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专题 26.3 反比例函数中的存在性问题专项训练（30 道）
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共30题，针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对反比例函数中的存在性问题的理解！
生对新定义函数的理解！
一．解答题（共30小题）
4
1．（2022春•张家川县期末）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y= （x＞0）的图象交于A
x
（m，4），B（2，n）两点，与x轴相交于N点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在直线AB上是否存在点P，使得S ＝3S ，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理
△ONP △AOB
由．
2．（2022•山西模拟）如图，一次函数y ＝kx+b（k≠0）的图象分别与x轴、y轴交于点C，D，与反比例
1
m
函数y = （m≠0）的图象交于A（﹣1，n），B（2，﹣2）两点．
2
x
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）若x轴上存在一点P，使△ABP的面积为6，求点P的坐标．3 m
3．（2022 春•侯马市期末）如图，直线 y=- x﹣2 分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，与双曲线 y=
2 x
（m≠0）在第二象限内的交点为C，CD⊥y轴于点D，且CD＝4．
（1）求双曲线的解析式；
（2）设点Q是双曲线上的一点，且△QOB的面积是△AOB的面积的2倍，求点Q的坐标；
（3）在y轴上存在点P，使PA+PC最短，请直接写出点P的坐标．
k
4．（2022春•惠山区期末）如图，一次函数y ＝ax+b与反比例函数y = 的图象相交于A（1，6），B
1 2
x
（6，1）两点．
（1）求一次函数y 的表达式与反比例函数y 的表达式；
1 2
（2）当y＞y，时，直接写出自变量x的取值范围为 ；
1 2
（3）在平面内存在点P，使得点A、点B关于点P成中心对称的点恰好落在坐标轴上，请直接写出点 P
的坐标为 ．k
5．（2022•柳南区二模）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数y= (x＞0)的图象交于点
x
A（1，n）和点B（3，1），与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）求反比例函数的表达式及一次函数解析式；
（2）双曲线上是否存在一点P，使点P到原点的距离最小，如果存在，求出 P点坐标，并求出最小距
离．如果不存在，请说明理由．
k❑
6．（2022•呼和浩特一模）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y= 2（x＜0）的图象相交于
1
x
点A（﹣1，2）点B（﹣4，n）．
（1）求此一次函数和反比例函数的表达式；
k❑
（2）如图所示，请直接写出不等式kx+b≥ 2的解集；
1
x
（3）在x轴上存在一点P，使△PAB的周长最小，直接写出点P的坐标．
k
7．（2022•海淀区校级模拟）一次函数y＝ax﹣1的图象与x轴交于点C（2，0），与反比例函数y=
x（k≠0）的图象的交点为A和B，且点B的横坐标是﹣2，
（1）求反比例函数解析式；
（2）若x轴上存在点D，使得BC＝CD，直接写出点D的坐标．
8．（2022•香洲区校级一模）如图，A（﹣3，0），B（0，﹣4），将线段AB绕点A逆时针旋转90°，点B
k
的对应点B′恰好在反比例函数y= （k≠0）的图象上．
x
（1）求k值；
（2）反比例函数的图象与线段AB是否存在交点？若存在，请求出交点坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2022秋•绵阳期末）如图，在正方形OABC中，点O为坐标原点，点C（﹣3，0），点A在y轴正半
轴上，点E，F分别在BC，CO上，CE＝CF＝2，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点E和F，交y轴
m
于点G，过点E的反比例函数y= （m≠0）的图象交AB于点D．
x
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在线段EF上是否存在点P，使S ＝S ，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
△ADP △APGk
10．（2022秋•会宁县期末）如图，一次函数y＝﹣x﹣1的图象与反比例函数y= 的图象交于点A、B，与
x
x轴交于点C，S ＝1．
△AOC
（1）求点A的坐标与反比例函数的表达式．
（2）设直线AB与y轴相交于点D，经过计算可知点B的坐标为（2，﹣3）．若点Q是y轴上一点，是
否存在点Q，使得S ＝S ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
△AQD △AOB
k
（3）求﹣x﹣1≥ 的x的取值范围．
x
m
11．（2022•永昌县一模）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y= （m≠0）的图象相
x
交于点A（1，2），B（a，﹣1）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点C，x轴上是否存在一点P，使S ＝4？若存在，请求出点
△APC
P坐标；若不存在，说明理由．
3
12．（2022•徐州模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，- ），作直线AB与反
2m
比例函数y= （x＞0）的图象交于点C，且A是线段BC的中点．
x
（1）求m的值；
（2）D是线段BC上一动点，过点D作DE∥y轴，交反比例函数的图象于点E，是否存在点D，使
△ODE的面积有最大值？若存在，求出最大值及点D的坐标．
13．（2022春•沙坪坝区期中）如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象分别与x轴、y轴交于点A（﹣1，
k
0），B，且OB＝2OA．直线AB与反比例函数y= （k≠0，x＜0）的图象交于点C（﹣3，n）．
x
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）在该反比例函数图象上存在点D，且D到x轴的距离为2；连接AD，直线CD交x轴于点E，求
△ACD的面积．
c
14．（2022•拱墅区校级四模）定义：若一次函数y＝ax+b（a≠0）和反比例函数y=- （c≠0）满足a﹣b
x
＝b﹣c，则称y＝ax2+bx+c为一次函数和反比例函数的“等差”函数．
5
（1）y＝3x+b和y=- 是否存在“等差”函数？若存在，请写出它们的“等差”函数；
x
c c
（2）若y＝10x+b和y=- 存在“等差”函数，且“等差”函数的图象与y=- 的图象的一个交点的横
x x
坐标为1，求反比例函数的表达式．1 k
15．（2022•涪城区校级模拟）如图，正比例函数y= x的图象与反比例函数y= （k≠0）在第一象限的
2 x
图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果B（a，b）为反比例函数在第一象限图象上的点，且b＝2a，试探究在x轴上是否存在点P，
使|PA﹣PB|最大？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
a
16．（2022•金坛区二模）如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别与反比例函数y= （x＞0）的
x
图象交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）已知点C（0，5），若在该一次函数图象上存在一点D，满足DB＝DC，求此时点D的坐标．
m
17．（2022•石家庄模拟）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y= （m≠0）的图象交
x
于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（﹣3，4），点B的坐标为（6，n）．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接OB，求△AOB的面积；
（3）在x轴上是否存在点P，使△APC是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明
理由．18．（2022春•侯马市期末）如图，直线y ＝x+b交x轴于点B，交y轴于点A（0，2），与反比例函数y
1 2
k
= 的图象交于C（1，m），D（n，﹣1），连接OC，OD．
x
（1）求k的值；
（2）求△COD的面积．
（3）根据图象直接写出y＜y 时，x的取值范围．
1 2
k
（4）点M是反比例函数y = 上一点，是否存在点M，使点M、C、D为顶点的三角形是直角三角形，
2
x
且CD为直角边，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（2022•江油市模拟）如图，已知正比例函数y＝2x和反比例函数的图象交于点A（m，﹣2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出正比例函数值小于反比例函数值时自变量x的取值范围；
（3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移√5个单位长度得到点B，在x轴上是否存在点P，使1
S = S ？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
△OCP 3 四边形OABC
k
20．（2022•彭州市校级模拟）如图，已知反比例函数 y= 的图象与正比例函数y＝kx的图象交于点A
x
（m，﹣2）．
（1）求正比例函数的解析式及两函数图象另一个交点B的坐标；
k
（2）试根据图象写出不等式 ≥kx的解集；
x
（3）在反比例函数图象上是否存在点C，使△OAC为等边三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存
在，请说明理由．
k
21．（2022秋•锦州期末）如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y= （k≠0）的图象交
x
于第一、三象限内的A，B两点，与y轴交于点C，过点B作BM⊥x轴，垂足为点M，BM＝OM＝2，
点A的纵坐标为4．
（1）求该反比例函数和一次函数的表达式；
（2）直线AB交x轴于点D，过点D作直线l⊥x轴，如果直线l上存在点P，坐标平面内存在点Q．使
四边形OPAQ是矩形，求出点P的坐标．k
22．（2022•房山区一模）如图，点A在反比例函数y= (k≠0)的图象上．
x
k
（1）求反比例函数y= (k≠0)的解析式；
x
（2）在y轴上是否存在点P，使得△AOP是直角三角形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请
说明理由．
m
23．（2022•东营模拟）如图，在平面直角坐标系 xOy中，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y= 的
x
图象有一个交点A（2，2）．
（1）求m，k的值；
（2）将直线OA向上平移与x轴交于点B，与反比例函数在第一象限内交于点A，连接AB，AC，S
△OAC
＝3，求直线BC的解析式；
（3）反比例函数图象上是否存在点P（A除外）使AP⊥AO？若能，求出点P的坐标，若不能，请说明
理由．1 m
24．（2022•岱岳区三模）如图，直线y =- x+1与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y =
1 2
4 x
（x＜0）的图象交于点P，过点P，作PB⊥x轴于点B，且AC＝BC
（1）求反比例函数y 的解析式；
2
（2）反比例函数y 图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果
2
不存在，说明理由．
1
25．（2022春•江阴市期末）如图所示，直线y = x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y
1 2
4
k
= （x＞0）的图象交于点C，且AB＝BC．
x
（1）求点C的坐标和反比例函数y 的解析式；
2
（2）点P在x轴上，反比例函数y
2
图象上存在点M，使得四边形BPCM为平行四边形，求 ▱BPCM的
面积．
k
26．（2022•乐山）如图，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y= 的图象交于A、B两点，过点A作
x
AC垂直x轴于点C，连接BC．若△ABC的面积为2．
（1）求k的值；
（2）x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明
理由．27．（2022•贵阳模拟）如图，△ABC的顶点A，C落在坐标轴上，且顶点B的坐标为（﹣5，2）将△ABC
k
沿x轴向右平移7个单位得到△A′B′C′，点B′恰好在反比例函数y= 的图象上，且反比例函数图
x
象与A′C′相交于点D．
（1）求反比例函数的表达式；
4
（2）若点D的坐标为（5， ），在x轴上存在点P，使得线段PB′与线段PD之差最大，求出点P的
5
坐标，并说明理由．
k
28．（2022•南京联合体二模）如图，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y= 的图象交于点A、B，AB
x
＝2√5，
（1）求k的值；
k
（2）若反比例函数y= 的图象上存在一点C，则当△ABC为直角三角形，请直接写出点C的坐标．
xm
29．（2022•肥城市模拟）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y= （x＞0）的图象交于点P
x
（2，4），与y轴交于点A（0，﹣4），与x轴交于点C，PB⊥y轴于点B．
（1）求一次函数、反比例函数的表达式；
（2）在反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果
不存在，说明理由．
k
30．（2022•峨边县模拟）如图，反比例函数y= 和一次函数y＝2x﹣1，其中一次函数的图象经过（a，
2x
b），（a+k，b+k+2）两点且点A在第一象限，是两个函数的一个交点；
（1）求反比例函数的解析式？
（2）在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理
由．
