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专题 26.3 反比例函数的应用的六大类型
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对反比例函数的应用的六大类型
的理解！
【类型1 工程问题】
1．（2023春·安徽·九年级统考期末）冉冉录入一篇文章，录入时间y（分钟）与录字速度x（字/分钟）之
间的关系如图所示；
(1)求y与x间的函数表达式；
(2)若冉冉将原有录入速度提高20%，结果提前2分钟完成了录入任务，求冉冉原来的录入速度．
2．（2023春·九年级课时练习）某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装9000台空调．
（1）在这段时期内，每天组装的数量m（台/天）与组装的时间t（天）之间有怎样的函数关系？
（2）原计划用2个月时间（每月按30天计算）完成这一任务，但由于气温提前升高，厂家决定这批空调
提前10天完成组装，那么装配车间每天至少要组装多少台空调？比原计划多多少？
3．（2023春·全国·九年级专题练习）某蓄水池员工对一蓄水池进行排水，该蓄水池每小时的排水量
V(m3/h)与排完水池中的水所用的时间t(h)之间的函数关系如图所示．(1)该蓄水池的蓄水量为_________m3；
(2)如果每小时排水量不超过2000m3，那么排完水池中的水所用的时间t(h)满足的条件是_________；
(3)由于该蓄水池员工有其他任务，为了提前2小时排完水池中的水，需将原计划每小时的排水量增加
25%，求原计划每小时的排水量是多少m3？
4．（2023春·全国·九年级专题练习）某运输公司承担某项工程的运送土石方任务．已知需要运送的土石方
总量为4×104立方米，设运输公司每天运送的土石方为V(立方米/天)，完成任务所需要的时间为t（天)．
（1）V与t之间有怎样的函数关系？
（2）运输公司共派出20辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方100立方米，工程进行了8天后，如果需要提
前4天才能完成任务，那么该运输公司至少需要增派多少辆同样的卡车才能按时完成任务？
5．（2023春·浙江杭州·九年级期中）某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装9000台空调，设每
天组装的空调数量为y（台/天），组装的时间为x（天）.
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）原计划用60天完成这一任务，但由于气温提前升高，厂家决定这批空调至少要提前10天完成，那么
装配车间每天至少要组装多少台空调？
6．（2023春·山东青岛·九年级校联考期末）在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需
天数y(天)与每天完成工程量x米的函数关系图象如图所示，是双曲线的一部分．
(1)请根据题意，求y与x之间的函数表达式；
(2)若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此
项任务？
(3)如果为了防汛工作的紧急需要，必须在10天内完成任务，那么每天至少要完成多少米？【类型2 行程问题】
1．（2023春·江苏无锡·九年级统考期末）体育课上，甲、乙、丙、丁四位同学进行跑步训练，如图用四个
点分别描述四位同学的跑步时间y（分钟）与平均跑步速度x（米/分钟）的关系，其中描述甲、丙两位同
学的y与x之间关系的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则在这次训练中跑的路程最多的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．（2023·河南信阳·校考三模）如图①，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测
速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间
AB段的平均行驶速度v(km/h)与行驶时间t(h)是反比例函数关系（如图②），已知高速公路上行驶的小型
载客汽车最高车速不得超过120km/h，最低车速不得低于60km/h，小聪的爸爸按照此规定通过该限速
区间AB段的时间可能是（ ）
A．0.1h B．0.35h C．0.45h D．0.5h
3．（2023春·北京通州·九年级统考开学考试）王伟家长将轿车油箱注满k升油后，轿车行驶的总路程S
k
（单位：千米）与平均耗油量a（单位：升/千米）之问是反比例函数关系S= （k是常数，k≠0）．已知
a某某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶400千米，当平均耗油量为
每千米0.08升时，该轿车可以行驶 千米．
4．（2023春·广东深圳·九年级北师大南山附属学校校考期中）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台
赛道的横截面示意图，取水平线OE为x轴，铅垂线OD为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度
v(m/s)从D点滑出，运动轨迹近似抛物线y=-ax2+2x+20(a≠0)．某运动员7次试跳的轨迹如图2，在
着陆坡CE上设置点K（与DO相距32m）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．
(1)求线段CE的函数表达式；
(2)在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v2的对应数据，在平面直
角坐标系中描点如图3．
①猜想a关于y的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．
②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s）？（参考数据：√3≈1.73，√5≈2.24）
5．（2023春·江苏南京·九年级统考期末）某司机驾驶汽车从甲地去乙地，平均速度是80km/h，用时6h．
(1)当他按原路匀速返回时，汽车速度v(km/h)与时间t(h)之间的函数关系式是______；
(2)返回时，规定最高车速不得超过每小时100km，问返程最少需要几小时？
6．（2023·江苏·九年级假期作业）一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v（千米/小时）与所用时间t
（小时）的函数关系如图所示，其中60≤ν≤120．
（1）求v与t的函数关系式及t的取值范围；
（2）客车上午8点从甲地出发．客车需在当天14点40分至15点30分（含14点40分与15点30分）间
到达乙地，求客车行驶速度v的范围．7．（2023春·浙江·九年级专题练习）台州沿海高速的开通，大大方便了玉环人民的出行、玉环至台州段全
长38公里，记小车在此段高速的时间为t小时，平均速度为v千米/小时，且平均速度限定不小于60千
米/小时，不超过100千米/小时．
（1）求v关于t的函数表达式和自变量t的取值范围；
（2）张老师家住在距离高速进口站的4千米的地方，工作单位学校在出口站附近，距离出口站约6千米，
某天张老师开车从家去学校上班，准备从家出来是早上7：00整，学校规定早上7：50以后到校属于迟到，
若从家到进口站和从出口站到学校的平均速度为50千米/小时，假如进收费站、出收费站及等特的时间共
计需6分钟，请你通过计算判断张老师是否可能迟到，若有可能迟到，应至少提前多长时间出发？
【类型3 销售问题】
1．（2023春·九年级课时练习）某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至
0.55﹣0.75之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y（亿度）与（x﹣0.4）（元）成反比例，
又当x＝0.65时，y＝0.8．根据y与x之间的函数关系式，请你预算，如果每度电的成本价为0.3元，电价
调至0.6元时，本年度电力部门的纯收入是 亿元．
2．（2023·浙江杭州·统考一模）某校九年级开展了一次数学竞赛，赛后购买总金额为480元的奖品，对获
奖学生进行奖励．设有x名学生获奖，奖品均价y元．
（1）写出y关于x的函数表达式．
（2）该年级共有学生400人，
①若未获奖学生数是获奖学生数的4倍多25人，求奖品的均价．
②若获奖学生不超过该年级学生总数的25%，且不低于学生总人数的15%，求奖品均价的取值范围．
3．（2023春·湖南张家界·九年级统考期中）元旦期间，甲、乙两家商场都进行了促销活动，如何才能更好k
地衡量钏销对消费者受益程度的大小呢？某数学小组通过合作探究发现用优惠率p= (其中k代表优惠金
m
额，m代表顾客购买商品的总金额)可以很好地进行衡量，优惠率p越大，消费者受益程度越大；反之就越
k
小.经统计，若顾客在甲、乙两家商场购买商品的总金额都为m(200≤m＜400)元时，优惠率分别为P = 甲
甲
m
k
与P = 乙，它们与m的关系图象如图所示，其中p 与m成反比例函数关系，p 保持定值.
乙 甲 乙
m
(1)求出k 的值，并用含m的代数式表示k .
甲 乙
(2)当购买总金额m(元)在200≤m＜400的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么.
(3)品牌、质量、规格等都相同的基本种商品，在甲、乙两家商场的标价都是m(200≤m＜400)元，你认为选
择哪家商场购买该商品花钱少些？请说明理由.
4．（2023春·全国·九年级校考期末）李先生参加了某电脑公司推出的分期付款购买电脑活动，他购买的电
脑价格为1.2万元，交了首付4000元之后每期付款y元，x个月结清余款．
(1)写出y与x的函数关系式．
(2)如打算每月付款不超过500元，李先生至少几个月才能结清余款？
5．（2023春·山东滨州·九年级校考期末）为寻求合适的销售价格，商场对新进的一种商品进行了一周的试
销，发现这种商品的每天销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间成反比例关系．已知第一天以220
元/千克的价格销售了80千克.
(1)求y与x的函数关系式.
(2)试销期间共销售了700千克这种新进商品，在试销后，商场决定将这种新进商品的销售价格定为160元/千克，这样按所发现的反比例关系预测剩余这种商品再用10天可以全部售完.问商场共新进多少千克的
这种商品？
6．（2023春·广西桂林·九年级校联考期中）某品牌计算机春节期间搞活动，规定每台计算机售价 0．7 万
元，首次付款后每个月应还的钱数 y （元）与还钱月数 t 的关系如图所示．
（1）根据图像写出 y 与 t 的函数关系式；
（2）求出首次付款的钱数；
（3）如果要求每月支付的钱数不多于 400 元，那么首付后还至少需几个月才能将所有的钱全部还清？
7．（2023春·全国·九年级专题练习）某超市一段时期内对某种商品经销情况进行统计分析：得到该商品的
销售数量P（件）由基础销售量与浮动销售量两个部分组成，其中基本销售量保持不变，浮动销售量与售
价x（元/件，x≤20）成反比例，销售过程中得到的部分数据如下：
售价x 8 10
销售数量 7
58
P 0
（1）求P与x之间的函数关系式；
（2）当该商品销售数量为50件时，求每件商品的售价；
（3）设销售总额为W，求W的最大值．
【类型4 物理问题】
1．（2023春·全国·九年级专题练习）在物理实验室实验中，为了研究杠杆的平衡条件，设计了如下实验，
如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧采取变动钩码数量即改
变力F，或调整钩码位置即改变力臂L，确保杠杆水平平衡，则力F与力臂L满足的函数关系是（ ）A．正比例函数关系 B．反比例函数关系 C．一次函数关系 D．二次函数关系
2．（2023春·河北张家口·九年级张家口市第五中学校考期末）如图，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件
的实验：在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘A中放置一个重物，在右边的活动托盘B（可左右移
动）中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡，改变活动托盘B与点O的距离x(cm)，观察活动托盘B
中砝码的质量y(g)的变化情况．实验数据记录如下表：
x/cm 10 15 20 25 30
y/g 30 20 15 12 10
(x,y)
(1)把上表中 的各组对应
值作为点的坐标在如图的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑曲线连接这些点；
(2)观察所画的图像，猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式；
(3)当砝码的质量为24g时，活动托盘B与点O的距离是多少厘米？
(4)当活动托盘B往左移动时，应往活动托盘B中添加还是减少砝码？直接写出答案．
3．（2023·河北保定·统考二模）如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录
桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：桌面所受压强P（Pa） 300 400 500 750 1500
受力面积S（m2） 0.5 0.375 a 0.2 0.1
(1)根据表中数据，求出桌画所受压强P(Pa)关于受力面积S(m2)的函数表达式及a的值．
(2)将另一长，宽，高分别为0.3m，0.2m，0.1m，且与原长方体相同重量的长方体按图2所示的方式放置
于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为2000Pa，这种摆放方式是否安全？请判断并说明
理由．
4．（2023春·浙江温州·九年级统考期末）根据以下素材，探索完成任务．
制作检测75%酒精的漂浮吸管
如图1，装有钢珠且下端密封的吸管漂浮在液体中时，所受重力与浮力大小相等，吸管浸在液体中
的深度会因液体密度的改变而改变．
素
材1
小明通过观察与测量，得到漂浮在液体中吸管的示数h（cm）与液体密度ρ（g/cm3）之间的几组
数据如下表：
素 h（cm） … 19.8 18 16.5 13.2 …
材2
ρ（g/cm3） … 1.0 1.1 1.2 1.5 …
浓度为a%的酒精密度（酒精与水的密度分别为0.8 g/cm3，1.0 g/cm3）：
素
材3 ρ = m = a%V⋅ρ 酒精 +(1-a%)V⋅ρ 酒精=a%×0.8+(1-a%)×1.0=-0.002a+1
a%酒精 V V问题解决
任
求ρ关于h的函数表达式．
务1
由吸管上对应的刻度线可判断配置的酒精浓度．图2已标出吸管在水中的位置，请通过计算，标出
可以检测75%酒精的吸管位置．（精确到0.1cm）
任
务2
5．（2023·吉林·统考中考真题）笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ（单位：m）
会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化．已知波长λ与频率f是反比例函数关系，下面是它们
的部分对应值：
1
频率f（MHz） 15 50
0
3
波长λ（m） 20 6
0
(1)求波长λ关于频率f的函数解析式．
(2)当f =75MHz时，求此电磁波的波长λ．
6．（2023·山西阳泉·校联考模拟预测）阅读与思考
下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
今天是2023年5月8日（星期一），在下午数学活动课上，我们“腾飞”小组的同学，参加了一次“探索
输出功率P与电阻R函数关系的数学活动”．
第一步，我们根据物理知识P=UI，（U表示电压为定值6V，I表示电流），通过测量电路中的电流计算电功率．
第二步，通过换用不同定值电阻，使电路中的总电阻成整数倍的变化．
第三步，计算收集数据如下：
R/Ω ... 5 10 15 20 25 ...
P/W ... 7.2 3.6 2.4 1.8 1.6 ...
第四步，数据分析，以R的数值为横坐标，P的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以
表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．
数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改.实
验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记．
任务：
(1)上面日记中，数据分析过程，主要运用的数学思想是______；
A．数形结合 B．类比思想 C．分类讨论 D．方程思想
(2)你认为表中哪组数据是明显错误的；并直接写出P关于R的函数表达式；
(3)在下面平面直角坐标系中，画出此函数的图象；
(4)请直接写出：若想P大于30W，R的取值范围．
7．（2023·山西太原·统考二模）阅读与思考
下面是小宇同学的一篇日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
在物理活动课上，我们“博学”小组的同学，参加了一次“探究电功率P与电阻R之间的函数关系”的活
动．第一步，实验测量．根据物理知识，改变电阻R的大小，通过测量电路中的电流，计算电功率P．
第二步，整理数据．
R/Ω … 3 6 9 12 15 …
P/W … 3 1.5 1 0.75 0.7 …
第三步，描点连线．以R的数值为横坐标，对应P的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数值为
坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．
在数据分析时，我发现一个数据有错误，重新测量计算后，证明了我的猜想正确，并修改了表中这个数
据．实验结束后，大家都有很多收获，每人都撰写了日记．
任务：
(1)表格中错误的数据是______，P与R的函数表达式为______；
(2)在平面直角坐标系中，画出P与R的函数图象；
(3)结合图象，直接写出P大于6W时R的取值范围．
【类型5 几何图形问题】
1．（2023春·广东佛山·九年级统考期末）一个菱形的面积为20cm2，它的两条对角线长分别为ycm，
xcm，则y与x之间的函数关系式为y＝ ．3
2．（2023春·九年级课时练习）设矩形的两条邻边长分别为x，y，且满足y= ．若此矩形能被分割成3
x
个全等的正方形，则这个矩形的对角线长是 ．
3．（2023·贵州贵阳·统考三模）山西地处黄河中游，是世界上最早最大的农业起源中心之一，是中国面食
文化的发祥地，其中的面条文化至今已有两千多年的历史（面条在东汉称之为“煮饼”）．厨师将一定质
量的面团做成拉面时，面条的总长度y(m)是面条横截面面积x(mm2)的反比例函数，其图象经过A(4,32)，
B(a,80)两点（如图）．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)求a的值，并解释它的实际意义．
4．（2023春·山东日照·九年级统考期末）如图是某游乐园“水上滑梯”的侧面示意图，其中BD段可看成
k
双曲线y= (x>0)的一部分，矩形OABC是向上攀爬的阶梯部分．以O为中心建立平面直角坐标系，使
x
点A和点C分别落在x轴和y轴的正半轴上．已知OC=5米，入口平台BC=1.8米，滑梯的出口D点到水
面的距离DE为0.75米（O、A、E在一条直线上）．求B、D之间的水平距离AE的长．
5．（2023春·河北保定·九年级校联考阶段练习）如图，某课外兴趣小组计划利用已有的篱笆圈成一个一边
AD靠墙，面积为15m2的矩形ABCD花园，其中墙长为8m，现在可用的篱笆总长为12m．(1)若设AB=xm，BC= ym．请写出y关于x的函数表达式；
(2)若要使12m的篱笆全部用完，能否围成面积为18m2的花园？若能，请求出长和宽；若不能，请说明理
由；
(3)假设围成矩形花园ABCD的三边材料总长不超过12m，材料BC和DC的长都是整米数，求满足条件的
所有围建方案．
6．（2023·山东德州·统考一模）如图是海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图坐标系．其中
BC段可看成是反比例函数图象的一段，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，梯子高6米，宽1米，出口C点到
BE的距离CF为11米，求：
(1)BC段所在的反比例函数关系式是什么？
(2)C点到x轴的距离CD长是多少？
(3)若滑梯BC上有一个小球Q，Q的高度不高于3米，则Q到BE的距离至少多少米？
【类型6 表格问题】
1．（2023春·江苏苏州·九年级苏州市景范中学校校考期中）丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州
市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．
驾驶员根据平时驾车去往杭州市场的经验，得到v、t的一组对应值如下表：
（千米/小 6
50 75 80
时） 0
（小时） 6 5 4 3.75
(1)根据表中的数据，可知该公司到杭州市场的路程为___________千米；
(2)求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间 （小时）的函数表达式；
(3)汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明理由．2．（2023春·河北邢台·九年级统考期末）某经销商出售一种进价为4元/升的液体原料，在市场营销中发
现此商品日销售价x元/升与日销售量y（升）满足反比例函数，部分数据如下表：
x（元/升） 3 4 5 6
15
y（升） 200 120 100
0
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)已知如图所示的长方体容器中装满了液体原料，记日销售后长方体中剩余液体的高度为
①求h关于x的函数关系式；
②物价局规定此液体原料的日销售价最高不能超过8元/升，若该液体原料按最大日销售利润销售20天，
则长方体容器中剩余液体原料多少升？
3．（2023春·九年级课时练习）2021年某企业生产某产品，生产线的投入维护资金x（万元）与产品成本
y（万元/件）的对应关系如下表所示：
投入维护资金x（万元） 2.5 3 4 4.5
产品成本y（万元/件） 7.2 6 4.5 4
(1)请你认真分析表中数据，从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律，给出理由，并
求出其解析式．
(2)2022年，按照这种变化规律：
①若生产线投入维护资金5万元，求生产线生产的产品成本．
②若要求生产线产品成本降低到3万元以下，求乙生产线需要投入的维护资金．
4．（2023春·全国·九年级专题练习）某公司生产一种医疗器械，平均每台器械的生产时间为6分钟．为了
提高生产效率，该公司引进一批新的生产设备，安装后需要进行调试．已知生产每台医疗器械所需的平均
时间y（单位：分钟）与调试次数x（单位：次）的函数关系是 （k为非0常数），调试次数x，调试后平均每台医疗器械生产所需时间y及相应的k的数据如下表：
x 1 2 3 4 …
1
y 8 7 4 …
3
1 1
k 14 12 …
2 8
(1)如果要使表中有尽可能多的数据满足函数关系，则函数解析式为______；
(2)如果要使k与其表中相应具体数据的差的平方和最小，求此时的函数解析式；
(3)要使这种器械的生产效率提高60%，你认为调式多少次比较合适？
5．（2023春·江苏南京·九年级统考期末）已知某品牌运动鞋每双进价120元，为求合适的销售价格进行了
4天的试销，试销情况如下表：
第1天 第2天 第3天 第4天
售价x（元/双） 150 200 250 300
销售量y（双） 40 30 24 20
（1）表中数据x、y满足什么函数关系式？请求出这个函数关系式；
（2）若每天销售利润为3000元，则单价应定为多少元？
6．（2023春·江苏苏州·九年级校考阶段练习）某厂从2011年起开始投入技改资金，经技术改进后，其产
品的生产成本不断降低，具体数据如下表所示：
年度 2011 2012 2013 2014
投入技改资金 /万元 2.5 3 4 4.5
产品成本 /（万
7.2 6 4.5 4
元/件）
（1）请认真分析表中的数据，从你学过的一次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，并
求出它的表达式；
（2）按照这种变化规律，2015年已投入技改资金5万元．
①预计产品成本每件比2014年降低多少万元？
②如果打算在2015年把每件产品的成本降低到3.2万元，那么还需投入技改资金多少万元？（精确到0.01
万元）
7．（2023春·安徽·九年级校联考阶段练习）小明到眼镜店调查了近视眼镜镜片的度数和镜片焦距的关系，
发现镜片的度数 （度）是镜片焦距 （厘米）（ ）的反比例函数，调查数据如下表：眼镜片度数
…
（度）
镜片焦距 （厘
…
米）
（1）求 与 的函数表达式；
（2）若小明所戴近视眼镜镜片的度数为度，求该镜片的焦距．
