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专题28.4 难点探究专题：解直角三角形应用与特殊几何图形的综合之六大类型
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目录
【典型例题】..................................................................................................................................................1
【类型一 解直角三角形应用与特殊三角形的综合】....................................................................................1
【类型二 解直角三角形应用与平行四边形的综合】....................................................................................8
【类型三 解直角三角形应用与菱形的综合】..............................................................................................14
【类型四 解直角三角形应用与矩形的综合】..............................................................................................19
【类型五 解直角三角形应用与正方形的综合】..........................................................................................25
【类型六 解直角三角形应用与其他图形的综合】......................................................................................29
【典型例题】
【类型一 解直角三角形应用与特殊三角形的综合】
例题：“工欲善其事，必先利其器”，如图所示的是钓鱼爱好者的神器“晴雨伞”，其截面示意图是轴对
称图形，对称轴是垂直于地面的支杆 ，用绳子拉直 后系在树干 上的点 处（ ），使得
， ， 在一条直线上，通过调节点 的高度可控制“晴雨伞”的开合，“晴雨伞” ，
于点 ，支杆 与树干 的横向距离 ．
(1)天晴时打开“晴雨伞”，若 ，求遮阳宽度 ．
(2)下雨时收拢“晴雨伞”，使 由 减少到 ，求点 下降的高度．（结果精确到 ，参考数据： ， ， ， ）
【变式训练】
1．如图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成加如图2所示的示意图，已知点 ， ， ， 均
在同一直线上， ，测得 ．（结果保留小数点后一位）
(1)连接 ，求证： ；
(2)求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）．
（参考数据： ）
2．夏秋季节，许多露营爱好者晚间会在太湖边露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图
是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆 ，用绳子拉直 后系在树干 上的点E处（ ），
使得A、D、E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，幕布宽 ，
于点O，支杆 与树干 的横向距离 ．（参考数据： ， ，
，结果精确到0.1）
(1)天晴时打开“天幕”，若 ，求遮阳宽度 ；
(2)下雨时收拢“天幕”， 由 减少到 ，求点E下降得高度．3．遮阳伞可以遮住灼灼骄阳，站在伞下会凉爽很多，如图①，把遮阳伞（伞体的截面示意图为 ）用
立柱 固定在地面上的点O处，此时 垂直于地面 ，遮阳伞顶点A与P重合．需要遮阳时，向上调
节遮阳伞立柱 上的滑动调节点 ，打开支架 ，伞面撑开如图②，其中， ， ，
为 中点， ，根据生活经验，当太阳光线与伞口 垂直时，遮阳效果最佳．（图中的虚线
就是太阳光线，同一时刻的太阳光线是平行的）
(1)某天上午10点，太阳光线与地面的夹角为 ，如图③，为使遮阳效果最佳，滑动调节点 ，此时立柱
与支梁 夹角_________度．
(2)在（1）的情况下，若 为遮阳伞落在地面上的阴影如图④所示，求出这个阴影的长度．
(3)如图⑤，正午时分，太阳光与地面的夹角约为 ，滑动调节点 到 ，使遮阳效果最佳，此对调节点
滑动的距离约为多少？（ ， ， ，结果精确到 ）
【类型二 解直角三角形应用与平行四边形的综合】
例题：图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知 ，A，D，H，G四点在同一直线上，测得 ．（结果保留小数点后一位）
(1)求证：四边形 为平行四边形；
(2)求雕塑的高（即点G到 的距离）．
（参考数据： ）
【变式训练】
1．今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感
觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果
画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形 是平行四边形，座板 与地面 平行，
是等腰三角形且 ， ，靠背 ，支架 ，扶手的一部分
．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端 点距地面（ ）的高度是多少吗？请你帮小余
同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据： ， ，
）2．三折伞是我们生活中常用的一种伞，它的骨架是一个“移动副”和多个“转动副”组成的连杆机构，
如图1是三折伞一条骨架的结构图，当“移动副”（标号1）沿着伞柄移动时，折伞的每条骨架都可以绕
“转动副”（标号2－9）转动；图2是三折伞一条骨架的示意图，其中四边形 和四边形 都是
平行四边形， ， ， ．
(1)若关闭折伞后，点 、 、 三点重合，点 与点 重合，求 的长度；
(2)在（1）的条件下，折伞完全撑开时， ，则点 到伞柄 距离为多少．
【类型三 解直角三角形应用与菱形的综合】
例题：如图 是一个晾衣架的实物图，支架的基本图形是菱形，MN是晾衣架的一个滑槽，点P在滑槽
MN上、下移动时，晾衣架可以伸缩，其示意图如图 所示，已知每个菱形的边长均为20cm，且
．当点P向下滑至点N处时，测得 时
求滑槽MN的长度；
此时点A到直线DP的距离是多少？
当点P向上滑至点M处时，点A在相对于 的情况下向左移动的距离是多少？
结果精确到 ，参考数据
【变式训练】
1．一种千斤顶利用了四边形的不稳定性. 如图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可
改变 的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A、C之间的距离）.若AB=40cm，当
从 变为 时，千斤顶升高了多少．
2．如图1为搭建在地面上的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由相同的菱形和相同
的等腰三角形构成，滑块E，H可分别沿等长的立柱AB，DC上下移动，AF＝EF＝FG＝1m．
（1）若移动滑块使AE＝EF，求∠AFE的度数和棚宽BC的长．
（2）当∠AFE由60°变为74°时，问棚宽BC是增加还是减少？增加或减少了多少？（结果精确到0.1m．
参考数据： ≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）3．（2023·浙江宁波·统考一模）如图1，是一个自动伸缩晾衣架的实物图，图2是它的支架左侧平面示意
图，当 ， D在上滑槽 上左右滑动时， ， 同时在与 平行的下滑槽 上滑动，带动整个支
架改变菱形内角度数，从而调节支架的高度，图2中 ，中间 个菱形的边长均
为 ．
(1)当 调节至 时，求两滑槽间的距离（即 与 之间的距离）；
(2)根据生活经验，当一个身高 的人，头顶与下滑槽 的距离不超过 时，晒衣服比较方便，若
上滑槽 距离地面 ，那么 至少调整到多少度？
（参考数据： ， ， ）
【类型四 解直角三角形应用与矩形的综合】
例题：（2023春·江西南昌·九年级南昌市第二十八中学校联考阶段练习）某景区草地上竖立着一个如图
（1）所示的雕塑，现将其中两个近似大小相同的矩形框架抽象成如图（2）所示的图形，矩形 可由矩形 绕点 旋转得到，点 在 上，延长 交 于点 ．连接 ．
(1)判断四边形 的形状并给予证明；
(2)若点 在水平地面上， 与水平地面平行， ，求点 到水平地面
的距离．（结果精确到 ．）参考数据：
【变式训练】
1．如图①是一个新款水杯，水杯不盛水时如图放置在桌面上，这样可以快速晾干杯底，干净透气，其主
体的侧面示意图如图②，此时杯口与桌面的夹角为 ，四边形 可以看作矩形，点 到桌面 的距
离为 ，测得 ， ．
(1)求 的度数；
(2)求 的长．（结果精确到 ．参考数据： ）
2．某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形 为矩形， 长3米， 长1米，点 与点 重合．道闸打开的过程中，边 固定，连杆 ， 分别绕点 ， 转动，且边 始
终与边 平行．
(1)如图2，当道闸打开至 时，边 上一点 到地面的距离PE为1米，求点 到 的距离
的长．
(2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至 时，轿车能否驶入小区？请
说明理由，（参考数据： ， ， ）
3．如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形 ）靠墙摆放，高 ，宽 ，小
强身高 ，下半身 ，洗漱时下半身与地面成 （ ），身体前倾成 （
），脚与洗漱台距离 （点 ， ， ， 在同一直线上）．
（1）此时小强头部 点与地面 相距多少？
（2）小强希望他的头部 恰好在洗漱盆 的中点 的正上方，他应向前或后退多少？（ ，
， ，计算结果精确到 ）【类型五 解直角三角形应用与正方形的综合】
例题：（2023春·江西九江·九年级统考期中）图1是某校教学楼墙壁上文化长廊中的两幅图案，现将这两
个正方形转化为平面图形得到图2，并测得正方形 与正方形 的面积相等，且
，
(1)判断四边形 的形状，并说明理由．
(2)求 的长．（参考数据： ）
【变式训练】
1．测量金字塔高度：如图1，金字塔是正四棱锥 ，点O是正方形 的中心 垂直于地面，
是正四棱锥 的高，泰勒斯借助太阳光．测量金字塔影子 的相关数据，利用平行投影测算出
了金字塔的高度，受此启发，人们对甲、乙、丙三个金字塔高度也进行了测量．甲、乙、丙三个金字塔都
用图1的正四棱锥 表示．（1）测量甲金字塔高度：如图2，是甲金字塔的俯视图，测得底座正方形 的边长为 ，金字塔甲
的影子是 ，此刻，1米的标杆影长为0.7米，则甲金字塔的高度为______m．
（2）测量乙金字塔高度：如图1，乙金字塔底座正方形 边长为 ，金字塔乙的影子是 ，
，此刻1米的标杆影长为0.8米，请利用已测出的数据，计算乙金字塔的高度．
【类型六 解直角三角形应用与其他图形的综合】
例题：（2023上·重庆·八年级重庆八中校考期中）消防车是救援火灾的重要装备．图1是一辆登高云梯消
防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂 可伸缩，伸缩范围为 ，且起重臂 可绕
点A在一定范围内转动，张角为 ，张角范围为 ，转动点A距离地面 的高度
为 （参考数据： ）
(1)当起重臂 长度为 ，张角为 时，求云梯消防车最高点B距地面的高度；（结果保留根号）
(2)某栋楼高 ，若该楼中有居民家突发险情，请问该消防车能否实施有效救援？请说明理由．
【变式训练】
1．（2023下·江西抚州·九年级校考阶段练习）如图1是折叠会议桌的实物图，其侧面可抽象成图2，桌面
可绕点 转动， ， ， ． ，点 是 点在地面
的正投影．(1)①桌面 到地面 的距离为______ ， ______ ．
②求桌脚 的长；（结果精确到 ）
(2)当桌面 绕点 转动到图3所示的位置时，求点 到地面 的距离．
（参考数据： ， ， ）
2．（2023下·江西景德镇·九年级统考期中）图1是放在散热支架上的笔记本电脑实物图，图2是它的侧面
示意图，点B，C，D处可转动，支撑架 ．若电脑显示屏的边 ，且
垂直于桌面 ， ．
(1)求 的度数．
(2)求笔记本电脑显示屏边的端点F到桌面 的距高．（结果精确到1cm）（ ，
）
3．（2023·江西鹰潭·统考二模）如图1，是一辆小汽车与墙平行停放的实物图片，图2是它的俯视图，汽
车靠墙一侧 与墙 平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽 为1.2米
（参考数据： ， ， ， ， ，）
(1)当车门打开角度 为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由
(2)若车停在原地不动，靠墙一侧的车门能打开的最大角度约为多少？
4．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱 垂直地面 ，支架
与 交于点 ，支架 交 于点 ，支架 平行地面 ，篮筺 与支架 在同一直线
上， 米， 米， ．
(1)求 的度数．
(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在発子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮
网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：）
