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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 19 讲 三角恒等变换（精讲）
题型目录一览
①公式的直接应用
②辅助角公式的应用
③三角函数式的化简
④给值求值问题
⑤给值求角问题
一、知识点梳理
一、两角和与差的正余弦与正切
① ；
② ；
③ ；
二、二倍角公式
① ；
② ；
③ ；
三、降幂公式
四、辅助角公式
b a b
sinϕ= ，cosϕ= ，tanϕ=
asinα+bcosα= √a2 +b2sin(α+ϕ)
（其中
√a2 +b2 √a2 +b2 a
）．
【常用结论】
拆分角的变形：① ； ；② ；
③ ；④ ；⑤ ．
二、题型分类精讲题型 一 公式的直接应用
策略方法 应用公式化简求值的策略
(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．
例如两角差的余弦公式可简化为“同名相乘，符号相反”．
(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
【典例1】 （ ）
A． B． C． D．
【典例2】下列各式中，值为 的是（ ）
A． B． C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习） （ ）
A． B． C． D．
2．（山西省太原市2023届高三第一次模拟数学试题） （ ）
A． B． C． D．
3．（四川省成都市玉林中学2023届高三适应性考试数学试题）设 ，则 等于
（ ）
A．-2 B．2 C．-4 D．44．（2023·河南·校联考模拟预测）已知角 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）若 为锐角， ，则 （ ）
A． B．1 C． D．
6．（2023·广东深圳·校考二模）已知 ，则 的值是（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题
7．（2023·全国·高三专题练习）计算： ______.
8．（2023·全国·高三专题练习）若cosα＝－ ，α是第三象限的角，则sin ＝____________.
9．（2023·全国·高三专题练习） ____________．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，则 __________．
题型二 辅助角公式的应用
【典例1】求函数 的最大值（ ）
A． B． C． D．
【题型训练】一、单选题
1．（2023·新疆和田·校考一模）该函数 的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）函数 的最小正周期和最大值分别是（ ）
A． 和 B． 和2 C． 和 D． 和2
3．（2023春·云南昭通·高三校考阶段练习）已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2023·广西·校联考模拟预测） 的值所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，则 的最大值为________
6．（2023·陕西西安·校考模拟预测）若 ，则 __________．
7．（2023·全国·高三专题练习）函数 的最大值为______．
题型三 三角函数式的化简
策略方法
1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则
2．三角函数式化简的方法(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数
式时，一般需要升次．
【典例1】已知 ，则 的值是（ ）
A． B．不存在 C． 或 不存在 D．
【典例2】已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·江西九江·瑞昌市第一中学校联考模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）已知锐角 ， 满足 ，则
的值为（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 （ ）A． B． C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·模拟预测）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2023·河北·统考模拟预测）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）函数 的最小正周期为__________．
9．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知 为钝角， ，则 的值
为______.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，且 ，则 的
值是______.
题型四 给值求值问题
策略方法 给值求值：一般是给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解
题的关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系．【典例1】已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知 ， ，则 的
值为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·河北·统考模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
4．（2023·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考模拟预测）已知 ，则
（ ）
A． B． C． D．5．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2023·河南·校联考模拟预测）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全国·模拟预测）已知 ， 为锐角， ， ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·江西九江·统考三模）已知 ，且 ，则cosβ=（ ）
A． B． C． D．0
二、填空题
10．（2023·高三课时练习）已知 ，则 __________.
11．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）已知 ，则 ________.
12．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考期末）已知 ，则
__________．13．（2023·重庆·统考模拟预测）已知 ， ，则 ________．
题型五 给值求角问题
策略方法
给值求角：实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某一个三角函数值来求角．在选取
函数时，遵循以下原则：
①已知正切函数值，选正切函数．
( π)
0，
②已知正、余弦函数值，若角的范围是 2 ，选正、余弦函数皆可，若角的范围是(0，
( π π)
− ，
π)，选余弦函数，若角的范围是 2 2 ，选正弦函数．
【典例1】已知 ，则 的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·河南·校联考模拟预测）设 ， 是方程 的两根，且 ，则
（ ）．
A． B． C． 或 D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知 且 ，则 =（ ）
A． B．
C． D． 或3．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，且 ， ，则 的
值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2023·全国·高三专题练习）若 ，则 的值可能为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
6．（2023·全国·高三专题练习）已知 都是锐角， ，则 ___________.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，若 ，则 ________．
8．（2023·全国·高三专题练习）若 ，且 ，则 的值为___________.
9．（2023·全国·高三专题练习）若 ，且 ， ，则 ______.
