文档内容
26.1 反比例函数
26.1.1 反比例函数
教学内容 26.1.1 反比例函数 课时 1
1. 感悟实际生活中的数量关系，形成数感，能用符号表示数量关系，培养符
号意识，提升抽象能力.
核心素养目 2. 能判断一个给定的函数是否为反比例函数，养成有条理的思维习惯，会用
标 待定系数法求解析式，通过运算促进数学推理能力.
3. 理解与运用反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件建立反比例函数模
型，增强应用意识.
1.理解反比例函数的概念；
知识目标 2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求解析式；
3.能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型.
1.能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求解析式；
教学重点
2.能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型.
教学难点 理解反比例函数的概念.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 一、创设情境 导入新知
入
观看视频，思考问题.
设计意图：通过美丽的城
市灯光视频，吸引学生的
课堂注意力；利用跨学科
知识引入，感受数学在实
际生活和其他学科的广泛
应用，激发学习兴趣.
思考：生活中我们常常通过控制电阻的变化来实现
舞台灯光的效果. 在电压 U 一定的情况下，当 R
变大时，电流 I 变小，灯光就变暗；相反，当 R
变小时，电流 I 变大，灯光变亮. 你能写出这些量
之间的关系式吗?
二、探究新
知
二、探究新知
知识点一：反比例函数的概念
合作探究 设计意图：回顾函数解析
式的求法，锻炼学生的实
探究1：下列问题中，变量间具有函数关系吗？如 践能力和抽象能力，培养
果有，请写出它们的解析式. 自主学习习惯.
(1) 京沪线铁路全程为1463 km，某次列车的平均速
度v (单位：km/h) 随此次列车的全程运行时间 t
(单位：h) 的变化而变化；(2) 某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2 的矩形
草坪，草坪的长 y (单位：m) 随宽 x (单位：m)的
变化而变化；
(3) 已知北京市的总面积为1.68×104 km2，人均占
有面积 S (km2/人) 随全市总人口 n (单位：人) 的
变化而变化.
师生活动：学生独立思考列出解析式，教师巡视，
选学生作答，其他同学判断正误.
(1) v = ；(2) y = ；(3) S =
设计意图：培养学生的观
问题：观察以上三个解析式，你觉得它们有什么共 察能力和归纳总结能力，
同特点？ 发展推理能力.
师生活动：学生独立思考共同作答，教师顺势总结.
都具有 分式 的形式，其中 分 子 是非零常数．
定义总结
反比例函数
一般地，形如 y = ， (k为常数，k ≠ 0) 的函
数，叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数.
思考：反比例函数除了 y = (k ≠ 0) 的自变量 x
设计意图：培养自主学习
的取值范围是什么？ 和分析的能力，加深对反
比例函数取值范围的理解.
师生活动：学生独立思考积极发言，教师补充总结.
预设1：因为 x 作为分母，不能等于零，所以自变
量 x 的取值范围是不等于0的一切实数.
预设2：但实际问题中，应根据具体情况来确定反
比例函数自变量的取值范围.
定义总结
上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数 (x
和 y)，并且含有未知数的项的次数都是 1， 像这
样的方程叫做二元一次方程. 设计意图：发展发散性思
维，提高解题技巧.
想一想：
反比例函数除了可以用 y = (k ≠ 0) 的形式表
示，还有没有其他表达方式？
师生活动：学生独立思考，教师总结.
反比例函数的三种表达方式(注意k≠0)：设计意图：通过练习巩固
y = ， y = kx-1 ，xy = k . 对反比例函数概念的理解.
练习 下列函数是不是反比例函数？若是，请指出 k
的值.
设计意图：通过例题，进
一步掌握反比例函数概
念，锻炼应用能力，提高
师生活动：学生独立思考，选一名学生回答，其他
解题技巧.
同学判断正误.
例1 已知函数 是反比例函
数，求 m 的值.
师生活动：教师引导学生分析解题思路，
设计意图：锻炼学生利用
学生独立完成计算，教师巡视.
反比例函数的概念求未知
数的能力.
方法总结
方法总结：已知某个函数为反比例函数，则自变量
的次数为－1，且系数不等于0.
练习
设计意图：通过例题，让
学生在练习中学习用待定
系数法求解析式.
知识点二：确定反比例函数的解析式
例2 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x = 2
时，y = 6.
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；
(2) 当 x = 4 时，求 y 的值.
师生活动：学生在教师的提示下分析解题思路，独立完成计算.
提示：依题意设 . 把 x = 2 和 y = 6 代入
上式，就可求出常数 k 的值. 这就是待定系数法.
设计意图：巩固用待定系
归纳： 数法求解析式的步骤，锻
用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 炼运用能力.
①设出含有待定系数的反比例函数解析式；
②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析
式，得到关于待定系数的方程；
③解方程，求出待定系数；
④写出反比例函数解析式.
设计意图：锻炼学生的抽
象能力，学习根据实际问
练习 题中的条件建立反比例函
已知 y 与 x + 1 成反比例，并且当 x = 3 时，y = 数模型，并解决实际问题.
4.
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；
(2) 当 x = 7 时，求 y 的值．
师生活动：学生独立完成计算，选学生板书.
知识点三：建立简单的反比例函数模型
例3 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中 设计意图：锻炼学生根据
司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增 实际问题中的条件建立反
加，视野变窄. 当车速为 50 km/h 时，视野为 80 比例函数模型的能力，渗
度，如果视野 f (度) 是车速 v (km/h) 的反比例函 透数形结合思想.
数，求 f 关于 v 的函数解析式，并计算当车速为
100 km/h 时，视野的度数.
师生活动：学生在教师的提示下分析解题思路，独
立完成计算.
例4 如图，已知菱形 ABCD 的面积为180平方厘
米，设它的两条对角线 AC，BD 的长分别为 x
三、当堂练
习 cm，y cm. 写出变量 y与 x 之间的关系式，并指
出它是什么函数.
设计意图：考查学生对反
比例函数概念的掌握.
设计意图：考查对反比例
师生活动：学生独立思考完成计算. 函数概念的掌握，锻炼抽
象能力.
三、当堂练习
1. 下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是 ( )A. y = - B. y = - 设计意图：考查学生用待
定系数法求解析式，以及
C. y = D. y = 1 - 利用该反比例函数求值的
能力.
2. 下列实例中，变量 x 和 y 成反比例函数关系的
设计意图：考查学生能根
是_____.
据实际问题中的条件建立
① x人共饮水10 kg，平均每人饮水 y kg；②底面
反比例函数模型，并解决
半径为 x m，高为 y m的圆柱形水桶的体积为10
实际问题的能力.
m3；③用铁丝做一个圆，铁丝的长为 x cm，做成
圆的半径为 y cm；④在水龙头前接一桶水，放水
的速度为 x L/s，接满一桶水的时间为 y s.
3. 已知变量 y 与 x 成反比例，且当 x = 3时，
y = －4.
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；
(2) 当 y = 6 时，求 x 的值.
4. 小明家离学校 1000 m，每天他往返于两地之
间，有时步行，有时骑车．假设小明每天上学时的
平均速度为 v (m/min)，所用的时间为 t (min)．
(1) 写出变量 v 和 t 之间的函数关系式；
(2) 小明星期二步行上学用了 25 min，星期三骑自
行车上学用了 8 min，那么他星期三上学时的平均
速度比星期二快多少？
26.1.1 反比例函数
一般地，形如 y = ， (k为常数，k ≠ 0) 的函数，叫做反比例函数，其中 x
是自变量，y 是函数.
板书设计
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
本课内容是继正比例函数、一次函数之后，二次函数学习之前的又一类
型函数，本节课主要通过丰富的生活事例，让学生归纳出反比例函数的概
教学反思
念，并进一步体会函数是刻画变量之间关系的数学模型，从中体会函数的模
型思想.26.1.2 反比例函数的图象和性质
第1课时 反比例函数的图象和性质
教学内容 第1课时 反比例函数的图象和性质 课时 1
1. 会用描点的方法画反比例函数的图象，让学生在数形结合的基础上进一步建立
几何直观，助力学生把握问题的本质.
核心素养目 2. 能够通过寻找共同性，简单的归纳进而发现结论，养成有条理的思维习
标 惯，发展推理意识.
3. 理解反比例函数图象的性质，学会用数学语言分析信息与数量关系，感悟数学
模型的普适性.
1.会用描点的方法画反比例函数的图象；
知识目标 2.理解反比例函数图象的性质.
1.会用描点的方法画反比例函数的图象；
教学重点
2.理解反比例函数图象的性质.
1.会用描点的方法画反比例函数的图象；
教学难点
2.理解反比例函数图象的性质.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 一、创设情境 导入新知
入
观看视频，思考问题.
设计意图：通过美丽的城
世界军人运动会上，我国军人代表雄姿英发！ 市灯光视频，吸引学生的
课堂注意力；利用跨学科
知识引入，感受数学在实
际生活和其他学科的广泛
应用，激发学习兴趣.
思考：回顾我们上一课的学习内容，你能写出 200
m 自由泳比赛中，游泳所用的时间 t (s) 和游泳速
度 v (m/s) 之间的数量关系吗？
试一试，你能在坐标轴中画出这个函数的图象吗？
二、探究新
知
二、探究新知
知识点一：反比例函数的图象和性质
合作探究
设计意图：回顾函数图象
的绘制步骤，锻炼学生的
例1：画出反比例函数 与 的图象.
作图能力，培养自主学习
习惯.
师生活动：教师引导学生回顾函数图象的画法，学
生独立完成作图.函数图像的作图步骤是怎么样的？
预设：列表→描点→连线.
提示：需要注意的是在反比例函数中自变量 x不能
为 0.
解：列表如下：
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐
标系内描绘出相应的点．
连线：用光滑的
曲线顺次连接各
点，即可得函数
与 的图象.
设计意图：培养学生的观
思考：观察这两
察能力和归纳总结能力，
个函数图象，回
发展推理能力.
答问题：
(1) 每个函数图象分别位于哪些象限？
(2) 在每一个象限内随着 x 的增大， y 如何变化？
你能由它们的解析式说明理由吗？
(3) 对于反比例函数 y = (k＞0)，考虑问题(1)
(2)，你能得出同样的结论吗？
师生活动：教师独立思考共同作答，教师总结归纳.
归纳
反比例函数 (k＞0) 的图象和性质：
●由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限它们
与 x 轴、y 轴都不相交；
●在每个象限内，y 随 x 的增大而减小. 设计意图：通过练习巩固
学生对k＞0时的反比例函
数图像性质的理解.
练习 1.反比例函数 的图象大致是 ( )设计意图：通过练习加深
对k＞0时的反比例函数图
像性质的记忆，锻炼应用
能力.
师生活动：学生独立思考，选一名学生回答，其他
同学判断正误.
例2 反比例函数 的图象上有两点 A (x，y)，
1 1
B (x，y)，且 A，B 均在该函数图象的第一象限部
2 2
分，若x＞x，则y 与y 的大小关系为 ( ) 设计意图：培养学生的观
1 2 1 2
察能力和归纳总结能力，
发展推理能力.
师生活动：教师引导学生分析解题思路如下，
分析：因为8＞0，且 A，B 两点均在该函数图象的
第一象限部分上，根据 x ＞x ，可知y ，y 的大小
1 2 1 2
关系.
学生独立思考共同作答.
观察与思考
当 k =－2，－4，－6 时，反比例函数y = 的图
象有哪些共同特征？
设计意图：通过练习巩固
学生对k＜0时的反比例函
数图像性质的理解.
师生活动：学生独立思考积极发言，教师选几名学
生回答问题，根据学生的回答完成总结.
设计意图：通过练习加深
对k＞0时的反比例函数图
归纳 像性质的记忆，锻炼应用
反比例函数 (k＜0) 的图象和性质： 能力.
●由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限它们
与 x 轴、y 轴都不相交；
●在每个象限内，y 随 x 的增大而增大.
设计意图：培养学生的观
察能力和归纳总结能力，
发展推理能力.
练习 2.点(2，y)和(3，y)在函数 的图象上，
1 2
则 y y (填“>”“<”或“=”).
1 2
四、当堂练习
师生活动：学生独立思考，选一名学生回答，其他
同学判断正误.
设计意图：考查学生对反
例3 已知反比例函数 ，在每一个 比例函数图象的性质的掌
象限内，y 随 x 的增大而增大，求 a 的值. 握.
师生活动：教师引导学生分析解题思路，根据反比
例函数的性质判断k的符号，学生独立完成计算.
设计意图：考查对反比例
函数图象的性质的掌握，
练习 已知反比例函数 在每一个象 渗透数形结合思想.
限内，y 随着 x 的增大而减小，求 m 的值．
师生活动：学生独立思考完成计算，选一名学生板
书，教师巡视.
设计意图：考查学生用反
比例函数图象的性质解未
三、当堂练习
知数的能力.
1. 反比例函数 的图象在 ( )
A. 第一、第二象限 B. 第一、第三象限 设计意图：考查学生用反
比例函数图象的性质解未
C. 第二、第三象限 D. 第二、第四象限
知数的能力.
2. 在同一直角坐标系中，函数 y = 2x 与
的图象大致是 ( )
3. 已知反比例函数 的图象在第一、三象
限内，则 m 的取值范围是________.
4. 已知反比例函数 y = mxm²－5，它的两个分支分
别在第一、第三象限，求 m 的值.
第1课时 反比例函数的图象和性质
归纳
反比例函数 (k＞0) 的图象和性质：
●由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限它们与 x 轴、y 轴都不相交；
●在每个象限内，y 随 x 的增大而减小.
板书设计
反比例函数 (k＜0) 的图象和性质：
●由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限它们与 x 轴、y 轴都不相交；
●在每个象限内，y 随 x 的增大而增大.教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
本节课是在学习了一次函数的图象、性质和反比例函数概念的基础上，并
教学反思 掌握了研究函数的一般方法后，来研究反比例函数的图象和性质。反比例函
数是初中阶段研究的第二个具体函数，也是学生学习的第一种非线型函数。
26.1.2 反比例函数的图象和性质
第2课时 反比例函数的图象和性质的综合运用
教学内容 第2课时 反比例函数的图象和性质的综合运用 课时 1
1. 通过合作探究，使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质，发
展几何直观.
核心素养目 2. 领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方
标 法，强化数形结合思想.
3. 培养学生用数学语言讨论问题，阐述数据信息与分析思路，通过数据信息追寻
其中的意义.
1. 使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质；
2. 深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方
知识目标
法；
3. 探索反比例函数和一次函数，几何图形以及图形面积的综合应用.
1. 使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质；
教学重点
2. 领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法.
教学难点 理解和掌握反比例函数及其图象与性质.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 一、复习回顾 导入新知
入
复习引入
问题1反比例函数的图象是什么？
问题2：反比例函数的性质与 k 有怎样的关系？ 设计意图：通过复习回
顾，巩固学生对反比例函
师生活动：学生独立思考，共同回答. 数的图像和性质的掌握，
为后面学习它的综合运用
预设1：双曲线. 做准备.
预设2：当 k > 0 时，两条曲线分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；
当 k < 0 时，两条曲线分别位于第二、四象
限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大.
二、探究新 二、探究新知
知 知识点一：用待定系数法求反比例函数的解析式
合作探究
例1：已知反比例函数的图象经过点 A (2，6).
(1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大
如何变化？
(2) 点 B (3，4)，C ( ， )，D (2，5) 是否
在这个函数的图象上？
设计意图：通过前面的学
师生活动：学生回顾函数图象的性质，共同回答问
习，学生已经掌握待定系
题(1)；教师引导学生思考待定系数法的解题步骤，
数法求解析式，这里则是
学生独立完成计算.
锻炼学生的运算能力和应
用能力，发展迁移思想.
解：(1) 因为反比例函数图象经过的点 A (2，6) 在
第一象限，所以这个函数的图象位于第一、三象
限；
在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.
(2) 设这个反比例函数的解析式为 ，因为点A
(2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k =12.所
以该反比例函数的解析式为 .
因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的
坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，
点 D 不在这个函数的图象上.
练习 1.已知反比例函数 的图象经过点 设计意图：通过练习巩固
用待定系数法求反比例函
A (2，3)．
数解析式的解题步骤.
(1) 求这个函数的解析式；
(2) 判断点 B (－1，6)，C (3，2) 是否在这个函数
的图象上，并说明理由；
(3) 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围．
师生活动：学生独立思考完成练习，选一名学生板
书，教师巡视.
知识点二：反比例函数图象和性质的综合
例2 如图，是反比例函数 图象的一支. 根
据图象，回答下列问题：
设计意图：通过回顾，培
(1) 图象的另一支位于哪个象限？m 的取值范围是什么？ 养学生综合应用反比例函
(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x ，y) 数的图象和性质解决问题
1 1
和点 B (x，y). 如果 x＞x，那么 y 和 y 有怎 的能力，锻炼综合运用能
2 2 1 2 1 2
样的大小关系？ 力.
师生活动：学生独立思考，选一名学生回答问题
(1)，其他同学判断正误；在教师的引导下共同回答
问题(2).
设计意图：通过练习巩固
反比例函数图象和性质的
练习 2.如图所示是反比例函数 的图象，则 综合应用，培养有逻辑有
k 的值可以是 ( ) 条理的解题思路.
A．－1 B．3
C． 1 D．0
师生活动：选一名学生回
答问题并说明解题思路，
其他同学判断补充.
知识点三：反比例函数解析式中 k 的几何意义
设计意图：锻炼解题能
合作探究
力，培养自主学习习惯.
1. 在反比例函数 的图象上分别取点 P，Q
向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为 S ，S 的
1 2
矩形，填写下页表格：
2. 若在反比例函数 中也用同样的方法分别取
P，Q 两点，填写表格：
设计意图：培养学生的观
察能力和归纳总结能力，师生活动：学生独立思考，共同作答完成填空. 发展推理能力.
猜想
由前面的探究过程，可以提出什么样的猜想？
师生活动：学生独立思考、积极发言，共同作答，
教师顺势总结：
若点 P 是反比例函数 图象上的任意一点，过
点 P 作 PA⊥x 轴于点 A，PB⊥y 轴于点 B，则矩
形 AOBP 的面积与 k 的关系是 设计意图：锻炼学生的证
明能力，培养讲道理、有
S 矩形AOBP = |k|. 条理的数学思维.
追问：你能证明这个猜想吗？请就 k < 0 的情况给
出证明.
师生活动：学生独立思考完成证明，选一名学生板
书，教师巡视.
证明：设点 P 的坐标为 (a，b).
∵点 P (a，b) 在函数 的图象上，
∴ ，即 ab = k.
若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0，
∴ S = PB·PA = －a·b = －ab = －k；
矩形 AOBP
若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0，
∴ S = PB·PA = a· (－b) = －ab = －k.
矩形 AOBP
综上，S = |k|.
矩形 AOBP
归纳
对于反比例函数 ，
点 Q 是其图象上的任意一点，过点 Q 作 QA⊥y
轴于点 A，QB⊥x 轴于点 B，则矩形 AOBQ 的面积
与 k 的关系是 S = |k|.
矩形AOBQ
推论：△QAO 和 △QBO 的面积与 k 的关系是
S = S = .
△QAO △QBO
设计意图：考查学生对反
比例函数解析式中 k 的几
何意义的掌握.
做一做
如图，在函数 (x＞0)的图象上有三点 A，B，
C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点
所作的两条垂线与 x 轴、 y 轴围成的矩形的面积
分别为 S ，S ，S ，则
A B C
A. S >S >S B. S
