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第 15 讲 用导数的几何意义研究曲线的切线
真题展示
2022 新高考一卷第 15 题
若曲线 有两条过坐标原点的切线，则 的取值范围是 ，
， ．
知识要点整理
用导数求切线方程的四种类型
求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求
出切点 及斜率，其求法为：设 是曲线 上的一点，则以 的
切点的切线方程为： ．若曲线 在点 的切线平行
于 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为 ．
下面例析四种常见的类型及解法．
类型一：已知切点，求曲线的切线方程
此类题较为简单，只须求出曲线的导数 ，并代入点斜式方程即可．
例1 曲线 在点 处的切线方程为（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．
例2 与直线 的平行的抛物线 的切线方程是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
类型三：已知过曲线上一点，求切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待
定切点法．
例3求过曲线 上的点 的切线方程．
评注：可以发现直线 并不以 为切点，实际上是经过了点
且以 为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解
决此类问题可用待定切点法．
类型四：已知过曲线外一点，求切线方程
此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．
例4 求过点 且与曲线 相切的直线方程．评注：点 实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切
位置，充分反映出待定切点法的高效性．
例5 已知函数 ，过点 作曲线 的切线，求此切线方程．
评注：此类题的解题思路是，先判断点 A是否在曲线上，若点 A在曲线上，
化为类型一或类型三；若点A不在曲线上，应先设出切点并求出切点．
2、求圆锥曲线的切线
在初中数学中，曲线的切线没有一般的定义。例如，圆的切线定义为与圆只
有一个交点的直线，但把这一定义用到其他曲线上就不行了。如直线y=0与抛
物线y=x2 只有一个交点，y=0是y=x2 的切线，但x=0与抛物线y=x2
也只有一
个交点，但x=0却不是y=x2
的切线，由此可见，用“一个交点”来定义切线并
不能用于所有曲线。而学了微积分的知识后，就可以给出曲线切线的一般定义
了。
m y=f (x)
0 m
切线的定义：设 是曲线 上一定点， 是该曲线上的一动点，从而
m m m m m
0 m 0 0
有割线 ，令 沿着曲线无限趋近于 ，则割线 的极限位置就是曲线
y=f (x) m
0
在 的切线（如果极限存在的话）。
这一定义与初等数学中圆的切线定义是一致的（用于讨论圆的切线时），用
这一定义也容易证明y=0是y=x2 的切线，而x=0不是y=x2
的切线，这一切线定
义可用于任何曲线y=f (x)。导数的几何意义就是曲线y=f (x)在点x的切线斜率。故运用上述切线的一般
定义和结论，可以处理与切线有关的许多问题。
例6求曲线y=1nx
在x=2时的切线方程。
反思：由此可见，用微积分法解此类问题是多么的简单容易，可是在初等数
学中，曲线y=f (x)的切线定义都难得给出，更别说讨论与y=f (x)的切线有关的
问题了。
例7已知函数f(x)=ax3 +bx2 −3x在x=±1处取得极值，过点A(0,16)作曲线
y=f (x)的切线，求此切线方程。
要点：1.导数是如何定义
2.如何求曲线y=f(x)在点 (x o , y o) 处的切线方程与法线方程。
三年真题
1.已知函数 ，对于 上的任意 ，有如下条件：① ；② ；③ ．
其中能使 恒成立的条件序号是____________．2．某日中午12时整，甲船自A处以 的速度向正东行驶，乙船自A的正北 处以 的速
度向正南行驶，则当日12时30分时两船之距离对时间的变化率是___________ ．
3．曲线 与 在交点处切线的夹角是____________．（用弧度数作答）
4．已知 和 分别是函数 （ 且 ）的极小值点和极大值点．若 ，则
a的取值范围是____________．
5．若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
6．函数 的最大值为______.7．曲线 在点 处的切线与 轴、直线 所围成的三角形的面积为 ，则 ________.
8．曲线 在点(0，1)处的切线方程为________．
9．已知函数 ，函数 的图象在点 和点 的两条切线互
相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则 取值范围是_______．
10．写出一个同时具有下列性质①②③的函数 _______．
① ；②当 时， ；③ 是奇函数．
11．已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ， 恰 有2个零点；②存在负数 ，使得 恰有1个零点；
③存在负数 ，使得 恰有3个零点；
④存在正数 ，使得 恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
12．曲线 在点 处的切线方程为__________．
13．函数 的最小值为______.
14．在平面直角坐标系xOy中，已知 ，A，B是圆C： 上的两个动点，满足 ，
则△PAB面积的最大值是__________．
15．设函数 ．若 ，则a=_________．16．曲线 的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.
三年模拟
1．已知 ，则曲线 在 处的切线方程是___________.
2．若过点 只可以作曲线 的一条切线，则 的取值范围是__________.
3．若直线 是曲线 和 的公切线，则实数 的值是______.
4．函数 的图象在 处的切线方程为______.5．设曲线 的斜率为3的切线为 ，则 的方程为______．
6．已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程是______.
7．已知定义在R上的函数 满足：①曲线 上任意一点处的切线斜率均不小于1；②曲线
在原点处的切线与圆 相切，请写出一个符合题意的函数 ______．
8．已知曲线 在某点处的切线的斜率为 ，则该切线的方程为______.
9．若函数 在 处的切线方程为 ，则 _________．10．已知函数 的图像与直线 相切，则 ____________
11．若曲线 的图象总在曲线 的图象上方，则 的取值范围是______.
12．已知曲线 与曲线 有相同的切线，则这条切线的斜率为___________.
13．已知曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则实数 ______．
14．已知函数 ，过点 作曲线 的切线 ，则 的方程为___________.15．已知函数 ，若函数 有三个零点，则实数 的取值范围
是___________.
17．已知函数 满足 ，当 ，若在区间 内，函数 有
三个不同零点，则实数 的取值范围是__________．
