积为（ ）A． B．3 C． D．4
【变式训练】
1.（2023·广东湛江·校考一模）如图，在矩形中 ， ，点D是边 的中点，反比例函
数 的图像经过点D，交 于点E．
(1)求k的值及直线 的解析式；
(2)在x轴上找一点P，使 的周长最小，求此时点P的坐标．
2.（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系 中，矩形 的顶点A在x轴上，顶点C在
y轴上，D是 的中点，过点D的反比例函数图像交 于E点，连接 ．若 ， ．
(1)求过点D的反比例函数的解析式；
(2)求 的面积；
(3)x轴上是否存在点P使 为直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）过原点作直线交双曲线 于点A、C，过A、C两点分别作
两坐标轴的平行线，围成矩形 ，如图所示．
(1)已知矩形 的面积等于8，求双曲线的解析式；
(2)若已知矩形 的周长为8，能否由此确定双曲线的解析式？如果能，请予求出；如果不能，说明理
由．
【考点五 反比例函数与菱形的综合问题】
例题：（2023·陕西榆林·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的对角线 在 轴上，顶点
在反比例函数 的图象上，若菱形 的面积为6，则 的值为__________．
【变式训练】
1.（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点 在 轴上，顶点 在反比
例函数的图像上，且 若将该菱形向下平移 个单位后，顶点 恰好落在此反比例函数的图像上，则此反比例函数的表达式为________．
2.（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点 与原点 重合，点 在
轴的正半轴上，点 在反比例函数 的图象上，点 的坐标为 ．
(1)求反比例函数的关系式；
(2)设点 在反比例函数图象上，连接 ，若 的面积是菱形 面积的 ，求点 的坐
标．
【考点六 反比例函数与正方形的综合问题】
例题：（2023·四川成都·统考二模）如图，在平面直角坐标系 中，正方形 的顶点A在x轴上，顶
点C在y轴上，且 ．若反比例函数 的图象经过点B，则k的值为______．【变式训练】
1.（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，点A，B分别在函数 ， 的图象上，点D，C在x轴
上．若四边形 为正方形．则点A的坐标是______．
2．（2023秋·安徽合肥·九年级合肥38中校考期中）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数
和 的图象的四个分支上，则 的值= ．
3.（2023春·全国·八年级专题练习）如图，四边形 为正方形．点 的坐标为 ，点 的坐标为
，反比例函数 的图像经过点 ．
(1)点 的坐标为 ；(2)求反比例函数的解析式．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023秋·安徽合肥·九年级合肥38中校考期中）如图所示，A、B是函数 的图象上关于原点O对
称的任意两点， 轴， 轴， 的面积为S，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点A、D在反
比例函数 的图像上，边 轴，交 轴于点E，顶点B在 轴的正半轴上，若点A的纵坐标
为5， ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
3．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴、y轴分别交于
A，B两点，以 为边在第二象限作正方形 ，点D在双曲线 上，将正方形 沿x轴正方
向平移a个单位长度后，点C恰好落在此双曲线上，则a的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点 是反比例函数 在第三象
限图像上的一个动点，以 为顶点，原点对称中心作矩形 ， 轴于点 ，过点 的直线 分
别交 、 边于点 、 ，以 为一边作矩形 ，且直线 恰好经过点 ，如果点 在运动
中横坐标逐渐变小，那么矩形 的面积的大小变化情况是（ ）
A．先减小后增大 B．先增大后减小 C．一直不变 D．一直减小
二、填空题
5．（2023·陕西西安·校考二模）如图，等腰 在平面直角坐标系中，点B的坐标为 ，，点A在反比例函数 （ ， ）的图象上，则k的值为 ．
6．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，A为反比例函数 上一动点，C为 中点，过点C作
轴，交反比例函数于点B，连接 ，若三角形 面积为 ，则
7．（2023秋·浙江金华·九年级校联考开学考试）如图，反比例函数 的图象经过菱形 的
顶点 ，点 在 轴上，过点 作 轴的垂线与反比例函数的图象相交于点 ．若 ，则点 的坐
标是 ．
8．（2023春·吉林长春·八年级校考期中）如图，平行四边形 的顶点B在双曲线 上，顶点C在
双曲线 上， 中点P恰好落在y轴上，已知 ，则 ．
三、解答题9．（2023秋·山东泰安·九年级东平县实验中学校考阶段练习）如图，A是反比例函数 图象上一点，
过点A作 轴于点B，点C在x轴上， 的面积为2．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)已知 ，点 在该反比例函数的图象上，点Q是x轴上一动点，若 最小，求点Q的
坐标．
10．（2023春·河南洛阳·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，在 中，
于点C，点A在反比例函数 的图象上．
(1)若 ，则 _______；
(2)若 ，求反比例函数的表达式．
11．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系 中，函数 （其中 ）的图象经过平行四边形 的顶点A，函数 （其中 ）的图象经过顶点C，点B在x轴上，若点C的
横坐标为2， 的面积为6．
(1)求k的值；
(2)求直线 的解析式．
12．（2023春·贵州贵阳·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴、 轴
分别交于 、 两点，以 为边在第一象限内作正方形 ，点 在反比例函数 的图象上．
(1)求 的值；
(2)若将正方形沿 轴负方向平移 个单位长度后，点 恰好落在该反比例函数的图象上，则 的值是多少？
13．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中， 点的坐标为 ， 轴于点， ，反比例函数 图象的一支经过 的中点 ，且与 交于点 ．
(1)求点 的坐标；
(2)求反比例函数的解析式：
(3)四边形 的面积为________．
14．（2023·广东汕头·广东省汕头市聿怀初级中学校考三模）如图，双曲线 的图像经过矩形
的 边的中点 ，若 且四边形 的面积为 ．
(1)求双曲线的解析式；
(2)求点 的坐标：
(3)若点 为 轴上一动点，使得 为以 为底边的等腰三角形，请直接写出点 的坐标15．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，已知正方形 的面积为 ，点 为坐标原点，点 在 轴
上，点 在 轴上，点 在函数 ， 图象上，点 是函数 ， 图象上异于
点 的任意一点，过点 分别作 轴、 轴的垂线，垂足分别为点 、 ．设矩形 和正方形 不
重合部分的面积为 ．
(1)点 的坐标是 ， ；
(2)当 ，求点 的坐标；
(3)求出 关于 的函数关系式．
16．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，点A是反比例函数 （x＞0）图象上的一个动点，过点A
作 轴于点B，点C是反比例函数图象上不与点A重合的点，以 为边作菱形 ，过点D
作 轴于点F，交反比例函数 的图象于点E．
(1)已知当 时，菱形面积为20，则此时点C的横坐标是 ，点D的横坐标是 ，求该反比
例函数的表达式；
(2)若点A在（1）中的反比例函数图象上运动，当菱形面积是48时，求 的值．17．（2023秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在轴的正半轴上，
以线段 为边向上作正方形 ，顶点A在正比例函数 的图像上，反比例函数 ，且 ，
，的图像经过点A，且与边 相交于点E．
(1)若 ，求点 的坐标；
(2)连接 ， ．
①若 的面积为24，求 的值；
②是否存在某一位置使得 ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
18．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图 ，正方形 的顶点 ，点 ，反比例函数
的图象经过点 ．(1)试说明反比例函数 的图象也经过点 ；
(2)如图 ，正方形 向下平移得到正方形 ，边 在 轴上，反比例函数 的图象分别交
正方形 的边 、 于点 、 ．
①求 的面积；
②在 轴上是否存在一点 ，使得 是等腰三角形，若存在，直接写出点 的坐标，若不存在，请说
明理由．
19．（2023秋·江苏·九年级开学考试）如图1，在菱形 中，对角线 、 相交于点 ，顶点 、
在反比例函数 的图像上，点 在反比例函数 的图像上， 轴．
(1)若 ， ，则菱形 的面积为______；
(2)①当点 、 在坐标轴上时，求 的值．
②如图2，当点 、 、 三点在同一直线上时，试判断 是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说
明理由．
