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专题 26.2 反比例函数的性质【十大题型】
【人教版】
【题型1 由反比例函数的解析式确定其性质】.....................................................................................................1
【题型2 判断反比例函数图象所在的象限】.........................................................................................................2
【题型3 判断反比例函数的增减性】......................................................................................................................2
【题型4 由反比例函数的增减性求字母的取值范围】.........................................................................................3
【题型5 由双曲线分布的象限求字母的取值范围】.............................................................................................3
【题型6 比较反比例函数值或自变量的大小】.....................................................................................................4
【题型7 反比例函数中的几何变换问题】..............................................................................................................4
【题型8 一次函数与反比例函数图象的综合判断】.............................................................................................7
【题型9 一次函数与反比例函数的的交点问题】.................................................................................................8
【题型10 反比例函数的实际应用】........................................................................................................................10
知识点1：反比例函数的性质
函数 图象 所在象限 增减性
第一、
三象限 在同一象限内，
随 的增大而减小
第二、
四象限 在同一象限内，
随 的增大而增大
越大，函数图象越远离坐标原点
【题型1 由反比例函数的解析式确定其性质】
4
【例1】（23-24九年级·河北·阶段练习）关于反比例函数y= 的图象，下列说法正确的是（ ）
x
A．必经过点(1,1) B．两个分支分布在第二、四象限
C．两个分支关于x轴成轴对称 D．当x<−1时，−40时，y>0，其中正确的说
法有 个．
【题型2 判断反比例函数图象所在的象限】
【例2】（23-24·广东广州·一模）已知一次函数y=ax+b经过点(−2,−3)，正比例函数y =ax不经过第三
1
b
象限，则反比例函数y = 的图象位于（ ）
2 x
A．第一、第二象限 B．第一、第三象限
C．第二、第三象限 D．第二、第四象限
【变式2-1】（23-24九年级·江苏南京·期末）已知反比例函数的图像经过点P(a,a)，则这个函数的图像位
于第 象限．
【变式2-2】（23-24九年级·全国·单元测试）反比例函数的图像过点(a,b)与点(a+2,t)，若a、b同号，则
此图像在第 象限，用含a、b的式子表示t= ．
2
【变式2-3】（23-24九年级·河南南阳·期末）已知五个函数①y=5x，②y=x−1，③y=−x+3，④y=
x
2
，⑤y=− ，现有两个条件：（1）第二、第四象限内均有它的图象，（2）在每个象限内，y随x的增大
x
而增大，则同时满足这两个条件的函数是 （只填序号）．
【题型3 判断反比例函数的增减性】
【例3】（23-24九年级·上海崇明·期末）下列函数中，y随x的增大而增大的是（ ）2 2
A．y=x+2 B．y=−x+2 C．y= D．y=−
x x
k
【变式3-1】（23-24·上海·三模）反比例函数y= ，k>0，则在第三象限，y随x增大而 ．（选填
x
“增大”或“减小”）
−mn
【变式3-2】（23-24·上海·模拟预测）若正比例函数y=mnx过第二象限，则反比例函数y= 的图象在
x
每个象限，y随x的增大而 （选填“增大”或“减小”）
5
【变式3-3】（23-24九年级·江西九江·阶段练习）已知反比例函数y= ，当−5≤ y<−1时，自变量x的取
x
值范围是 ．
【题型4 由反比例函数的增减性求字母的取值范围】
m2+1
【例4】（23-24九年级·浙江嘉兴·期末）已知点A（a，y ），B（2，y ）在反比例函数y=
1 2 x
的图象上，若y y <0，y + y <0，则a的取值范围是 ．
1 2 1 2
k
【变式4-1】（23-24·陕西西安·模拟预测）已知反比例函数y= （k≠0），点A(x ,y )，B(x ,y )都在
x 1 1 2 2
反比例函数的图象上，当x 0，则a的取值范围为（ ）
1 2
A．a<0 B．a<−2 C．−20
k
【变式4-3】（23-24九年级·浙江杭州·期末）已知反比例函数y= (k≠0)，当1≤x≤3时，y的最大值与
x
最小值之差是4，则k= ．
【题型5 由双曲线分布的象限求字母的取值范围】
【例5】（23-24九年级·湖南常德·阶段练习）若反比例函数y=(m−0.1)x−|m|的图像经过第二、四象限，
则m= ．
1−3k
【变式5-1】（23-24九年级·上海闵行·阶段练习）若反比例函数y= 的图象不经过第一象限，则k的
x
取值范围是 ．
m
【变式5-2】（23-24九年级·安徽合肥·期末）若反比例函数y= （m≠0）与正比例函数y=7x无交点，则m
x的取值范围是
k
【变式5-3】（23-24·陕西西安·模拟预测）已知反比例函数y= (k≠0)的图象经过第一、三象限，
x
k 1 1 2
A(x ,y )与B(x ,y )是反比例函数y= 图象上的两个点，若x −x =k−1且 = + ，则k的值为
1 1 2 2 x 2 1 y y k2
2 1
．
【题型6 比较反比例函数值或自变量的大小】
2024
【例6】（23-24九年级·浙江绍兴·期末）已知(x ,y )，(x ,y )，(x ,y )是反比例函数y= 的图象上
1 1 2 2 3 3 x
的三个点，且x 0，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3 1 2 3
A．y 0)个单位长度，得到的图像分别记为C 和l ．已知图像C 经过
x 1 1 1
点M(3,2)．
①求出平移后的图像l 对应的函数表达式；
12
②直接写出不等式 ≤ax−4解集．
x−2
【变式7-1】（23-24九年级·北京西城·期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，Rt△ABC的直角边AB在
x轴上，∠ABC=90∘．点A的坐标为(1，0)，点C的坐标为(3，4)，M是BC边的中点，函数
k
y= (x>0) 的图象经过点M．
x
（1）求k的值；
（2）将△ABC绕某个点旋转180∘后得到△≝¿（点 A，B，C 的对应点分别为点D，E，F），且 EF在
k
y轴上，点D在函数y= (x>0)的图象上，求直线DF的表达式．
x
3
【变式7-2】（23-24·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l:y=− x+3与x轴、y轴分
4
k k
别交于点A、B，与双曲线y= 交于点C(6,m)，D两点，直线x=t分别与直线l和双曲线y= 交于
x x
M、N，连接BN，CN．
(1)求k的值；
(2)点M在线段AB上（不与端点A、B重合），若CM=CN，求△BCN的面积；(3)将点N沿直线AB翻折后的对应点为N′，当N′落在x轴上时，求t的值．
m
【变式7-3】（23-24·四川成都·一模）如图，已知直线y=−x+m+1与反比例函数y= (x>0,m>0)的图
x
象分别交于点A和点B，与x轴交于点C，与y轴交于点D．
(1)如图1，当点A坐标为(1,3)时，
①求直线AB的解析式：
②若点P是反比例函数在第一象限直线AB上方一点，当△ABP面积为2时，求点P的坐标；
(2)将直线CD向上平移2个单位得到直线EF，将双曲线位于CD下方部分沿直线CD翻折，若翻折后的图
象（图中虚线部分）与直线EF有且只有一个公共点，求m的值．
【题型8 一次函数与反比例函数图象的综合判断】
m
【例8】（23-24九年级·四川内江·阶段练习）在同一直角坐标系中，函数y=mx+m与y= (m≠0)的图象
x
可能是（ ）
A． B．
C． D．
k
【变式8-1】（23-24九年级·全国·课后作业）在同一直角坐标系中，函数y=kx−k与y= (k≠0)的大
|x|致图象是（ ）
A．①或④ B．②或③
C．①或③ D．②或④
a
{ (a≥0))
b 1 1
【变式8-2】（23-24·广东广州·二模）定义新运算：a⊗b= 例如 1⊗3= ,−2⊗1=− ，则
b 3 2
(a<0)
a
y=x⊗2的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-3】（23-24九年级·江苏泰州·期中）变量y与x、变量z与y之间的函数关系分别如图①，②所
示，则表示变量z与x之间的函数关系的图象可能是（ ）A． B．
C． D．
【题型9 一次函数与反比例函数的的交点问题】
m
【例9】（23-24九年级·四川内江·期中）如图，直线y=kx+b与双曲线y= (x<0)相交于A(−3,1)、
x
B(−1,n)两点，与x轴相交于点C．
(1)分别求出一次函数与反比例函数的解析式；
(2)连接OA、OB，求△AOB的面积；
m
(3)直接写出当x<0时，关于x的不等式kx+b< 的解集．
x
k
【变式9-1】（23-24九年级·江苏扬州·期末）如图1，已知反比例函数y= 与一次函数y=ax+b的图像相
x
交于点A、B，直线AB与x轴、y轴交于点C、D．(1)若点A(1,6)，点B(2,m)．
①一次函数解析式是 ；
②直接写出线段AD、BC的长，你有什么发现？
(2)若点A(m,n)，点B(n,m)，则②中的结论是否仍然成立？试说明理由．
(3)实际上，对于任意两点A、B，②中的结论都成立，利用此结论解决问题：
k
如图2，已知矩形EFGH，点E(1,4),FG=2，若反比例函数y= 与矩形的对角线EG有交点，则k的最
x
大值为 ．
k
【变式9-2】（23-24九年级·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y= (x<0)的
x
图象与直线y=x+2交于点A(−3,m)．
(1)求k，m的值；
(2) 已知点P(a,b)是直线y=x上位于第三象限的点，过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x+2于点M，
k
过点P作平行于y轴的直线，交反比例函数y= (x<0)的图象于点N．
x
①当a=−1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；
②若PM≤PN，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．
【变式9-3】（23-24九年级·河北沧州·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，k
点A，B，C的坐标分别为A(2,0)，B(6,2)，C(6,6)．反比例函数y= (x>0)的函数图象经过点D，点
x
P是反比例函数上一动点，直线PC的解析式为：y=ax+b(a≠0)．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)如果PC把四边形ABCD的面积分成1:3两部分，直接写出直线PC的解析式；
(3)对于一次函数y=ax+b(a≠0)，当y随x的增大而增大时，直接写出点P的横坐标x的取值范围．
【题型10 反比例函数的实际应用】
【例10】（23-24·辽宁铁岭·二模）小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加
热[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后
水温开始下降[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自
动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)当0≤x≤8时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；
(2)求图中t的值；
(3)有一天，小明在上午7:10（水温20℃），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好11:56，饮水
机内水的温度约为多少℃？并求：在7:10−11:56这段时间里，水温共有几次达到100℃？
【变式10-1】（23-24九年级·山东烟台·期末）某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药
后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组
成，如图（当x≥4时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（ ）A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时
【变式10-2】（23-24九年级·广西梧州·阶段练习）如图1，在左侧托盘A（固定）中放置一个重物，在右
侧托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘B与点O的距离，记录相
应的托盘B中的砝码质量，得到如下相关数据：
托盘B与点O的距离 1
15 20 25 30
x/cm 0
托盘B中的砝码质量 3
20 15 12 10
y/g 0
(1)根据表格中的数值在图2的平面直角坐标系中描点、连线；通过观察图象发现，我们可以用反比例函数
近似地表示y与x的函数关系．请直接写y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)当砝码质量为24g时，求托盘B与点O的距离；
(3)当托盘B向左移动（不能移动到点O）时，应往托盘B中添加砝码还是减少砝码？为什么？
【变式10-3】（23-24九年级·福建福州·阶段练习）研究表明，科学家发现人的眼疲劳系数y与睡眠时间t
之间的函数关系如图所示．其中，当睡眠时间在0
