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26.1 反比例函数
26.1.1 反比例函数
教学内容 26.1.1 反比例函数 课时 1
1. 感悟实际生活中的数量关系，形成数感，能用符号表示数量关系，培养符
号意识，提升抽象能力.
核心素养目 2. 能判断一个给定的函数是否为反比例函数，养成有条理的思维习惯，会用
标 待定系数法求解析式，通过运算促进数学推理能力.
3. 理解与运用反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件建立反比例函数模
型，增强应用意识.
1.理解反比例函数的概念；
知识目标 2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求解析式；
3.能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型.
1.能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求解析式；
教学重点
2.能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型.
教学难点 理解反比例函数的概念.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 一、创设情境 导入新知
入
观看视频，思考问题.
设计意图：通过美丽的城
市灯光视频，吸引学生的
课堂注意力；利用跨学科
知识引入，感受数学在实
际生活和其他学科的广泛
应用，激发学习兴趣.
思考：生活中我们常常通过控制电阻的变化来实现
舞台灯光的效果. 在电压 U 一定的情况下，当 R
变大时，电流 I 变小，灯光就变暗；相反，当 R
变小时，电流 I 变大，灯光变亮. 你能写出这些量
之间的关系式吗?
二、探究新
知
二、探究新知
知识点一：反比例函数的概念
合作探究 设计意图：回顾函数解析
式的求法，锻炼学生的实
探究1：下列问题中，变量间具有函数关系吗？如 践能力和抽象能力，培养
果有，请写出它们的解析式. 自主学习习惯.
(1) 京沪线铁路全程为1463 km，某次列车的平均速
度v (单位：km/h) 随此次列车的全程运行时间 t
(单位：h) 的变化而变化；(2) 某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2 的矩形
草坪，草坪的长 y (单位：m) 随宽 x (单位：m)的
变化而变化；
(3) 已知北京市的总面积为1.68×104 km2，人均占
有面积 S (km2/人) 随全市总人口 n (单位：人) 的
变化而变化.
师生活动：学生独立思考列出解析式，教师巡视，
选学生作答，其他同学判断正误.
(1) v = ；(2) y = ；(3) S =
设计意图：培养学生的观
问题：观察以上三个解析式，你觉得它们有什么共 察能力和归纳总结能力，
同特点？ 发展推理能力.
师生活动：学生独立思考共同作答，教师顺势总结.
都具有 分式 的形式，其中 分 子 是非零常数．
定义总结
反比例函数
一般地，形如 y = ， (k为常数，k ≠ 0) 的函
数，叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数.
思考：反比例函数除了 y = (k ≠ 0) 的自变量 x
设计意图：培养自主学习
的取值范围是什么？ 和分析的能力，加深对反
比例函数取值范围的理解.
师生活动：学生独立思考积极发言，教师补充总结.
预设1：因为 x 作为分母，不能等于零，所以自变
量 x 的取值范围是不等于0的一切实数.
预设2：但实际问题中，应根据具体情况来确定反
比例函数自变量的取值范围.
定义总结
上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数 (x
和 y)，并且含有未知数的项的次数都是 1， 像这
样的方程叫做二元一次方程. 设计意图：发展发散性思
维，提高解题技巧.
想一想：
反比例函数除了可以用 y = (k ≠ 0) 的形式表
示，还有没有其他表达方式？
师生活动：学生独立思考，教师总结.
反比例函数的三种表达方式(注意k≠0)：设计意图：通过练习巩固
y = ， y = kx-1 ，xy = k . 对反比例函数概念的理解.
练习 下列函数是不是反比例函数？若是，请指出 k
的值.
设计意图：通过例题，进
一步掌握反比例函数概
念，锻炼应用能力，提高
师生活动：学生独立思考，选一名学生回答，其他
解题技巧.
同学判断正误.
例1 已知函数 是反比例函
数，求 m 的值.
师生活动：教师引导学生分析解题思路，
设计意图：锻炼学生利用
学生独立完成计算，教师巡视.
反比例函数的概念求未知
数的能力.
方法总结
方法总结：已知某个函数为反比例函数，则自变量
的次数为－1，且系数不等于0.
练习
设计意图：通过例题，让
学生在练习中学习用待定
系数法求解析式.
知识点二：确定反比例函数的解析式
例2 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x = 2
时，y = 6.
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；
(2) 当 x = 4 时，求 y 的值.
师生活动：学生在教师的提示下分析解题思路，独立完成计算.
提示：依题意设 . 把 x = 2 和 y = 6 代入
上式，就可求出常数 k 的值. 这就是待定系数法.
设计意图：巩固用待定系
归纳： 数法求解析式的步骤，锻
用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 炼运用能力.
①设出含有待定系数的反比例函数解析式；
②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析
式，得到关于待定系数的方程；
③解方程，求出待定系数；
④写出反比例函数解析式.
设计意图：锻炼学生的抽
象能力，学习根据实际问
练习 题中的条件建立反比例函
已知 y 与 x + 1 成反比例，并且当 x = 3 时，y = 数模型，并解决实际问题.
4.
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；
(2) 当 x = 7 时，求 y 的值．
师生活动：学生独立完成计算，选学生板书.
知识点三：建立简单的反比例函数模型
例3 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中 设计意图：锻炼学生根据
司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增 实际问题中的条件建立反
加，视野变窄. 当车速为 50 km/h 时，视野为 80 比例函数模型的能力，渗
度，如果视野 f (度) 是车速 v (km/h) 的反比例函 透数形结合思想.
数，求 f 关于 v 的函数解析式，并计算当车速为
100 km/h 时，视野的度数.
师生活动：学生在教师的提示下分析解题思路，独
立完成计算.
例4 如图，已知菱形 ABCD 的面积为180平方厘
米，设它的两条对角线 AC，BD 的长分别为 x
三、当堂练
习 cm，y cm. 写出变量 y与 x 之间的关系式，并指
出它是什么函数.
设计意图：考查学生对反
比例函数概念的掌握.
设计意图：考查对反比例
师生活动：学生独立思考完成计算. 函数概念的掌握，锻炼抽
象能力.
三、当堂练习
1. 下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是 ( )A. y = - B. y = - 设计意图：考查学生用待
定系数法求解析式，以及
C. y = D. y = 1 - 利用该反比例函数求值的
能力.
2. 下列实例中，变量 x 和 y 成反比例函数关系的
设计意图：考查学生能根
是_____.
据实际问题中的条件建立
① x人共饮水10 kg，平均每人饮水 y kg；②底面
反比例函数模型，并解决
半径为 x m，高为 y m的圆柱形水桶的体积为10
实际问题的能力.
m3；③用铁丝做一个圆，铁丝的长为 x cm，做成
圆的半径为 y cm；④在水龙头前接一桶水，放水
的速度为 x L/s，接满一桶水的时间为 y s.
3. 已知变量 y 与 x 成反比例，且当 x = 3时，
y = －4.
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；
(2) 当 y = 6 时，求 x 的值.
4. 小明家离学校 1000 m，每天他往返于两地之
间，有时步行，有时骑车．假设小明每天上学时的
平均速度为 v (m/min)，所用的时间为 t (min)．
(1) 写出变量 v 和 t 之间的函数关系式；
(2) 小明星期二步行上学用了 25 min，星期三骑自
行车上学用了 8 min，那么他星期三上学时的平均
速度比星期二快多少？
26.1.1 反比例函数
一般地，形如 y = ， (k为常数，k ≠ 0) 的函数，叫做反比例函数，其中 x
是自变量，y 是函数.
板书设计
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
本课内容是继正比例函数、一次函数之后，二次函数学习之前的又一类
型函数，本节课主要通过丰富的生活事例，让学生归纳出反比例函数的概
教学反思
念，并进一步体会函数是刻画变量之间关系的数学模型，从中体会函数的模
型思想.26.1.2 反比例函数的图象和性质
第1课时 反比例函数的图象和性质
教学内容 第1课时 反比例函数的图象和性质 课时 1
1. 会用描点的方法画反比例函数的图象，让学生在数形结合的基础上进一步建立
几何直观，助力学生把握问题的本质.
核心素养目 2. 能够通过寻找共同性，简单的归纳进而发现结论，养成有条理的思维习
标 惯，发展推理意识.
3. 理解反比例函数图象的性质，学会用数学语言分析信息与数量关系，感悟数学
模型的普适性.
1.会用描点的方法画反比例函数的图象；
知识目标 2.理解反比例函数图象的性质.
1.会用描点的方法画反比例函数的图象；
教学重点
2.理解反比例函数图象的性质.
1.会用描点的方法画反比例函数的图象；
教学难点
2.理解反比例函数图象的性质.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 一、创设情境 导入新知
入
观看视频，思考问题.
设计意图：通过美丽的城
世界军人运动会上，我国军人代表雄姿英发！ 市灯光视频，吸引学生的
课堂注意力；利用跨学科
知识引入，感受数学在实
际生活和其他学科的广泛
应用，激发学习兴趣.
思考：回顾我们上一课的学习内容，你能写出 200
m 自由泳比赛中，游泳所用的时间 t (s) 和游泳速
度 v (m/s) 之间的数量关系吗？
试一试，你能在坐标轴中画出这个函数的图象吗？
二、探究新
知
二、探究新知
知识点一：反比例函数的图象和性质
合作探究
设计意图：回顾函数图象
的绘制步骤，锻炼学生的
例1：画出反比例函数 与 的图象.
作图能力，培养自主学习
习惯.
师生活动：教师引导学生回顾函数图象的画法，学
生独立完成作图.函数图像的作图步骤是怎么样的？
预设：列表→描点→连线.
提示：需要注意的是在反比例函数中自变量 x不能
为 0.
解：列表如下：
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐
标系内描绘出相应的点．
连线：用光滑的
曲线顺次连接各
点，即可得函数
与 的图象.
设计意图：培养学生的观
思考：观察这两
察能力和归纳总结能力，
个函数图象，回
发展推理能力.
答问题：
(1) 每个函数图象分别位于哪些象限？
(2) 在每一个象限内随着 x 的增大， y 如何变化？
你能由它们的解析式说明理由吗？
(3) 对于反比例函数 y = (k＞0)，考虑问题(1)
(2)，你能得出同样的结论吗？
师生活动：教师独立思考共同作答，教师总结归纳.
归纳
反比例函数 (k＞0) 的图象和性质：
●由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限它们
与 x 轴、y 轴都不相交；
●在每个象限内，y 随 x 的增大而减小. 设计意图：通过练习巩固
学生对k＞0时的反比例函
数图像性质的理解.
练习 1.反比例函数 的图象大致是 ( )设计意图：通过练习加深
对k＞0时的反比例函数图
像性质的记忆，锻炼应用
能力.
师生活动：学生独立思考，选一名学生回答，其他
同学判断正误.
例2 反比例函数 的图象上有两点 A (x，y)，
1 1
B (x，y)，且 A，B 均在该函数图象的第一象限部
2 2
分，若x＞x，则y 与y 的大小关系为 ( ) 设计意图：培养学生的观
1 2 1 2
察能力和归纳总结能力，
发展推理能力.
师生活动：教师引导学生分析解题思路如下，
分析：因为8＞0，且 A，B 两点均在该函数图象的
第一象限部分上，根据 x ＞x ，可知y ，y 的大小
1 2 1 2
关系.
学生独立思考共同作答.
观察与思考
当 k =－2，－4，－6 时，反比例函数y = 的图
象有哪些共同特征？
设计意图：通过练习巩固
学生对k＜0时的反比例函
数图像性质的理解.
师生活动：学生独立思考积极发言，教师选几名学
生回答问题，根据学生的回答完成总结.
设计意图：通过练习加深
对k＞0时的反比例函数图
归纳 像性质的记忆，锻炼应用
反比例函数 (k＜0) 的图象和性质： 能力.
●由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限它们
与 x 轴、y 轴都不相交；
●在每个象限内，y 随 x 的增大而增大.
设计意图：培养学生的观
察能力和归纳总结能力，
发展推理能力.
练习 2.点(2，y)和(3，y)在函数 的图象上，
1 2
则 y y (填“>”“<”或“=”).
1 2
四、当堂练习
师生活动：学生独立思考，选一名学生回答，其他
同学判断正误.
设计意图：考查学生对反
例3 已知反比例函数 ，在每一个 比例函数图象的性质的掌
象限内，y 随 x 的增大而增大，求 a 的值. 握.
师生活动：教师引导学生分析解题思路，根据反比
例函数的性质判断k的符号，学生独立完成计算.
设计意图：考查对反比例
函数图象的性质的掌握，
练习 已知反比例函数 在每一个象 渗透数形结合思想.
限内，y 随着 x 的增大而减小，求 m 的值．
师生活动：学生独立思考完成计算，选一名学生板
书，教师巡视.
设计意图：考查学生用反
比例函数图象的性质解未
三、当堂练习
知数的能力.
1. 反比例函数 的图象在 ( )
A. 第一、第二象限 B. 第一、第三象限 设计意图：考查学生用反
比例函数图象的性质解未
C. 第二、第三象限 D. 第二、第四象限
知数的能力.
2. 在同一直角坐标系中，函数 y = 2x 与
的图象大致是 ( )
3. 已知反比例函数 的图象在第一、三象
限内，则 m 的取值范围是________.
4. 已知反比例函数 y = mxm²－5，它的两个分支分
别在第一、第三象限，求 m 的值.
第1课时 反比例函数的图象和性质
归纳
反比例函数 (k＞0) 的图象和性质：
●由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限它们与 x 轴、y 轴都不相交；
●在每个象限内，y 随 x 的增大而减小.
板书设计
反比例函数 (k＜0) 的图象和性质：
●由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限它们与 x 轴、y 轴都不相交；
●在每个象限内，y 随 x 的增大而增大.教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
本节课是在学习了一次函数的图象、性质和反比例函数概念的基础上，并
教学反思 掌握了研究函数的一般方法后，来研究反比例函数的图象和性质。反比例函
数是初中阶段研究的第二个具体函数，也是学生学习的第一种非线型函数。
26.1.2 反比例函数的图象和性质
第2课时 反比例函数的图象和性质的综合运用
教学内容 第2课时 反比例函数的图象和性质的综合运用 课时 1
1. 通过合作探究，使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质，发
展几何直观.
核心素养目 2. 领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方
标 法，强化数形结合思想.
3. 培养学生用数学语言讨论问题，阐述数据信息与分析思路，通过数据信息追寻
其中的意义.
1. 使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质；
2. 深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方
知识目标
法；
3. 探索反比例函数和一次函数，几何图形以及图形面积的综合应用.
1. 使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质；
教学重点
2. 领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法.
教学难点 理解和掌握反比例函数及其图象与性质.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 一、复习回顾 导入新知
入
复习引入
问题1反比例函数的图象是什么？
问题2：反比例函数的性质与 k 有怎样的关系？ 设计意图：通过复习回
顾，巩固学生对反比例函
师生活动：学生独立思考，共同回答. 数的图像和性质的掌握，
为后面学习它的综合运用
预设1：双曲线. 做准备.
预设2：当 k > 0 时，两条曲线分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；
当 k < 0 时，两条曲线分别位于第二、四象
限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大.
二、探究新 二、探究新知
知 知识点一：用待定系数法求反比例函数的解析式
合作探究
例1：已知反比例函数的图象经过点 A (2，6).
(1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大
如何变化？
(2) 点 B (3，4)，C ( ， )，D (2，5) 是否
在这个函数的图象上？
设计意图：通过前面的学
师生活动：学生回顾函数图象的性质，共同回答问
习，学生已经掌握待定系
题(1)；教师引导学生思考待定系数法的解题步骤，
数法求解析式，这里则是
学生独立完成计算.
锻炼学生的运算能力和应
用能力，发展迁移思想.
解：(1) 因为反比例函数图象经过的点 A (2，6) 在
第一象限，所以这个函数的图象位于第一、三象
限；
在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.
(2) 设这个反比例函数的解析式为 ，因为点A
(2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k =12.所
以该反比例函数的解析式为 .
因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的
坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，
点 D 不在这个函数的图象上.
练习 1.已知反比例函数 的图象经过点 设计意图：通过练习巩固
用待定系数法求反比例函
A (2，3)．
数解析式的解题步骤.
(1) 求这个函数的解析式；
(2) 判断点 B (－1，6)，C (3，2) 是否在这个函数
的图象上，并说明理由；
(3) 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围．
师生活动：学生独立思考完成练习，选一名学生板
书，教师巡视.
知识点二：反比例函数图象和性质的综合
例2 如图，是反比例函数 图象的一支. 根
据图象，回答下列问题：
设计意图：通过回顾，培
(1) 图象的另一支位于哪个象限？m 的取值范围是什么？ 养学生综合应用反比例函
(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x ，y) 数的图象和性质解决问题
1 1
和点 B (x，y). 如果 x＞x，那么 y 和 y 有怎 的能力，锻炼综合运用能
2 2 1 2 1 2
样的大小关系？ 力.
师生活动：学生独立思考，选一名学生回答问题
(1)，其他同学判断正误；在教师的引导下共同回答
问题(2).
设计意图：通过练习巩固
反比例函数图象和性质的
练习 2.如图所示是反比例函数 的图象，则 综合应用，培养有逻辑有
k 的值可以是 ( ) 条理的解题思路.
A．－1 B．3
C． 1 D．0
师生活动：选一名学生回
答问题并说明解题思路，
其他同学判断补充.
知识点三：反比例函数解析式中 k 的几何意义
设计意图：锻炼解题能
合作探究
力，培养自主学习习惯.
1. 在反比例函数 的图象上分别取点 P，Q
向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为 S ，S 的
1 2
矩形，填写下页表格：
2. 若在反比例函数 中也用同样的方法分别取
P，Q 两点，填写表格：
设计意图：培养学生的观
察能力和归纳总结能力，师生活动：学生独立思考，共同作答完成填空. 发展推理能力.
猜想
由前面的探究过程，可以提出什么样的猜想？
师生活动：学生独立思考、积极发言，共同作答，
教师顺势总结：
若点 P 是反比例函数 图象上的任意一点，过
点 P 作 PA⊥x 轴于点 A，PB⊥y 轴于点 B，则矩
形 AOBP 的面积与 k 的关系是 设计意图：锻炼学生的证
明能力，培养讲道理、有
S 矩形AOBP = |k|. 条理的数学思维.
追问：你能证明这个猜想吗？请就 k < 0 的情况给
出证明.
师生活动：学生独立思考完成证明，选一名学生板
书，教师巡视.
证明：设点 P 的坐标为 (a，b).
∵点 P (a，b) 在函数 的图象上，
∴ ，即 ab = k.
若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0，
∴ S = PB·PA = －a·b = －ab = －k；
矩形 AOBP
若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0，
∴ S = PB·PA = a· (－b) = －ab = －k.
矩形 AOBP
综上，S = |k|.
矩形 AOBP
归纳
对于反比例函数 ，
点 Q 是其图象上的任意一点，过点 Q 作 QA⊥y
轴于点 A，QB⊥x 轴于点 B，则矩形 AOBQ 的面积
与 k 的关系是 S = |k|.
矩形AOBQ
推论：△QAO 和 △QBO 的面积与 k 的关系是
S = S = .
△QAO △QBO
设计意图：考查学生对反
比例函数解析式中 k 的几
何意义的掌握.
做一做
如图，在函数 (x＞0)的图象上有三点 A，B，
C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点
所作的两条垂线与 x 轴、 y 轴围成的矩形的面积
分别为 S ，S ，S ，则
A B C
A. S >S >S B. S <S <S
A B C A B C
C. S =S =S D. S <S <S
A B C A C B师生活动：学生独立思考，选一名学生回答，其他
同学判断正误. 设计意图：巩固对反比例
函数解析式中 k 的几何意
义的理解，锻炼运用能力.
例3 如图，点A在反比例函数 的图象上，
AC⊥ x 轴于点 C，且△AOC 的面积为 2，求该反
比例函数的解析式．
设计意图：锻炼运用反比
例函数解析式中 k 的几何
师生活动：学生独立思考，选一名学生回答，其他
意义解题的能力，渗透数
同学判断正误.
形结合思想.
练习3. 如图，过反比例函数 图象上的一点
P，作 PA⊥x 轴于A. 若△POA 的面积为 6，则 k
= .
师生活动：学生独立思考并计算，教师巡视；选一
设计意图：强化数形结合
名学生回答并说明解题思路.
思想，培养学生用数学语
言讨论问题，阐述数据信
息与分析思路.
知识点四：反比例函数与一次函数的综合
合作探究
3.在同一坐标系中，函数 和 y = k x + b
2
的图象大致如下，则 k 、k 、b各应满足什么条
1 2
件？
设计意图：锻炼学生综合
应用反比例函数与一次函
数的函数图像及性质解决
问题的能力.
师生活动：学生独立思考后跟随教师的引导，分析
不同图象下k、k、b各应满足的条件.
1 2例4 函数 y = kx－k 与 ( k≠0) 的图象大致
是 ( )
设计意图：进一步掌握综
合应用反比例函数与一次
函数的函数图像及性质解
决问题的解题方法.
师生活动：教师引导学生分析解题思路——由于两
个函数解析式都含有相同的系数 k，可对 k 的正负
性进行分类讨论，得出符合题意的答案，师生共同
解决问题.
五、当堂练
习
练习 4.在同一直角坐标系中，函数 与 y =
ax+1 (a≠0) 的图象可能是 ( )
设计意图：考查学生对综
合运用反比例函数的图象
和性质解题的能力.
师生活动：学生独立思考，共同作答.
设计意图：考查对用待定
系数法求反比例函数解析
三、当堂练习
式的掌握.
1. 如图，P是反比例函数 的图象上一点，过
点 P 作 PB⊥x 轴于点 B，连接 OP，且△OBP 的面
积为 2，则 k 的值为 ( )
设计意图：考查对反比例
函数和一次函数的综合应
A. 4 B. 2 用.
C. －2 D.不确定
2. 反比例函数 的图象与一次函数 y = 2x +1
的图象的一个交点是 (1，k)，则反比例函数的解析
式是_______．
设计意图：考查学生用反
比例函数在几何图形以及
3. 如图，直线 y = kx + b 与反比例函数
1 图形面积中的综合应用.
(x＞0)交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则
不等式 kx +b ＞ 的解集是_________．
14. 如图，反比例函数 与一次函数 y =－x +
2 的图象交于 A，B 两点.
(1) 求 A，B 两点的坐标；
(2) 求△AOB 的面积.
第2课时 反比例函数的图象和性质的综合应用
板书设计
无
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
本节课主要是要注重提高学生分析问题与解决问题的能力．数形结合思想是数学
教学反思 学习的一个重要思想，也是我们学习数学的一个突破口．在教学中要加强这方面
的指导，使学生牢固掌握基本知识，提升基本技能，提高数学解题能力.
26.2 实际问题与反比例函数
第1课时 实际问题中的反比例函数
教学内容 第1课时 实际问题中的反比例函数 课时 1
1. 让学生在实际问题发现隐含的数量关系，提升抽象能力，学会作实际问题
中的函数图象，理清思维路径.
核心素养目 2. 分析实际问题中变量之间的关系，选择合理的运算策略，提高运用代数方
标 法解决问题的能力，促进数学推理能力的发展.
3. 建立反比例函数模型解决实际问题，体会数学与观实生活的紧密联系，增强应
用意识与模型意识.
1.经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题；
知识目标 2.体会数学与观实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题
的能力.
教学重点 经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题.
体会数学与观实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的
教学难点
能力.
教学准备 课件教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 一、创设情境 导入新知
入
请欣赏成都拉面小哥的“魔性”舞姿.
设计意图：通过趣味的视
频，吸引学生的课堂注意
力；在学生的积极发言
中，回顾求反比例函数解
析式，为后面的学习做准
备.
拉面小哥舞姿妖娆，手艺更是精湛.假设面条粗细(横
截面积)均匀，如果他要把体积为 15 cm3 的面团做
成拉面，那么你能写出面条的总长度 y (单位：cm)
与面条粗细 S (单位：cm2) 的函数关系式吗？
师生活动：学生独立思考，积极发言吗，学一名学
生作答，其他同学判断正误.
预设： (S＞0)
设计意图：感受反比例函
数在实际生活中的应用.
你还能举出我们在日常生活、生产或学习中具有反
二、探究新
比例函数关系的量的实例吗？
知
二、探究新知
知识点：实际问题与反比例函数
设计意图：通过例题，回
例1市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的
顾反比例函数解析式的求
圆柱形煤气储存室.
法，锻炼学生的抽象能力
(1) 储存室的底面积 S (单位：m2) 与其深度 d (单
和运算能力.
位：m)有怎样的函数关系?
(2) 公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施
工队施工时应该向下掘进多深?
(3) 当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下15 m 时，
公司临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m. 相
应地，储存室的底面积应改为多少(结果保留小数点
后两位)?
师生活动：学生独立思考共同回答问题(1)；后独立
完成问题(2)、(3)，选一名学生板书，教师巡视.
设计意图：考查学生对观
察总结能力，提高综合运
用能力.
想一想 第 (2) 问和第 (3) 问与过去所学的解分式方
程和求代数式的值的问题有何联系？
师生活动：学生独立思考，选一名学生回答问题，
其他同学判断正误；预设：第 (2) 问实际上是已知函数 S 的值，求自
变量 d 的取值，第 (3) 问则是与第 (2) 问相反．
设计意图：考查学生对反
练习1. 矩形面积为 6，它的长 y 与宽 x 之间的函数 比例函数图象的几何意义
关系用图象可表示为 ( ) 的掌握，同时引导学生关
注实际问题的条件限制.
设计意图：巩固运用反比
例函数的解析式解决实际
师生活动：学生在教师的引导下分析解题思路——
问题的方法.
xy = 6，且 x，y 均大于 0，然后共同作答.
2. 如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为 1
升(1升＝1立方分米)的圆锥形漏斗．
(1) 漏斗口的面积 S (单位：dm2)与漏斗的深 d (单
位：dm) 有怎样的函数关系?
(2) 如果漏斗的深为1 dm，那么漏斗口的面积为多
少 dm2？
(3) 如果漏斗口的面积为 60 cm2，则漏斗的深为多
少?
设计意图：锻炼抽象能力
师生活动：学生独立思考共同回答问题(1)；后独立 能力，培养模型意识和自
主学习能力.
完成问题(2)、(3)，选一名学生板书，教师巡视.
例2 码头工人每天往一艘轮船上装载 30 吨货物，
装载完毕恰好用了 8 天时间.
(1) 轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度 v
(单位：吨/天)与卸货天数 t 之间有怎样的函数关系?
(2) 由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过 5
天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨?
师生活动：教师引导学生分析解题思路，思考数量
关系——提示：根据平均装货速度×装货天数=货物
的总量，可以求出轮船装载货物的总量；再根据平
均卸货速度 = 货物的总量÷卸货天数，得到 v 关于
t 的函数解析式.
学生独立思考完成证明，选一名学生板书，教师巡
视.
设计意图：培养抽象实际
方法总结 问题建立反比例函数模型
在函数相关的实际问题中，若要求“至多”、“至 进行计算的能力.
少”，可以利用函数的增减性来解决 .练习 某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中
心，这样必须把 1200 立方米的生活垃圾运走．
(1) 假如每天能运 x 立方米，所需时间为 y 天，写
出 y与 x 之间的函数关系式；
(2) 若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样
的拖拉机要用多少天才能运完？
(3) 在 (2) 的情况下，运了 8 天后，剩下的任务要
设计意图：进一步掌握抽
在不超过 6 天的时间内完成，那么至少需要增加多
象实际问题建立反比例函
少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？
数模型的方法.
师生活动：学生独立思考完成计算，选一名学生板
书，教师巡视.
例3 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 80千
六、当堂练
米/时的平均速度用 6 小时达到乙地.
习
(1) 甲、乙两地相距多少千米？
(2) 当他按原路匀速返回时，汽车的速度 v 与时间 t
有怎样的函数关系？
设计意图：考查学生对反
师生活动：学生独立思考共同解答问题.
比例函数图象的几何意义
的掌握，以及学生能否关
注实际问题的条件限制.
三、当堂练习
1. 面积为 2 的直角三角形一直角边长为 x，另一直
角边长为 y，则 y 与 x 的变化规律用图象可大致表
示为 ( )
设计意图：考查抽象实际
问题建立反比例函数模型
进行计算的能力.
设计意图：考查抽象实际
问题建立反比例函数模型
进行计算的能力.
2. 体积为 20 cm3 的滴胶做成圆柱体模型，圆柱的高
度 y (单位：cm) 与底面积 S (单位：cm2)的函数关
系为 ，若要使做出来的圆柱体粗1 cm2，
则圆柱的高度是 cm.
设计意图：考查抽象实际
3. A、B两市相距720千米，一火车从A市去B市. 问题建立反比例函数模
(1) 火车的速度 v (km/h) 和行驶的时间 t (h)之间 型，以及综合运用反比例
的函数关系是__________． 函数的图象和性质解题的
能力.
(2) 若到达目的地后，按原路匀速返回，并要求在
3小时内回到A城，则返回的速度不能低于
__________．
4. 在某村河治理工程施工过程中，某工程队接受一
项开挖水渠的工程，所需天数 y (天) 与每天完成的工程量 x (m) 的函数关系图象如图所示.
(1) 请根据题意，求 y 与 x 之间的函数解析式；
(2) 若该工程队有 2 台挖掘机，每台挖掘机每天能
够开挖水渠 15 m，问该工程队需用多少天才能完成
此项任务？
第1课时 实际问题中的反比例函数
板书设计
在函数相关的实际问题中，若要求“至多”、“至少”，可以利用函数的增减
性来解决.
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
本节课是用函数的观点处理实际问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，
并进一步明确数学问题．将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新
教学反思
解释“这是什么”，使学生逐步形成考察实际问题的能力．在解决问题时，应充
分利用函数的图象，渗透数形结合的思想.
26.2 实际问题与反比例函数
第2课时 其他学科中的反比例函数
教学内容 第2课时 其他学科中的反比例函数 课时 1
1. 通过理解生活中的数学原理，通过数学的眼光从物理等其他学科问题中抽
象出研究对象及其属性，建构反比例函数模型，感悟数学的价值.
核心素养目 2. 从实际问题中寻找变量之间的关系，通过数学思维解释客观事物的本质属
标 性，建立数学对象之间、数学与现实世界的逻辑联系.
3. 利用所学知识分析物理等其他学科的问题，通过数学语言建立函数模型解决实
际问题，发展应用意识.
1.能够从物理等其他学科问题中建构反比例函数模型；
知识目标 2.从实际问题中寻找变量之间的关系，利用所学知识分析物理等其他学科的问
题，建立函数模型解决实际问题.
教学重点 能够从物理等其他学科问题中建构反比例函数模型.
从实际问题中寻找变量之间的关系，利用所学知识分析物理等其他学科的问题，
教学难点
建立函数模型解决实际问题.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 一、创设情境 导入新知
入《西游·降魔篇》电影片段欣赏：
设计意图：通过趣味的视
频，吸引学生的课堂注意
力；跨学科引入物理学杠
杆原理的发现史，为后面
的学习做准备.
在电影《西游·降魔篇》中，村民们为了制服水妖而
合力大战. 你能说说他们是如何制服水妖的吗？
这个方法的原理是什么？
师生活动：学生独立思考，共同作答：杠杆原理.
公元前 3 世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠
杆上两物体到支点的距离与其重量成反比，则杠杆
平衡. 后来人们把它归纳为“杠杆原理”. 通俗地
说，杠杆原理为：
二、探究新
知
二、探究新知
知识点：反比例函数在其他学科中的应用
例1小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻
力臂分别为 1200 N 和 0.5 m.
设计意图：回顾物理公
(1) 动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系? 当动力 司，在做题中，初步建立
臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力? 物理公式与数学模型的关
(2) 若想使动力 F 不超过题 (1) 中所用力的一半，则 系.
动力臂 l 至少要加长多少?
师生活动：学生在教师的引导下求出关系式，随后
独立计算完成问题(1)；选一名学生板书问题(2)，其
他同学独立计算教师巡视.
设计意图：引导学生发展
想一想 在物理学中，我们知道，当阻力和阻力臂一 从物理等其他学科问题中
定时，动力臂越长就越省力，你能用反比例函数的 建构反比例函数模型的思
知识对其进行解释吗？ 维模式.
师生活动：学生独立思考，选一名学生回答问题，
其他同学判断正误；
练习1.假定地球重量的近似值为 6×1025 牛顿 (即阻 设计意图：锻炼从物理等
力)，阿基米德有 500 牛顿的力量，阻力臂为 2000 其他学科问题中建构反比
千米，请你帮助阿基米德设计，该用多长动力臂的 例函数模型，并解决实际
杠杆才能把地球撬动？ 问题的能力.
师生活动：学生独立思考建立该问题的函数模型并
计算，选一名学生板书，教师巡视.
例2 某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的 设计意图：培养学生掌握方式通过一片烂泥湿地. 当人和木板对湿地的压力 根据物理公式建立数学模
F 一定时，随着木板面积 S (m2) 的变化，人和木板 型的方法，能够进行简单
对地面的压强 p (Pa) 也随之变化变化. 如果人和木 计算；回顾反比例函数图
板对湿地地面的压力 F 合计为 600 N，那么： 象的画法，注意图象的实
际意义，为后面利用图象
(1) 用含 S 的代数式表示 p，p 是 S 的反比例函
解决物理问题做准备.
数吗？
(2) 当木板面积为 0.2 m2 时，压强是多少？
(3) 如果要求压强不超过 6000 Pa，木板面积至少要
多大？
(4) 在平面直角坐标系中，作出相应的函数图象．
师生活动：学生独立思考，共同作答问题(1)——说
明问题(1)中的函数模型；选学生回答问题(2)、(3)，
其他同学判断正误；学生独立完成作图，教师巡视
总结.
练习 2.某人对地面的压强与他和地面接触面积的函
设计意图：考查对反比例
数关系如图所示．若某一沼泽地地面能承受的压强 函数图象的几何意义的掌
不超过 300 N/m2，那么此人应站立在面积为多少的 握，锻炼运用数学模型解
木板上才不会下陷 (木板重量忽略不计) ( ) 决物理问题的能力.
A. 至少 2 m2
B. 至多 2 m2
C. 大于 2 m2
D. 小于 2 m2
师生活动：学生独立思考，选一名作答，其他同学
判断正误.
例3 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为 设计意图：锻炼自主学习
110 Ω ～ 220 Ω. 已知电压为 220 V，这个用电器 能力，巩固运用数学模型
解决物理学科问题的能力.
的电路图如图所示.
(1) 功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系?
(2) 这个用电器功率的范围是多少?
师生活动：学生独立思考共同解答问题(1)；小组讨
论后计算问题(2)、教师巡视，选一名学生回答并说
明解题思路，其他同学判断补充.
设计意图：考查对反比例
函数图象的几何意义的掌
练习3. 在公式 中，当电压 U 一定时，电流 握，注意该问题的实际意
I 与电阻 R 之间的函数关系可用图象表示大致为 ( 义.
)
师生活动：学生独立思考，选一名作答，其他同学
判断正误. 设计意图：锻炼独立解题能力.
4. 在某一电路中，电压保持不变，电流 I (A) 和电
阻 R (Ω)成反比例，当电阻 R＝5 Ω 时，电流 I ＝2
A．
(1) 求 I 与 R 之间的函数关系式；
(2) 当电流 I＝0.5 时，求电阻 R 的值．
七、当堂练
师生活动：学生独立思考并计算，教师巡视.
习
设计意图：考查学生从物
理等其他学科问题中建构
三、当堂练习
反比例函数模型的能力.
1. 当电压为 220 V 时 (电压=电流×电阻)，通过电
路的电流 I (A) 与电路中的电阻 R (Ω) 之间的函
数关系为 ( )
设计意图：考查学生从物
理等其他学科问题中建构
反比例函数模型，并根据
反比例函数图象进行计算
2. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变 的能力.
时，气球内气体的气压 p (kPa) 是气体体积 V (m3)
的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压
为120 kPa时，气球的体积应为 ( )
设计意图：考查学生利用
物理公式建立反比例函数
解析式，并进行计算的能
3. 受条件限制，无法得知撬石头时的阻力，小刚选 力.
择了动力臂为 1.2 米的撬棍，用了 500 牛顿的力 刚
好撬动；小明身体瘦小，只有 300 牛顿的力量， 他
应该选择动力臂至少为 米的撬棍才能撬动这
块大石头. 设计意图：考查学生利用
物理公式以及反比例函数
图象的性质建立反比例函
4. 某汽车的功率 P 为一定值，汽车行驶时的速度
数解析式，从而解决实际
v (m/s) 与它所受的牵引力 F (N) 之间的函数关系
问题的能力.
如下图所示.
(1) 这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的解
析式；
(2) 当它所受牵引力为 1200 N 时，速度为多少
km/h？
(3) 如果限定汽车的速度不超过 30 m/s，那么 F 在
什么范围内？
第2课时 其他学科中的反比例函数
板书设计 对于函数 ，F 随 l 的增大而减小. 因此，只要求出 F = 200 N 时对
应的 l 的值，就能确定动力臂 l 至少应加长的量.
课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.本节是在上一节的基础上，进一步学习与反比例函数有关的涉及其他学科的知
识．尽量选用学生熟悉的实例进行教学，使学生从身边事物入手，真正体会数学
教学反思
知识来源于生活．注意要让学生经历实践、思考、表达与交流的过程，给学生留
下充足的活动时间，不断引导学生利用数学知识解决实际问题.
第二十七章 相似
27.1 图形的相似
教学内容 27.1 图形的相似 课时 1
1.通过大小不同的图片抽象出图形相似的概念，继而了解成比例线段的概念，会
确定线段的比；
核心素养目 2. 经历认识图形的过程，养成学生观察、比较、归纳总结的能力，同时发展空
标 间想象能力和推理能力.
3.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.激发学生对学数学的兴
趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识.
1．从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似；
知识目标 2．理解成比例线段的概念，会确定线段的比．
教学重点 从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似.
教学难点 理解成比例线段的概念，会确定线段的比.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 一、创设情境 导入新知
入
观察图片中的四只漫画恐龙，它们的外形有什么特
点？
设计意图：通过趣味的图
片，吸引学生的课堂注意
力；在积极思考发言中，
引导学生感悟本节课的内
容——图形的相似.
二、探究新
知
二、探究新知
知识点一：相似图形的概念
观察与思考
设计意图：通过趣味的图
下面的“神烦狗”有什么相同和不同的地方？ 片，吸引学生的课堂注意
力；巧妙设问，层层递进，培养自主学习习惯.
师生活动：学生独立思考积极发言，教师选人回答.
预设：相同点：形状相同
不同点：大小不相同
定义总结
形状相同的图形叫做相似图形.
注意：相似图形的大小不一定相同.
相似图形之间的关系：
从左往右观察下列图形，两组图形相似吗？ 设计意图：培养学生的观
察和总结能力，发展自主
学习习惯.
师生活动：学生观察图片后独立思考，共同作答.
预设：相似.
追问：两组图分别是什么样的图片变形？
预设：两组图形分别是由第一个图形放大或缩小得
到的.
归纳：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另
一个图形放大或缩小得到. 设计意图：把数学知识与
实际生活联系起来，培养
抽象能力.
思考：你见过哈哈镜吗？哈哈镜与平面镜中的形象
哪一个与你本人相似？
设计意图：进一步从实际
师生活动：学生观察图片后，独立思考共同作答. 问题引导，让学生自主探
索相似图形的性质，锻炼
推理能力.
练习1.放大镜下的图形和原来的图形相似吗？师生活动：学生独立思考共同作答——相似.
追问：放大镜下的角与原图形中角是什么关系?
预设：大小是相等的.
设计意图：该定义比较直
观，这里简单叙述.
知识点二：比例线段
探究 对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段
的比（即它们的长度的比）与另两条线段的比相
等，如 （即 ad = bc），我们就说这四条线
段成比例.
设计意图：通过练习巩固
学生对比例线段概念的理
解，为后面学习相似多边
形与相似比做准备.
例1 下列长度对应的四条线段中成比例的是 ( )
A. 1 cm，2 cm，3 cm，4 cm
B. 2 cm，4 cm，6 cm，8 cm
C. 5 cm，10 cm，15 cm，20 cm
设计意图：培养自主学习
D. 5 cm，10 cm，15 cm，30 cm 能力和观察总结、小组讨
论的能力；加深对相似多
师生活动：学生独立思考，选一名作答，其他同学 边形定义的理解，类比全
判断正误. 等形进行思考，发展迁移
思想.
知识点三：相似多边形与相似比
例3 多边形 ABCDEF 是显示在电脑屏幕上的，而多
边形 ABCDEF 是投射到幕布上的.
1 1 1 1 1 1
问题1 这两个多边形相似吗？
问题2 这两个多边形中是否有对应相等的内角？
问题3 在这两个多边形中，对应内角的两边是否成
比例？师生活动：学生独立思考共同解答问题 1——相
似；教师引导学生，类比全等形的性质思考问题
2、3，小组讨论后派代表回答，教师总结讨论结果. 设计意图：锻炼推理能
力，发展类比归纳能力.
归纳：
相似多边形的定义：
边数相同，且各角分别相等、各边成比例的两个多
边形叫做相似多边形.
相似多边形的性质：
相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
相似比：
相似多边形的对应边的比叫做相似比.
议一议 任意两个等边三角形相似吗？任意两个正方
形呢？任意两个正 n 边形呢？
师生活动：学生独立思考直接提出猜想——相似，
教师引导学生分析猜想证明.
设计意图：锻炼推理能力
和举反例证明的实践能力.
分析：已知等边三角形的每个角都为 60°，三边都
相等. 所以满足边数相同，对应角相等，以及对应
边的比相等，即任意两个等边三角形相似.
设计意图：引导学生学
习，如何利用相似多边形
的定义进行计算，发展应
用能力和运算能力.
同理，任意两个正方形也相似.
归纳
边数相同的正多边形都相似. 设计意图：通过练习进一
步巩固运用似多边形的定
义进行计算的能力.
思考：任意的两个菱形(或矩形)是否相似？
师生活动：教师引导学生，作图举反例进行思考.八、当堂练
习 例2 如图，四边形 ABCD 和 EFGH 相似，求角
α，β 的大小和 EH 的长度 x.
设计意图：考查对图形的
相似定义的掌握.
师生活动：教师引导学生分析解题思路，学生独立
完成计算，选一名学生板书，教师规范解题步骤.
设计意图：考查学生对相
似多边形概念的掌握.
练习 如图所示的两个五边形相似，求未知边 a，b，
c，d 的长度．
师生活动：教师引导学生，作图举反例进行思考. 设计意图：考查学生能否
利用相似比计算相似多边
形的对应边和角的值.
三、当堂练习
1. 下列图形中能够确定相似的是[多选] ( )
A. 两个半径不相等的圆 B. 所有的等边三角形
C. 所有的等腰三角形 D. 所有的正方形
E. 所有的等腰梯形 F. 所有的正六边形
2. 如图所示的两个四边形是否相似？
设计意图：考查学生利用
相似比计算相似多边形的
进行计算的能力.
3.填空：
(1) 如图①是两个相似的四边形，
则 x = ，y = ，
α = ；
(2) 如图②是两个相似的矩形，
x = .
4. 如图，把矩形 ABCD 对折，折痕为 EF，若矩形ABCD 与矩形 EABF 相似，AB = 1．
(1) 求 BC 的长；
(2) 求矩形 EABF 与矩形 ABCD 的相似比.
27.1 图形的相似
板书设计 形状相同的图形叫做相似图形.
相似多边形的对应边的比叫做相似比.
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
本节课中对相似多边形的特征的教学要注意难度的把握，不要过高要求学生掌握
更多的内容．学生能了解性质，并能简单运用即可，重要的还是后续的相似三角
教学反思
形的学习，当相似三角形的特征掌握之后，再进一步研究相似多边形的性质，学
生就比较容易掌握.
27.2.1 相似三角形的判定
第1课时 平行线分线段成比例
教学内容 第1课时 平行线分线段成比例 课时 1
1.通过一般的相似多边形到特殊的相似三角形的定义，初步感悟特殊与一般的思
想.
核心素养目
2.根据平行线分线段成比例的基本事实合乎逻辑地推出其推论，构建数学的逻辑
标
体系，并能够应用平行线分线段成比例证明两三角形相似的判定定理。
3.通过观察—猜想—思考—验证的过程，增强学生发现与解决问题的能力.
1.了解相似比的定义；
知识目标 2.掌握平行线分线段成比例定理的基本事实以及利用平行线法判定三角形相似；
3.应用平行线分线段成比例定理及平行线法判定三角形相似来解决问题．
1.了解相似比的定义；
教学重点
2.掌握平行线分线段成比例定理的基本事实以及利用平行线法判定三角形相似.
教学难点 应用平行线分线段成比例定理及平行线法判定三角形相似来解决问题.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 一、复习回顾 导入新知
入
复习引入
1. 相似多边形的对应角 ，对应边 ， 设计意图：通过复习，巩
对应边的比叫做 . 固对相似多边形与相似的
定义掌握，为本节课的学
习做铺垫.2. 如图，△ABC 和 △A′B′C′ 相似需要满足什么条
件？
相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.
△ABC与△A′B′C′ 相似记作“△ABC∽△A′B′C′”.
师生活动：学生独立思考，在教师的引导下完成问
题1、2.
二、探究新知
二、探究新
知 知识点一：平行线分线段成比例的基本事实
合作探究
如图，任意画两条直线 l ，l ，再画三条与 l ，l
1 2 1 2
都相交的平行线 l ，l ，l. 分别度量在 l 上截得的 设计意图：通过实际操
3 4 5 1
两条线段 AB，BC 和在 l 上截得的两条线段 DE， 作，加深对实践结果——
2
EF 的长度. 平行线分线段成比例的基
本事实的印象；培养自主
学习、合作交流的能力.
(1) 计算 与 的值，它们相等吗？
(2) 任意平移 l ，重复上述操作，度量 AB，BC，
5
DE，EF，同 (1) 中计算，它们还相等吗？
师生活动：学生独立思考完成操作并计算，小组讨
论计算结果后共同回答问题.
归纳：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线
段成比例.
符号语言：
练习1.如图，已知 l∥l∥l ，下列比例式中错误的 设计意图：通过练习平行
1 2 3
是 ( ) 线分线段成比例概念的理
解，锻炼应用能力.
师生活动：学生独立思考完成计算，共同作答.知识点二：平行线分线段成比例的推论
如图，直线 l∥l∥l ，由平行线分线段成比例的基本
1 2 3
事实，我们可以得出图中对应成比例的线段.
设计意图：从实际操作中
得出既定事实，锻炼实践
学习、合作交流的能力，
合作探究 为三角形相似的学习做准
若把直线 n 向左平移到 B 与 A 重合的位置，说说 备.
1 1
图中有哪些成比例线段.若把图中的部分线条擦去，
得到如图所示的新图形，刚刚所说的线段是否仍然
成比例？
追问：若把直线 n 向左平移到 B 与 A 重合的位置
2 2
呢？
师生活动：教师播放课件，学生根据课件操作作
图，并对平移后的图形计算；小组讨论计算结果，
选派代表回答，教师总结归纳讨论结果.
归纳：
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延
长线），所得的对应线段成比例.
设计意图：通过练习巩固
学生对平行线分线段成比
例的推论的掌握，为后面
学习相似三角形做准备.
练习2.如图，DE∥BC， ，则 ；
若FG∥BC， ，则 .
设计意图：通过练习巩固
平行线分线段成比例的推
论，进一步抽象为相似三
师生活动：学生独立思考并计算，教师巡视，选一名学生作答，其他同学判断正误. 角形的问题.
例1 如图，在△ABC中，EF∥BC.
(1) 如果 E、F 分别是 AB 和 AC 上的点，AE =
BE = 7，FC = 4，那么 AF 的长是多少？
(2) 若 AB = 10，AE = 6，AF = 5，则 FC 的长
是多少？
设计意图：培养自主学习
能力和观察总结、小组讨
论的能力；加深对相似多
边形定义的理解，类比全
师生活动：学生独立思考完成例题，选一名学生板
等形进行思考，发展迁移
书，教师规范解题思路.
思想.
练习 3.如图，DE∥BC，AD = 4，DB = 6，AE =
3，则AC = ；若 FG∥BC，AF = 4.5，则 AG =
.
设计意图：锻炼推理能力
师生活动：学生独立思考，教师引导学生分析解题 和合作交流能力，发展类
思路，师生共同完成练习. 比归纳能力.
知识点三：判定相似三角形的引理
如图，在△ABC 中，D 为 AB 上任意一点，过点
D 作 BC 的平行线 DE，交 AC 于点 E.
问题1 △ADE与△ABC的三个内角分别相等吗？
问题2分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边
长是否对应成比例？
问题3你认为△ADE 与△ABC之间有什么关系？平
行移动 DE 的位置，你的结论还成立吗？
师生活动：学生独立思考共同解答问题1；实践操 设计意图：通过具体的证
作后小组讨论，选派代表回答问题2；学生共同作 明过程，加深学生对判定
答问题3——猜想成立. 相似三角形的引理的理
解；感受数学的严谨性，
发展推理能力，培养有条想一想 我们通过度量三角形的边长，知道 理讲逻辑的思维.
△ADE∽△ABC，但要用相似的定义去证明它，我们
需要证明什么？
由所学的定理
可得 ，
需要证明的是
如图，DE∥BC，用相似的定义证明
△ADE∽△ABC.
证明：在△ADE 与△ABC 中，∠A =∠A.
∵ DE∥BC，∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C.
如图，过点 E 作 EF∥AB，交 BC 于点 F.
∵ DE∥BC，EF∥AB，∴
且四边形 DEFB 为平行四边形．∴ DE = BF.
设计意图：通过练习，巩
固相似三角形的判定及推
归纳
论，锻炼学神的应用能力
由此我们得到判定三角形相似的一个定理：
及推理能力.
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成
的三角形与原三角形相似.
练习4. 如图，已知 AB∥EF∥CD，则图中共
有___对相似三角形.
九、当堂练
习
设计意图：考查对相似比
5. 若 △ABC 与 △A′B′C′ 相似，一组对应边的长 定义的掌握.
为 AB = 3 cm，A′B′ = 4 cm，则 △A′B′C′ 与
△ABC 的相似比是_____.
师生活动：学生独立思考共同作答，选学生说明解
题思路，其他学生判断正误.
设计意图：考查学生对相
似三角形判定的掌握，以
三、当堂练习 及运用相似比进行计算的
能力.
1. 如图，△ABC∽△DEF，相似比为 1 : 2，
若 BC = 1，则 EF 的长为 ( )
A. 1 设计意图：考查学生对相
B. 2 似三角形判定的掌握，以
C. 3 及运用相似比进行计算的
D. 4 能力.
2. 如图，在 △ABC 中，EF∥BC，AE = 2 cm，BE = 6 cm， BC = 4 cm，则 EF 的长为 ( )
设计意图：考查学生应用
平行线分线段成比例定理
及平行线法判定三角形相
似来解决问题的能力.
3. 如图，在△ABC 中，DE∥BC，则△_____
∽△_____，对应边的比例关系为 ＝
＝ .
4. 如图，在 ▱ABCD 中，EF∥AB，DE : EA = 2 :
3，EF = 4，求 CD 的长．
第1课时 平行线分线段成比例
板书设计
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比
例.
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
本节课宜采用探究式教学，教师在教学中是学生学习的组织者、引导者、合作者
和共同研究者．鼓励学生大胆探索，引导学生关注过程，及时肯定学生的表现，
教学反思
鼓励创新．上课时教师只在关键处点拨，在不足时补充．教师与学生平等地交
流，创设民主、和谐的学习氛围.
27.2.1 相似三角形的判定
第2课时 三边成比例的两个三角形相似
教学内容 第2课时 三边成比例的两个三角形相似 课时 1
1.类比三角形全等的条件，探索三角形相似的条件，感悟特殊与一般的思想.
核心素养目 2.学生经历观察、发现、比较、归纳的数学思维过程，发展学生的合理推理能力.
标 3.应用“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法解决简单的实际问题，培养
应用数学的意识，感受数学与人类生活的密切联系.1.理解“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法；
知识目标 2.会运用“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题．
教学重点 理解“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法.
教学难点 会运用“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 一、复习回顾 导入新知
入
复习引入
1. 什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过 设计意图：通过复习，巩
哪些判定三角形相似的方法？你认为这些方法是否 固对相似三角形及其判定
有其缺点和局限性？ 方法的掌握；并类比三角
形全等的判定，引入本课
内容，为学习“三边成比
2. 证明三角形全等有哪些方法？你能从中获得证明
例的两个三角形相似”的
三角形相似的启发吗？
判定方法做铺垫.
3. 类似于判定三角形全等的 SSS 方法，我们能不
能通过三边来判定两个三角形相似呢？
师生活动：学生独立思考，在教师的引导下完共同
作答.
二、探究新
知 二、探究新知
知识点一：三边成比例的两个三角形相似
合作探究
任意画一个 △ABC ，再画一个 △A′B′C′，使它的 设计意图：通过实际操
各边长都是原来 △ABC 的各边长的 k 倍，动手量一
作，利用直观数据得出探
究结论——“三边成比例
量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三
的两个三角形相似”，发
角形相似吗？
展学生的数据意识；培养
自主学习、合作交流的能
力.
师生活动：学生独立思考完成作图并测量，小组讨
论测量结果后共同回答问题.
通过测量不难发现∠A =∠A'，∠B =∠B'，∠C
=∠C'，又因为两个三角形的边对应成比例，所以
△ABC ∽ △A′B′C′.下面我们用前面所学过的定理证明该结论.
证明：在线段 A′B′ (或延长线)上截取 A′D = AB， 设计意图：通过具体的证
明过程，加深学生对“三
过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E.
边成比例的两个三角形相
似”的判定定理的理解；
∵ DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′.
感受数学的严谨性，发展
∴ 推理能力，培养有条理讲
逻辑的思维.
∴ DE = BC，A′E = AC.
∴ △A′DE≌△ABC . ∴△ABC ∽ △A′B′C′.
归纳：
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：
三边成比例的两个三角形相似．
符号语言：
∵ ，
∴ △ABC∽△A′B′C′ .
设计意图：通过练习巩固
例1 根据下列条件，判断 △ABC 与 △A′B′C′ 是否 学生对“三边成比例的两
相似，并说明理由： 个三角形相似”的判定定
AB = 4 cm ，BC = 6 cm ，AC = 8 cm； 理的掌握.
A′B′ = 12 cm ，B′C′ = 18 cm ，A′C′ = 24 cm.
师生活动：学生独立思考完成例题，选一名学生板
书，教师规范解题思路.
设计意图：锻炼学生的计
练习 1. 已知 △ABC 和 △DEF，根据下列条件判断 算能力和应用能力.
它们是否相似.
(1) AB ＝ 3， BC ＝ 4， AC ＝ 6，
DE ＝ 6， EF ＝ 8， DF ＝ 9；
(2) AB ＝ 4， BC ＝ 8， AC ＝10，
DE ＝ 20，EF ＝ 16， DF ＝ 8.
师生活动：学生独立思考完成计算，教师巡视；学
生共同作答.
设计意图：锻炼学生的解
题能力，提高解题技巧.
例2 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理
由．
师生活动：学生独立思考，教师引导学生分析解题
思路，学生独立完成计算，教师顺势总结方法.方法总结：
如果题中给出了两个三角形的所有边长，可分别计
算出三条对应边的比值，看是否相等.
注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短
边对应.
设计意图：考查学生的综
合应用能力，发展学生的
例3 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′ 中，∠C 推理能力，形成有条理的
=∠C′ = 90°，且 解题思路.
求证：△A′B′C′∽△ABC.
师生活动：学生独立思考，教师引导学生分析解题
十、当堂练
思路——要运用三边成比例判断相似，而题目只给
习
出 2 组边成比例和 90° 的角，那么可以通过“勾
股定理”得到第三组边的比，进而求解，师生共同
完成练习.
设计意图：考查对“三边
成比例的两个三角形相
似”的判定定理的掌握.
三、当堂练习
1. 根据下列条件，判断 △ABC 与△A′B′C′ 是否相
似，并说明理由：
AB = 5 cm ，BC = 7 cm ，AC = 8 cm，
A′B′ = 15 cm ，B′C′ = 21 cm ，A′C′ = 23 cm. 设计意图：题2、3考查学
生综合运用“三边成比例
的两个三角形相似”的判
2. 如图，在大小为 4×4 的正方形网格中，有两个 定定理和勾股定理判定三
三角形，它们是否相似？请说明理由. 角形相似的能力；发展空
间观念.
3. 如图，∠APD = 90°，AP = PB = BC = CD =
设计意图：考查学生应用
1，求证：△ABC∽△DBA. “三边成比例的两个三角
形相似”的判定定理解决
实际问题的能力.
4. 如图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公
路，已知 AB = 14 千米，AD = 28 千米，BD = 21
千米，DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？
说出你的理由.第2课时 三边成比例的两个三角形相似
板书设计
三边成比例的两个三角形相似．
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
因为本课时教学过程中主要是让学生采用类比的方法先猜想出命题，然后证明猜
教学反思 想的命题是否正确．课堂上教师主要还是以提问的形式，逐步引导学生去证明命
题．从课后作业情况看出学生对这节课的知识总体掌握得较好.
27.2.1 相似三角形的判定
第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
教学内容 第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 课时 1
1.类比三角形全等的条件，探索三角形相似的条件，感悟特殊与一般的思想.
核心素养目 2.培养学生的观察、动手探究、归纳总结能力，形成推理、说明的科学态度。
标 3.应用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定方法解决简单的实际
问题，能用数学语言表达现实生活中事物的本质.
1.理解“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结
论，并能用文字、图形和符号语言表示；
知识目标
2.会运用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并
解决简单的问题．
理解“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，
教学重点
并能用文字、图形和符号语言表示.
会运用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解
教学难点
决简单的问题.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 一、复习回顾 导入新知
入
复习引入
1. 回忆我们学习过的判定三角形相似的方法. 类比 设计意图：通过复习，巩
证明三角形全等的方法，猜想证明三角形相似还有 固对相似三角形及其判定
哪些方法？ 方法的掌握；并类比三角
形全等的判定，培养学生
的自主学习能力和类比推
师生活动：学生独立思考，积极发言，在教师的引
理能力.
导下完共同作答.
预设：我们已经学会“平行线法判定三角形相
似”、
“三边成比例判定两个三角形相似”；
即：利用三角形的三个角和三条边进行判定，类比
三角形全等的判定，接下来可以探究“两边一
角”、“两角一边”的判定方法.2. 类似于判定三角形全等的 SAS 方法，能不能通
过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？
师生活动：引发学生独立思考，教师顺势提出本节
二、探究新
课主题.
知
二、探究新知
知识点：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 设计意图：通过实际操
作，利用直观数据得出探
合作探究
究结论——“两边成比例
利用刻度尺和量角器画 △ABC 和 △A′B′C′，使 且夹角相等的两个三角形
相似”，发展学生的数据
∠A =∠A′， 量出 BC 及 B′C′ 的
意识；培养自主学习、合
长，它们的比值等于 k 吗？再量一量两个三角形另
作交流的能力.
外的两个角，你有什么发现？△ABC 与 △A′B′C′
有何关系？
师生活动：学生独立完成作图并测量，小组讨论测
量结果后共同回答问题，教师顺势引导学生证明.
如图，在 △ABC 与 △A′B′C′ 中，已知∠A = ∠A′，
. 求证：△ABC ∽ △A′B′C′.
设计意图：通过具体的证
明过程，加深学生对“两
边成比例且夹角相等的两
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上取点 D，使 A′D =
个三角形相似”的判定定
AB．过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E.
理的理解；感受数学的严
∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′. 谨性，发展推理能力，培
养有条理讲逻辑的思维.
∴
∵ A′D = AB， .
∴
∴ A′E = AC. 又 ∠A′ = ∠A，
∴ △A′DE≌△ABC. ∴ △A′B′C′∽△ABC.
归纳：
由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定
理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
符号语言：在 △ABC 和 △A′B′C′ 中，
∵ ，∠A =∠A′，
∴ △ABC∽△A′B′C′ .
设计意图：通过类比三角
形全等的判定，引发学生
思考，培养学生的类比推
理思想，进一步理解“两
边成比例且夹角相等的两
个三角形相似”的判定定
思考：对于△ABC和 △A′B′C′，如果 理.
且∠C = ∠C′，这两个三角形一定会相似吗？试着画
画看.
不一定，如下图，因为不能证明构造出来的三角形
一定和原三角形全等.
设计意图：通过练习巩固
学生对“两边成比例且夹
角相等的两个三角形相
结论：相等的角一般应是成比例的两边的夹角才能
似”的判定定理的掌握.
判定相似.
例1 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否
相似，并说明理由：
∠A = 120°，AB = 7 cm，AC = 14 cm，
∠A′ = 120°，A′B′ = 3 cm，A′C′ = 6 cm．
设计意图：锻炼学生的计
师生活动：学生独立思考完成例题，选一名学生板 算能力和应用能力.
书，教师规范解题思路.
练习1. 在△ABC 和△DEF 中，∠C =∠F = 70°，
AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF = 2.1 cm，EF = 1.5
cm.
求证：△DEF∽△ABC.
设计意图：锻炼学生的解
题能力，进一步培养学生
的应用能力.
师生活动：学生独立思考完成计算，教师巡视；学
生共同作答.
例2 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，
AD =AE，AB = AC，∠DAB =∠CAE. 求证：△ABC∽△ADE.
设计意图：锻炼学生的解
题能力，提高解题技巧.
师生活动：学生独立思考，教师引导学生分析解题
思路，学生独立完成计算，教师顺势总结方法.
例3 如图，D，E 分别是 △ABC 的边 AC，AB 上
的点，AE = 1.5，AC = 2，BC = 3，且 ，
求 DE 的长.
设计意图：锻炼学生的解
题能力，总结解题方法.
师生活动：教师引导学生分析解题思路——解题时
要找准对应边，学生独立完成练习.
例4 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，
且 ，求证：∠ACB = 90°．
十一、当堂
练习
师生活动：学生独立思考完成练习，选一名学生板 设计意图：考查学生的综
书，教师总结解题方法. 合应用能力，发展学生的
推理能力，形成有条理的
方法总结：解题时需注意挖掘隐含条件，如垂直关 解题思路.
系（三角形的高）可转化为 90° 角等.
设计意图：考查对“两边
成比例且夹角相等的两个
三、当堂练习 三角形相似”的判定定理
的掌握.
1. 判断对错：
(1) 两个等边三角形相似． ( )
(2) 两个直角三角形相似． ( )
(3) 两个等腰直角三角形相似． ( )
(4) 有一个角是 50° 的两个等腰三角形相似．( )
2. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接
设计意图：题3、4考查学
AD，使 △ABC∽△DBA 的条件是 ( )
生运用“两边成比例且夹
A. AC : BC = AD : BD
角相等的两个三角形相
B. AC : BC = AB : AD 似”的判定定理进行计算
C. AB2 = CD·BC 能力；发展空间观念.
D. AB2 = BD·BC3. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B
=∠ACD，AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD = ，
求 AD 的长．
4. 如图，∠DAB =∠CAE，
且 AB·AD = AE·AC，
求证：△ABC ∽△AED.
第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
板书设计
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
本节课采用探究发现式教学法和参与式教学法为主，利用多煤体引导学生始终参
与到学习活动的全过程中，处于主动学习的状态．采用动手实践，自主探索与合
教学反思 作交流的学习方法，使学生积极参与教学过程．在教学过程中展开思维，培养学
生提出问题、分析问题、解决问题的能力，进一步理解观察、类比、分析等数学
思想.
27.2.1 相似三角形的判定
第4课时 两角分别相等的两个三角形相似
教学内容 第4课时 两角分别相等的两个三角形相似 课时 1
1.在观察、动手探究等活动中，掌握判定三角形相似的方法，体会转化思想。
核心素养目 2.经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的探究、交流能力和推理能力.
标 3.应用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定方法解决简单的实际问题，培
养应用数学的意识，感受数学与人类生活的密切联系.
1．理解“两角分别相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能
用文字、图形和符号语言表示；
知识目标
2．会运用“两角分别相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简
单的问题．
理解“两角分别相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文
教学重点
字、图形和符号语言表示.
会运用“两角分别相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的
教学难点
问题.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 一、情境导入 导入新知
入情境导入
设计意图：通过趣味情景
学校举办活动，需要三个内角分别为 90°，60°，
导入吸引学生的课堂注意
30° 的形状相同、大小不同的三角纸板若干．小明
力，在解决问题的过程
手上的测量工具只有一个量角器，他该怎么做呢？
中，自发探究本课内容.
师生活动：学生独立思考，积极发言，教师顺势引
出本课内容.
二、探究新
知 二、探究新知
知识点一：两角分别相等的两个三角形相似
设计意图：通过实际操
合作探究 作，利用直观数据得出探
究结论——“两角分别相
与同伴合作，一人画 △ABC，另一人画 △A′B′C′，
等的两个三角形相似”，
使 ∠A =∠A′ = 40°，∠B =∠B′ = 55°，探究下列
发展学生的数据意识；培
问题：
养自主学习、合作交流的
能力.
问题一 度量 AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′ 的
长，并计算出它们的比值. 你有什么发现？
师生活动：学生独立完成作图并测量，小组讨论测
量结果后共同回答问题，教师顺势引导学生证明.
问题二 试证明 △ABC∽△A′B′C′ . 设计意图：通过具体的证
明过程，加深学生对“两
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′（或 A′B′ 的延长线）上 角分别相等的两个三角形
截取 A′D = AB，过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 相似”的判定定理的理
于点 E， 解；感受数学的严谨性，
发展推理能力，培养有条
则有 △A′DE∽△A′B′C′，∠A′DE =∠B′．
理讲逻辑的思维.
∵∠B =∠B′，
∴∠A′DE =∠B．
又∵ A′D = AB，∠A =∠A′，
∴△A′DE ≌△ABC（ASA）．
∴△ABC∽△A′B′C′．归纳：
由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：
两角分别相等的两个三角形相似．
符号语言：
在 △ABC 和 △A′B′C′ 中，
∵∠A =∠A'，∠B =∠B'，
∴ △ABC∽△A′B′C′ .
设计意图：通过练习巩固
学生对“两角分别相等的
两个三角形相似”的判定
定理的掌握.
例1 如图，在△ABC 和 △DEF 中，∠A = 40°，
∠B = 80°，∠E = 80°，∠F = 60°．
求证：△ABC∽△DEF．
师生活动：学生独立思考完成例题，选一名学生板
书，教师规范证明过程.
证明：在△ABC 中，∵∠A = 40°，∠B = 80°，
∴∠C = 180°－∠A－∠B = 60°． 设计意图：锻炼学生的计
在△DEF 中，∵∠E = 80°，∠F = 60°， 算能力和应用能力.
∴∠B =∠E，∠C =∠F．
∴△ABC∽△DEF．
练习1. 如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，若∠A =
50°，∠B = 75°，∠A' = 50°，则当∠C' =
° 时，△ABC∽△A'B'C'.
设计意图：锻炼学生的解
题能力，进一步培养学生
的应用能力.
师生活动：学生独立思考完成计算，教师巡视；学
生共同作答.例2 如图，弦 AB 和 CD 相交于 ⊙O 内一点P，
求证：PA · PB = PC · PD．
证明：连接 AC，DB．
∵∠A 和 ∠D 都是弧 CB 所对的圆周角，
∴ ∠A = _______．
同理 ∠C = _______，
∴ △PAC ∽ △PDB.
∴__________， 即 PA · PB = PC · PD.
师生活动：学生独立思考完成计算，教师巡视，师 设计意图：锻炼学生的解
生共同作答. 题能力，总结解题方法，
提高解题技巧.
练习2.如图，⊙O 的弦 AB，CD 相交于点 P，若
PA = 3，PB = 8，PC = 4，则 PD = .
师生活动：教师引导学生分析解题思路：
此图中，没有完整的三角形出现，根据题目给的四
条边可知，它们属于△BCP 和△ADP，因此连接
AD、BC，根据圆周角的性质得到相似三角形，进而
设计意图：锻炼学生的解
根据对应边成比例求解．
题能力，培养自主学习习
惯；通过练习，引导学生
学生独立完成练习.
归纳两个直角三角形相似
的判定方法.
知识点二：判定两个直角三角形相似
例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB =
10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，
ED⊥AB，垂足为 D．求 AD 的长．
师生活动：学生独立思考完成练习，选一名学生板
书，教师总结解题方法.归纳： 设计意图：通过具体的证
由此得到一个判定直角三角形相似的方法： 明过程，加深学生对“斜
有一个锐角相等的两个直角三角形相似． 边和一直角边成比例的两
个直角三角形相似”的判
定定理的理解；感受数学
思考 的严谨性，发展推理能
对于两个直角三角形，我们可以用“HL”判定它们 力，培养有条理讲逻辑的
全等．那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直 思维.
角三角形相似吗？
如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C =
90°，∠C′ = 90°， ．
求证：Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′.
证明：设 = k，则 AB = kA′B′，
AC = kA′C′.
由勾股定理，得
∴
设计意图：通过练习巩固
∴ 学生对“斜边和一直角边
成比例的两个直角三角形
∴ Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′. 相似”的判定定理的掌握.
归纳：
由此得到另一个判定直角三角形相似的方法：
斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.
十二、当堂
练习
例4 如图，已知∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，
CD = ，当 AB = 时，△ABC 与 △ACD
相似．
设计意图：考查学生的对
“两角分别相等的两个三
角形相似”的判定定理的
掌握，以及综合应用能力.
师生活动：学生独立思考完成练习，选一名学生板
书，教师总结解题思路.
设计意图：考查对“两角
分别相等的两个三角形相
似”的判定定理的掌握，
锻炼计算能力.
三、当堂练习
1. 如图，已知 AB∥DE，∠AFC =∠E，则图中的
相似三角形共有 ( )
A. 1 对
B. 2 对 设计意图：考查学生运用
“有一个锐角相等的两个
C. 3 对
直角三角形相似”的判定D. 4 对 定理的掌握.
2. 如图，△ABC 中，AE 交 BC 于点 D，∠C
=∠E，AD : DE = 3 : 5，AE = 8，BD = 4，则
设计意图：锻炼学学生的
DC 的长等于 ( )
证明能力，考查对已学三
角形相似的判定方法的掌
握.
3. 如图，在 Rt△ABC
中，∠ABC = 90°，BD⊥AC 于D．若 AB = 6，AD
= 2，则 BD = ，AC = ，BC =
.
4.如图，∠1 =∠2 =∠3，求
证：△ABC∽△ADE．
第4课时 两角分别相等的两个三角形相似
板书设计 两角分别相等的两个三角形相似．
有一个锐角相等的两个直角三角形相似．
斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
在探究式教学中教师是学生学习的组织者、引导者、合作者、共同研究者，教学
过程中鼓励学生大胆探索，引导学生关注过程，及时肯定学生的表现，鼓励创
教学反思
新．备课时应多考虑学生学法的突破，教学时只在关键处点拨，在不足时补充．
与学生平等地交流，创设民主、和谐的学习氛围.
27.2 相似三角形
27.2.2 相似三角形的性质
教学内容 27.2.2 相似三角形的性质 课时 11.通过对相似三角形的对应高、中线、角平分线的比进行探究，得到对应线段的
比等于相似比并以此作为基础，通过对周长和面积的计算得到相似三角形周长、
面积的比与相似比的关系.体会了从特殊到一般以及类比、转化的数学思想.
核心素养目
2.通过对性质的发现和论证过程，感受数学活动中充满着探索，提高学习热情，
标
增强探究意识.
3.应用相似三角形的性质解决简单的实际问题，培养学生的数学应用意识，发展
学生分析问题、解决问题的能力.
1.理解相似三角形的性质；
知识目标 2.会利用相似三角形的性质解决简单的问题．
教学重点 理解相似三角形的性质.
教学难点 会利用相似三角形的性质解决简单的问题.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 一、复习回顾 导入新知
入
复习引入
1. 相似三角形的判定方法有哪些？
设计意图：通过复习，巩
师生活动：学生独立思考，积极发言，教师顺势引
固对相似三角形及其判定
出本课内容.
方法的掌握；回顾三角形
的要素，为后面的探究方
◑定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角形
向做铺垫；培养学生的自
相似.
主学习能力和类比推理能
◑平行于三角形一边的直线与另外两边相交，所构
力.
成的三角形与原三角形相似.
◑三边成比例的两个三角形相似.
◑两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
◑两角分别相等的两个三角形相似.
◑一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似.
2. 三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素?
预设：高、中线、角平分线、周长、面积.
二、探究新
知 二、探究新知
知识点一：相似三角形对应线段的比
合作探究
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们的对
设计意图：通过观察、猜
应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？
想和证明，锻炼自主学习
的能力，加深对“相似三
角形对应线段的比等于相
似比”的理解.
师生活动：学生独立思考，积极发言，教师总结猜
想——它们的对应高、对应中线、对应角平分线的
比也是 k；并在教师的引导下共同完成证明.
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，求它们对应边 BC 和 B′C′ 上的高之比．
解：如图，分别作出 △ABC 和 △A'B'C'
的高 AD 和 A'D'．
则∠ADB =∠A'D'B' = 90°．
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B =∠B'．
∴△ABD∽△A'B'D'．
∴
设计意图：锻炼证明能力
和类比推理能力；感受数
试 一 试 ： 仿 照 求 高 的 比 的 过 程 ， 当
学的严谨性，培养有条理
△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k 时，求它们对应中
讲逻辑的思维.
线的比、对应角平分线的比.
师生活动：学生独立完成作图并测量，小组讨论测
量结果后共同回答问题，教师顺势引导学生证明.
归纳：
相似三角形对应高的比等于相似比.
类似地，还可以证明相似三角形的对应中线、对应
角平分线的比也等于相似比.
一般地，我们有：
相似三角形对应线段的比等于相似比.
设计意图：通过练习巩固
学生对“相似三角形对应
例 1 已知 △ABC∽△DEF，BG、EH 分别是 线段的比等于相似比”的
△ABC 和 △DEF 的角平分线，BC = 6，EF = 性质的掌握.
4，BG = 4.8. 求 EH.
师生活动：学生独立思考完成例题，选一名学生板
书，教师规范证明过程.
设计意图：锻炼学生的计
算能力和应用能力.练习1. 如果两个相似三角形的对应高的比为 2 :
3，那么对 应角平分线的比是 ，对应边上的
中线的比是______ .
2. 已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为 3 : 4，若 BC
边上的高 AD = 12 cm，则 B'C' 边上的高 A'D' ＝
______.
师生活动：学生独立思考完成计算，教师巡视；学
生共同作答.
设计意图：锻炼学生的类
比推理和证明能力，进一
步培养学生的应用能力.
想一想：相似三角形的周长比也等于相似比吗？为
什么？
师生活动：学生思考共同提出猜想——等于.学生独
立完成证明，选一名学生板书，教师规范步骤.
归纳：
相似三角形周长的比等于相似比.
知识点二：相似三角形面积的比
合作探究 设计意图：加强学生的类
比推理能力，锻炼应用能
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，那么它们的
力，掌握相似三角形性质
面积比是多少？
的探究方法.
师生活动：学生思考后独立完成计算，教师巡视，
选学生作答，其他同学判断正误.
分别作 BC，B′C′ 边上的高 AD 和 A′D′.
由前面的结论，我们有
故
归纳：
相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
填一填：
设计意图：锻炼学生的应
1. 已知两个三角形相似，请完成下列表格：用解题能力，培养自主学
习习惯；通过练习梳理相
似三角形的三条性质，加
深学生对相似三角形性质
的掌握.
2. 把一个三角形变成和它相似的三角形：
(1) 如果边长扩大为原来的 5 倍，那么面积扩大为
原来的______倍；
(2) 如果面积扩大为原来的 100 倍，那么边长扩大
为原来的______倍.
3. 两个相似三角形的一对对应边分别是 35 cm、14
cm.
(1) 若它们的周长差为 60 cm，这两个三角形的周长
分别是______________；
(2) 若它们的面积之和是 58 cm2，这两个三角形的
面积分别是______________.
例2 如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2DE，
AC = 2DF，∠A =∠D. 若△ABC 的边 BC 上的高
为 6，面积为 ，求△DEF 的边 EF 上的高和
面积.
设计意图：锻炼学生应用
三角形性质进行解题的能
能力，提高解题技巧.
练习3.如果两个相似三角形的面积之比为 2∶7，较 设计意图：通过练习巩固
大三角形一边上的高为 7，那么较小三角形对应边 学生对“相似三角形面积
上的高为_____. 比等于相似比的平方”的
性质，提高解题能力，发
展运用能力.
师生活动：学生独立思考完成计算，教师巡视，师
生共同作答.
例3 如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知
△ABC 的面积为 100 cm2，且 ，求
四边形 BCDE 的面积.
十三、当堂
练习
设计意图：考查学生的对
师生活动：学生独立思考完成练习，选一名学生板
相似三角形性质的掌握.
书，教师总结解题方法.三、当堂练习 设计意图：考查学生的对
相似三角形性质的掌握，
1. 判断对错： 锻炼计算能力.
(1) 一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，这个
三角形的周长也扩大为原来的 5倍． ( )
(2) 一个四边形的各边长扩大为原来的 9 倍，这个
四边形的面积也扩大为原来的 9倍． ( ) 设计意图：考查学生的对
相似三角形性质的掌握，
2. 在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2DE，AC =
发展空间观念.
2DF，∠A =∠D，AP，DQ 是中线，若 AP = 2，
设计意图：锻炼运用相似
则 DQ的值为 ( )
三角形的性质解题的能力.
A．2 B．4 C．1 D.
3. 连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个
小三角形与原三角形的周长比等于______，面积
比等于_____.
4.△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，已知 △ADE 和
△EFC 的面积分别为 4 和 9，求 △ABC 的面积.
27.2.2 相似三角形的性质
相似三角形对应线段的比等于相似比.
板书设计
相似三角形周长的比等于相似比.
相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
本节教学过程中，学生们都主动地参与了课堂活动，积极地交流探讨，发现的问
题较多：相似三角形的周长比，面积比，相似比在书写时要注意对应关系，不对
教学反思
应时，计算结果正好相反；这两个性质使用的前提条件是相似三角形等等．同学
们讨论非常激烈，本节课堂教学取得了明显的效果.
27.2 相似三角形
27.2.3 相似三角形应用举例
教学内容 27.2.3 相似三角形应用举例 课时 1
1. 能根据实物抽象出几何图形，选择合适的度量方法，建立量感，发展学生的抽
象能力与空间观念.
核心素养目 2. 探索客观事物的本质属性，进一步了解数学建模思想，建立数学与实际生
标 活的逻辑联系.
3. 能够将实际问题转化为数学模型，感悟数学模型的普适性，运用相似三角形的
知识解决实际生活中的问题，增强学生的应用意识.
1. 能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度.
知识目标2. 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提
高分析问题、解决问题的能力.
进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高
教学重点
分析问题、解决问题的能力.
教学难点 会利用相似三角形的性质解决简单的问题.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 一、创设情境 导入新知
入
图片引入
设计意图：通过精美的图
片，吸引学生的课堂注意
力；感受所学知识在生产
乐山大佛 世界上最高的树 实际中的作用，激发学习
—— 红杉 兴趣.
台湾最高的楼 世界上最宽的河
——台北101大楼 ——亚马逊河
师生活动：怎样丈量这些景观（长宽高）呢？
学生观察图片，独立思考积极讨论. 设计意图：从测量数目这
些较小的物体探究，降低
教师顺势引出相似的应用——利用相似三角形的判 探索难度；初步引导学生
定与性质可以解决一些求不能直接测量的物体的高 利用相似三角形的判定与
度及两物之间的距离的问题. 性质进行思考.
二、探究新
知
二、探究新知
设计意图：运用古代数学
知识点一：利用相似三角形测量高度
家的实例，引发学生的学
合作探究 习兴趣.
传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似
三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，
借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔
的高度.设计意图：锻炼学生的抽
象能力，能够探索客观事
物的本质属性，进一步了
解数学建模思想.
例1 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为 3
m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO.
设计意图：锻炼证明能力
师生活动：学生在教师的引导下分析解题思路，
发展抽象能力；通过解决
实际问题，帮助学生理解
把BO看作三角形的边，它在哪个三角形里？
“在同一时刻物高与影长
预设：在△ABO中.
成正比例”的原理.
△ABO与△DEF相似吗？如果相似请证明，并完成
计算.
学生独立完成计算，选一名学生板书，教师规范证
明过程.
解：∵太阳光是平行的光线，∴∠BAO =∠EDF.
又∵ ∠AOB =∠DFE = 90°，∴△ABO ∽△DEF.
∴ . ∴ =134 (m).
因此金字塔的高度为134 m.
归纳：
测高方法一：
测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一
时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长 设计意图：通过练习 1、
2，巩固学生对“在同一时
刻物高与影长成正比例”
的原理的理解与掌握.
练习1.如图，要测量旗杆 AB 的高度，可在地面上
竖一根竹竿 DE，测量出 DE 的长以及 DE 和
AB在同一时刻下地面上的影长即可，则下面能用来
求 AB 长的等式是 ( )
2. 如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学数学知识测量学校旗杆的高
度，当身高 1.6 米的小阳同学站在 C 处时，他头
顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同一时 设计意图：培养学生的思
刻，其他成员测得 AC = 2 米，AB = 10 米，则旗 维能力和综合应用能力，
杆的高度是______米 可利用跨学科思想讨论问
题；锻炼证明能力和类比
推理能力，感受数学的魅
师生活动：学生独立思考完 力.
成计算，教师巡视；学生共
同作答.
想一想：还有其他的测量方法吗？
师生活动：学生独立思考，积极发言，教师引导学
生利用平面镜反射光线，构造相似的三角形，如图.
设计意图：进一步巩固利
用“镜子的反射原理”构
造相似三角形测量高度的
方法，锻炼学生的计算能
力和应用能力.
归纳：
测高方法二：
测量不能到达顶部的物体的高度，也可以利用“镜
子的反射原理”去解决.
试一试
如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意
图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发
经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C 处，
已知 AB = 2 米，且测得 BP = 3 米，DP = 12
米，那么该古城墙的高度是 ( )
A. 6 米 B. 8 米
C. 18 米 D. 24 米
设计意图：锻炼学生的计
算能力和推理能力，通过
解决实际问题，帮助学生
理解“构造相似三角形计
算河宽”的原理.
师生活动：学生思考后独立完成计算，教师巡视，
选学生作答，其他同学判断正误.
知识点二：利用相似三角形测量宽度例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸
选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点
P，Q，S共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S
且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定
PT 与过点 Q 且垂直于 PS 的直线 b 的交点R.
已知测得 QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，
请根据这些数据，计算河宽 PQ.
设计意图：锻炼学生的发
展性思维和应用能力，提
高解决问题的能力.
师生活动：学生在教师的引导下分析解题思路，
途中以后相似的三角形吗？
预设：△PQR∽△PST.
请证明△PQR∽△PST，并完成计算.
学生独立完成计算，选一名学生板书，教师规范证
明过程.
例3 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸
选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B
和 C，使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC⊥BC
，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D． 此时如果
测得 BD = 80 m，
DC = 30 m，EC = 24 m，求两岸间的大致距离
AB．
设计意图：锻炼学生的应
用解题能力，进一步培养
师生活动：学生独立思考完成练习，选一名学生板 抽象能力；发展综合应用
书，教师总结解题方法. 能力.
归纳
测量河宽等不易直接测量的距离，常构造相似三角
形求解.
知识点三：利用相似解决有遮挡物问题
例4 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB= 8 m 和 CD = 12 m，两树底部的距离 BD = 5
m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着
正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当
她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右
边较高的树的顶端 C 了?
十四、当堂
练习
师生活动：教师引导学生分析解题思路，
分析：如图，设观察者眼睛的位置 (视点) 为点
F，画出观察者的水平视线 FG，它交 AB，CD 于 设计意图：题1、2考查学
点 H，K.视线 FA，FG 的夹角∠AFH 是观察点 A 生的对“利用相似三角形
的仰角. 类似地，∠CFK 是观察点 C 时的仰角， 测量高度”的掌握.
由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区
域 (盲区) 之内. 再往前走就看不到 C 点了.
学生独立完成计算，选一名学生板书，教师规范证
明过程.
设计意图：考查学生对
“利用相似三角形测量宽
度”的掌握，发展空间观
三、当堂练习
念.
1. 小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时
测得教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼
的高度应为 ( )
A. 45 米 B. 40 米 C. 90 米 D. 80 米
2. 如图，有点光源 S 在平面镜上面，若在 P 点看
到点光源的反射光线，并测得 AB＝10 cm，BC＝20
设计意图：考查学生“利
cm，PC⊥AC，且 PC＝24 cm，则点光源 S 到平面
用相似解决有遮挡物问
镜的距离 SA 为 .
题”的能力，锻炼运算能
力和应用能力.
3.如图，为了测量水塘边 A、B 两点之间的距离，
在可以看到 A、B 的点 E 处，取 AE、BE 延长线
上的 C、D 两点，使得 CD∥AB. 若测得 CD =
5 m，AD = 15 m，ED = 3 m，则 A、B 两点间
的距离为 m.4.如图，某一时刻，旗杆 AB 的影子的一部分在地
面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆
AB 在地面上的影长 BC 为 9.6 m，在墙面上的影
长 CD 为 2 m．同一时刻，小明又测得竖立于地
面长1 m 的标杆的影长为 1.2 m．请帮助小明求出
旗杆的高度．
27.2.3 相似三角形应用举例
板书设计 利用相似三角形测量高度
利用相似三角形测量宽度
利用相似解决有遮挡物问题
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
通过本节知识的学习，可以使学生综合运用三角形相似的判定和性质解决问题，
发展学生的应用意识，加深学生对相似三角形的理解和认识．基本达到了预期的
教学反思
教学目标，大部分学生都学会了建立数学模型，利用相似的判定和性质来解决实
际问题.
27.3 位似
第1课时 位似图形的概念及画法
教学内容 第1课时 位似图形的概念及画法 课时 1
1.经历探索学习掌握位似图形的画法，培养学生的应用意识和几何直观，将形象
与抽象有机结合，发展空间形式的想象能力.
核心素养目 2.通过探索位似图形及其有关概念、位似与相似的联系和区别，经历独立的数学
标 思维过程，能够探究现实情境中的数学规律，经经历数学“再发现”的过程.
3.通过利用位似的性质进行证明或计算，学生能够形成数学语言的表达与交流能
力，理解数据的意义与价值.
1.了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的
知识目标 相关知识；
2.掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．
了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的相
教学重点
关知识.
教学难点 掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小.
教学准备 课件教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 一、创设情境 导入新知
入
图片引入
如图是同一张幻灯片被投射到不同距离的幕布上时
设计意图：通过趣味的图
得到的图片的示意图，这些图片之间有什么关系？
片，吸引学生的课堂注意
连接图片上的对应点，你有什么发现？
力；感受所学知识在生产
实际中的作用，激发学习
兴趣.
师生活动：学生观察图片，独立思考描点连线并积
极讨论，共同作答——对应点连线交于一点.
二、探究新
知
二、探究新知
知识点一：位似图形的概念
观察与思考 设计意图：锻炼学生的观
察能力，和数学语言总结
下列图形中有相似多边形吗？如果有，这种相似有 能力.
什么特征？
师生活动：学生思考后共同作答——下列图形中有
相似多边形，这些相似多边形的对应点连线都交于
一点；教师顺势归纳位似的相关概念
归纳：
两个相似图形，如果它们的所有对应点的连线都经
过同一点，那么这两个图形叫做位似图形，这个点
叫做位似中心．
判断两个图形是不是位似图形，需要从两方面去考
察：一是这两个图形是相似的；二是要有特殊的位
置关系，即每组对应点所在的直线都经过同一点，
不能有例外．练习1. 画出下列图形的位似中心： 设计意图：锻炼学生的作
图能力，通过练习进一步
巩固位似相关概念的理解.
师生活动：学生独立思考并作图，选两名学生板
设计意图：通过练习进一
书，教师巡视.
步巩固位似相关概念的理
2.如图，BC∥ED，下列说法不正确的是 ( )
解.
A. 图中两个三角形是位似图形
B. 点 A 是图中两个三角形的位似中心
C. B 与 D、C 与 E 是对应位似点
D. AE∶AD 等于相似比
师生活动：学生在教师的引导下，共同思考判断正
误并解答.
知识点二：位似图形的性质
合作探究 设计意图：锻炼学生的观
察能力，和数学语言总结
从左图中我们可以看到，△OAB∽△OA′B′，
能力；培养自主学习能力.
则 ，AB∥A′B′. 右图呢？你得到
了什么？
师生活动：学生独立思考后共同作答——
△OAC∽△OA′C′，AC∥A′C′；教师顺势归纳.
归纳：
1. 位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似
图形的所有性质，即对应角相等，对应边的比相
等．
2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之 设计意图：通过练习，巩
比等于相似比(位似图形的相似比也叫做位似比). 固学生对位似图形的性质
的理解与掌握.
3. 对应线段平行或者在一条直线上．练习3.如图，四边形木框 ABCD 在灯泡O发出的
光照射下形成影子四边形 A′B′C′D′，若 OB∶OB′＝
1∶2，则四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′ 的面积
比为 ( )
A．4∶1 B． ∶1
C．1∶ D．1∶4
师生活动：学生在教师的引导下，共同思考判断正
误并解答.
设计意图：培养学生的作
图能力和应用能力，发展
自主思考学习的能力，和
空间观念.
知识点三：画位似图形
例1 把如图的四边形 ABCD 缩小到原来的一半大
小.
师生活动：学生在教师的引导下分析解题思路——
利用位似，可以将一个图形放大或缩小，学生独立
思考并作图，教师总结步骤.
(1) 在四边形 ABCD 外任选一点 O，并连接 OA，
OB，OC，OD
(2) 顺次连接点 A'、B'、C'、D'，所得四边形
A'B'C'D' 就是所要求的图形．
设计意图：锻炼学生的作
图能力和应用能力，发展
发散性思维.
思考：对于上面的问题，还有其他方法吗？如果在
四边形外任选一个点 O，分别在 OA、OB、OC、
OD 的反向延长线上取 A′、B′、C′、D′，使得
呢？如果点 O 取在四边
形 ABCD 内部呢？分别画出这时得到的图形．
师生活动：学生独立思考，可小组讨论完成作图，
如下.
设计意图：锻炼学生的作图能力和应用能力，通过
练习进一步掌握利用位似
画规定比例的位似图形的
作图步骤.
练习 4.如图，已知△ABC. 根据要求作出 △ABC 的
位似△A'B'C'，使相似比为 1 : 5.
(1) 位似中心 O 在 △ABC 的一条边 AB 上；
(2) 以点 C 为位似中心.
十五、当堂
练习
师生活动：学生独立思考完成作图，选一名学生板
书，教师总结画位似图形的一般步骤.
归纳：
设计意图：题1、2考查学
画位似图形的一般步骤：
生的对位似图形的概念的
① 确定位似中心；
掌握.
② 分别连接 (可延长) 位似中心和原图的关键点；
③ 根据相似比，确定所作的位似图形中对应的关键
点；
④ 顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.
三、当堂练习
1.下列图形中，不是位似图形的是 ( )
设计意图：考查学生对位
似图形性质的掌握，锻炼
计算能力.
2.下列说法：
① 位似图形一定是相似图形；②相似图形一定是位 设计意图：考查学生对画
似图形；③ 两个位似图形若全等，则位似中心在两 位似图形的一般步骤的掌
个图形之间；④ 若五边形 ABCDE 与五边形 握，锻炼作图能力.
A′B′C′D′E′ 位似，则其中△ABC 与△A′B′C′ 也是位
似图形，且位似比相等. 其中正确的有 .
3.如图，△ABC 与△DEF 是位似图形，位似比为
2 : 3，已知 AB＝4，则 DE 的长为_____． 设计意图：考查学生对位
似图形的性质和概念的掌
握，以及综合应用位似图
形的性质和概念进行解题的能力.
4.如图，以 O 为位似中心，将 △ABC 放大为原来
的2 倍．
5.如图，F 在 BD 上，BC、AD 相交于点 E，且
AB∥CD∥EF．
(1) 图中有哪几对位似三角形? 选其中一对加以证
明；
(2) 若 AB = 2，CD = 3，求 EF 的长.
第1课时 位似图形的概念及画法
板书设计
无
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
在教学过程中，为了便于学生理解位似图形的特征，应注意让学生通过动手操
作、猜想、试验等方式获得感性认识，然后通过归纳总结上升到理性认识，将形
教学反思
象与抽象有机结合，形成对位似图形的认识．教师应把学习的主动权充分放给学
生，在每一环节及时归纳总结，使学生学有所收获.
27.3 位似
第2课时 平面直角坐标系中的位似
教学内容 第2课时 平面直角坐标系中的位似 课时 1
1.经历探索学会用图形坐标的变化来表示图形的位似变换，培养学生的抽象能力
和几何直观.逐步培养用数学眼光观察世界的意识与习惯.
2.通过探索学习把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，对应点的坐标变化的
核心素养目
规律，独立的数学思维过程，理解数学基本概念之间的联系.发展合情推理能力与
标
应用能力.
3.通过学习平面直角坐标系中的位似中的数学问题，学生能够形成数学语言的表
达与交流能力，欣赏数学语言的简洁与精确.
1．学会用图形坐标的变化来表示图形的位似变换；
知识目标2．掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，对应点的坐标变化的规律．
教学重点 学会用图形坐标的变化来表示图形的位似变换.
教学难点 掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，对应点的坐标变化的规律.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 一、复习回顾 导入新知
入
复习引入
1. 两个相似图形，如果它们的所有对应点的连线都
设计意图：通过复习回
经过同一个点，我们就把这两个图形叫做 位似图形
顾，巩固位似及位似图形
，这个交点叫做 位似中心 ．位似图形上任意一对
的有关性质和概念，为后
对应点到位似中心的距离之比等于 相似比 ( 或位似
面的学习做准备.
比 ) ，对应线段 平行或者在一条直线上 .
2. 如何判断两个多边形是不是位似多边形?
3. 画位似图形的一般步骤有哪些？
4. 基本模型：
师生活动：学生在教师的引导下，共同思考回顾回
答问题.
二、探究新
知
二、探究新知
知识点一：平面直角坐标系中的位似变换
合作探究 设计意图：通过实际操作
(作图)，巩固位似图形的画
1. 在平面直角坐标系中，有两点 A (6，3)，B (6，
法，调动学生的课堂积极
0)．以原点 O 为位似中心，相似比为 ，把线段
性；培养自主学习能力，
AB 缩小，观察对应点之间坐标的变化. 锻炼观察、总结能力.
师生活动：学生独立思考完成作图，师生共同总结
对应点坐标.
如图，把 AB 缩小后 A，B 的对应点为 A′ (2，1)，
B' (2，0)；A" (-2，-1)，B" (-2，0).
2. △AOC 三个顶点坐标分别为 A(4，4)，O(0，0)，C(5，0)，以点 O 为位似中心，相似比为 2，将
△AOC 放大，观察对应顶点坐标的变化.
师生活动：学生独立思考完成作图，师生共同总结
对应点坐标.
如图，把 △AOC 放大后点 A，C 的对应点为
A' (8，8)，C' (10，0)；A" (-8，-8)，C" (-10，0).
设计意图：锻炼学生的归
纳总结能力，通过设问帮
助中学生梳理观察发现.
问题1 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作
一个图形的位似图形，可以作出几个？
问题2 如果所作位似图形与原图形在原点同侧，那
么对应顶点的坐标的比与其相似比是何关系？如果
所作位似图形与原图形在原点的异侧呢？
师生活动：学生独立思考共同作答，教师总结归纳.
归纳：
1. 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个
图形的位似图形可以作出两个．
2. 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的
比等于相似比 k；当位似图形在原点两侧时，其
对应顶点的坐标的比等于相似比的相反数－k．
设计意图：通过练习进一
3. 当 k＞1 时，图形扩大为原来的 k 倍；当 0＜k 步巩固位平面直角坐标系
＜1时，图形缩小为原来的 k 倍． 中的位似变换的规律和性
质.
练习1. 如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A
(4，4)，B (6，2)，以原点 O 为位似中心，在第一
象限内将线段 AB 缩小为原来的 后得到线段
CD，则端点 D 的坐标为 ( )
A. (2，2) B. (2，1)
C. (3，2) D. (3，1)
设计意图：锻炼学生进一
师生活动：学生独立思考，选一名学生作答，其他同学判断正误. 步掌握把一个图形按一定
大小比例放大或缩小后，
对应点的坐标变化的规律.
2. △ABC 三个顶点 A (3，6)，B (6，2)，C (2，-
1)，以原点为位似中心，得到的位似图形 △A′B′C′
三
个顶点分别为 A′ (1，2)，B′ (2， )，C′ ( ，-
)，
则 △A′B′C′ 与 △ABC 的位似比是 .
师生活动：学生独立思考并作图计算，教师巡视，
选一名学生板书解题过程，教师总结思路.
例1 如图，在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点
的坐标分别为 A (-2，4)，B (-2，0)，O (0，0).
以原点 O 为位似中心，画出一个位似三角形使它
与 △ABO 的相似比为 .
设计意图：通过练习，巩
固学生用图形坐标的变化
来表示图形的位似变换.
师生活动：学生在教师的引导下，共同思考判断正
误并解答.
练习3 在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶
点坐标分别为 O (0，0)，A (6，0)，B (3，6)，C
(-3，3). 以原点 O 为位似中心，画出四边形
OABC 的位似图形，使它与四边形 OABC 的相似是
2 : 3. 设计意图：锻炼自主学习
能力，和归纳总结能力；
加强新旧知识的联系、为
师生活动：教师引导学生分析解题思路，学生独立 学习平面直角坐标系中的
完成作图，选学生板书，教师总结方法. 图形变换做准备.
知识点二：平面直角坐标系中的图形变换
合作探究
至此，我们已经学习了四种图形变换：平移、轴对
称、旋转和位似，你能说出它们之间的异同吗？在如图所示的图案中，你能找到这些变换吗？
设计意图：锻炼学生的作
图能力和综合应用能力；
锻炼解题技巧.
师生活动：学生独立思考积极发言，教师适时归纳
总结.
练习4.将图中的 △ABC 做下列变换，画出相应的
图形，并指出三个顶点的坐标所发生的变化．（每
个小方格的边长均为 1 个单位长度）
(1) 沿 y 轴正向平移 3 个单位长度；
(2) 关于 x 轴对称；
(3) 在点C的左侧，以 C点 为位似中
心，将△ABC 放大为原来的 2 倍；
(4) 以 C 为中心，将△ABC 顺时针旋转180°．
十六、当堂
练习
设计意图：题1、2考查学
生对图形按一定大小比例
放大或缩小后，对应点的
师生活动：学生独立思考并作图计算，教师巡视， 坐标变化的规律的掌握.
选一名学生板书解题过程，教师总结思路.
三、当堂练习
1. 将平面直角坐标系中某个图形的各点坐标做如下
变化，其中属于位似变换的是 ( )
A. 将各点的纵坐标乘 2，横坐标不变
B. 将各点的横坐标除以 2，纵坐标不变
设计意图：考查学生对一
C. 将各点的横坐标、纵坐标都乘 2 个图形按一定大小比例放
D. 将各点的纵坐标减去 2，横坐标加上 2 大或缩小后，对应点的坐
标变化的规律的掌握，发
展空间观念.
2. 如图，小朋在坐标系中以 A 为位似中心画了两
个位似的直角三角形，可不小心把 E 点弄脏了，则
点 E 坐标为 ( )
A．(4，－3)B．(4，－2)
C．(4，－4)
设计意图：考查学生对平
D．(4，－6)
面直角坐标系中的位似变
换的规律和性质的掌握，
锻炼计算能力.
3. 如图，某学习小组在讨论 “变化的鱼”时，知
道大鱼与小鱼是位似图形，则小鱼上的点 (a，b)
对应大鱼上的点 .
设计意图：考查学生对平
面直角坐标系中的图形变
换的掌握，锻炼学生的作
图能力和综合应用能力；
锻炼解题技巧.
4. 原点 O 是 △ABC 和 △A′B′C′ 的位似中心，点
A (1，0) 与点 A′ (－2，0) 是对应点，△ABC 的面
积是 ，则 △A′B′C′ 的面积是 .
5.如图，点 A 的坐标为 (3，4)，点 O 的坐标为
(0，0)，点 B 的坐标为 (4，0).
(1) 将 △AOB 沿 x 轴向左平移1 个单位长度后得
△AOB ，则点 A 的坐标为 ，△AOB 的
1 1 1 1 1 1 1
面积为 ；
(2) 将 △AOB 绕原点旋转 180°后得 △AOB ，则
2 2 2
点 A 的坐标为 ；
2
第2课时 平面直角坐标系中的位似
板书设计
无
课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.这节课主要是让学生感受在平面直角坐标系中的位似图形根据坐标的变化而变
教学反思 化，教学过程中要提高学生学习积极性、使心情愉悦、思维活跃，这样才能真正
激发学生学习数学的兴趣，提高课堂学习效率.
28．1 锐角三角函数
第1 课时 正弦函数
教学内容 第1课时 正弦函数 课时 1
1.通过运用正弦函数的知识解决有关现实问题，培养学生的抽象概括能力，感悟
数学眼光在观察生活变化中的优越性.
核心素养目 2.通过探索学习正弦函数的概念，发展运算能力和推理应用意识，能够探究现实
标 情境中蕴含的数学规律.
3.通过运用正弦函数解决有关现实问题，感悟数学与现实世界的交流方式，感悟
数据的意义与价值.
1．能根据正弦概念正确进行计算；
知识目标 2．能运用正弦函数解决实际问题．
教学重点 能根据正弦概念正确进行计算.
教学难点 能运用正弦函数解决实际问题.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 一、创设情境 导入新知
入
情境引入
比萨斜塔位于意大利中部比萨古城内的教堂广场
设计意图：通过著名建筑
上，是一组古罗马建筑群中的钟楼.该塔于 1174 年
的历史数据和图片引入，
动工兴建，1350 年完工，是 8 层圆柱形建筑，全
吸引学生的课堂注意力，
部用白色大理石砌成，塔高 AB = 54.5 米，塔体总
为后面的学习做铺垫.
重量达 1.42 万吨.由于地面塌陷，该塔逐渐倾斜，
现在塔顶偏离“自然姿势”的水平距离 BC = 5.2
米. 仔细观察下图，你能求出比萨斜塔现在的倾斜
角α是多少吗？
师生活动：学生在教师的引导下，共同思考回顾回答问题.
二、探究新
知
二、探究新知
知识点一：已知直角三角形的边长求正弦值
设计意图：通过对有关现
实问题的思考，锻炼学生
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿 的抽象概括能力；在探究
着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面 的过程中，不自觉感悟正
绿地进行喷灌. 先测得斜坡的坡角 (∠A )为 30°， 弦函数的概念，培养自主
为使出水口的高度达到35 m，需要准备多长的水 学习能力.
管？
合作探究
从上述情境中，你可以发现一个什么数学问题呢？
能否结合数学图形把它描述出来？
设计意图：锻炼学生的抽
象概括能力和综合应用解
师生活动：学生独立思考并作答，教师总结把实际
题的能力.
问题转化成数学问题：
如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，
BC = 35 m，求 AB.
根据“直角三角形中30°角所对的
边等于斜边的一半”，可知
∴ AB = 2BC = 2×35 = 70 (m).
故需要准备 70 m 长的水管.
追问：如果出水口的高度为 50 m，那么需要准备
多长的水管？
师生活动：学生独立思考共同作答，教师总结归纳.
归纳：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论
这个直角三角形大小如何，这个角的
对边与斜边的比都等于 .
设计意图：考查学生对已
学知识的掌握，锻炼综合
应用能力和计算能力.
思考1：在 Rt△ABC 中，如果∠C = 90°，∠A = 45°，
那么 BC 与 AB 的比是一个定值吗？
师生活动：教师引导学生利用含 45°角的直角三角
形的性质，得到AC = BC，再利用勾股定理解答；
学生独立完成计算，教师总结归纳.
归纳：
在直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么无论
这个直角三角形大小如何，这个角的对边与
斜边的比都等于 .
追问：当∠A 是直角三角形中一个大小确定的任意
的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定
值呢？
设计意图：回顾相似三角
形的性质，培养学生的类
思考2：
比推理能力和归纳总结能
任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝
力.
90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关
系？你能解释一下吗？
师生活动：学生在教师的引导下，共同分析解题思
路：因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以
Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'. 所以
归纳：
这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定
时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的
比也是一个固定值．
定义总结
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A
的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sinA，即
例如，当∠A＝30° 时，我们有
当∠A＝45° 时，我们有 设计意图：通过解答例
题，巩固学生对正弦函数
的概念的理解与掌握.
例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，求 sinA
和sinB 的值.设计意图：通过练习，进
一步掌握正弦函数的概念.
师生活动：学生独立思考，选一名学生作答，其他
同学判断正误.
练习1.如图，判断对错：
设计意图：通过练习，锻
炼学生根据正弦概念正确
进行计算的能力.
2. 在 △ABC中，∠C = 90°，AB = 7，BC = 3，
则 sinA 的值为 ( )
设计意图：锻炼学生根据
正弦概念正确进行计算的
能力，提高解题技巧.
师生活动：学生独立思考，选一名学生作答，其他
同学判断正误.
例2 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，
连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角α的正弦
值.
设计意图：通过例题，培
养学生掌握求已知锐角的
师生活动：学生独立思考完成计算，教师总结方 正弦值求直角三角形的边
法： 长的方法；总结解题经验.
在平面直角坐标系求某角的正弦值，一般过已知点
向 x 轴或 y 轴引垂线，构造直角三角形，再结合
勾股定理求解.
知识点二：已知锐角的正弦值求直角三角形的边长
例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA =
，BC = 3，求 sinB 及 Rt△ABC 的面积.师生活动：教师引导学生分析解题思路， 设计意图：通过练习进一
已知 sinA 及∠A 的对边 BC 的长度，可以求出斜 步巩固求已知锐角的正弦
值求直角三角形的边长的
边 AB 的长，然后再利用勾股定理，求出 AC 的长
解题方法.
度，进而求出 sinB 及 Rt△ABC 的面积.
学生独立完成计算，选学生板书，教师总结方法.
练习3. 在Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = ，
BC = 6，则 AB 的长为 ( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
设计意图：锻炼求已知锐
角的正弦值求直角三角形
4. 在△ABC 中，∠C = 90°，如果 sinA = ， 的边长能力，提高解题技
巧.
AB = 6， 那么 BC =_____.
师生活动：学生独立思考并计算，教师巡视，选两
名学生汇报答案，其他同学判断正误.
十七、当堂
练习
例4 在 △ABC 中，∠C = 90°，AC = 24 cm，
sinA = ，求这个三角形的周长．
师生活动：学生独立思考并作图计算，教师巡视，
选一名学生板书解题过程，教师总结思路.
方法总结：已知一边及其邻角的正弦值时，一般需 设计意图：题1、2考查学
结合方程思想和勾股定理解决问题. 生对正弦函数的概念的掌
握，以及根据正弦函数概
念正确计算的能力.
三、当堂练习
1. 在直角三角形 ABC 中，若三边长都扩大为原来
的 2 倍，则锐角 A 的正弦值将 ( )
A. 扩大为原来的 2 倍
设计意图：考查学生综合
B. 不变
应用方程思想和勾股定
C. 缩小为原来的 理，并根据正弦概念正确
进行计算的能力.
D. 无法确定扩大还是缩小
2. 如图，在△ABC 中，∠B = 90°，sinA 的值为
( )
设计意图：考查学生综合
已学知识和正弦概念计算
正弦值的能力.
3. 如图，在正方形网格中有 △ABC，则 sin∠ABC
的值为 .设计意图：考查学生综合
应用正弦函数的概念进行
计算的能力.
4. 如图，点 D (0，3)，O (0，0)，C (4，0) 在 ⊙A
上，BD 是 ⊙A 的一条弦，则 sin∠OBD =_____.
题4 题5
5.如图，在 △ABC 中， AB = BC = 5，sinA =
，求△ABC 的面积.
第1课时 正弦函数
板书设计 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，
记作 sinA.
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
在教学过程中，重视过程，深化理解，通过学生的主动探究来体现他们的主体地
教学反思 位，教师是通过对学生参与学习的启发、调整、激励来体现自己的引导作用，对
学生的主体意识和合作交流的能力起着积极作用.
28．1 锐角三角函数
第2 课时 余弦函数和正切函数
教学内容 第2课时 余弦函数和正切函数 课时 1
1.通过余弦、正切的概念的学习，培养学生的抽象概括能力与合情推理能力.
2.通过探索学习余弦、正切的概念，发展运算能力和推理应用意识，能够自主解
核心素养目
释论证数学的基本结论与方法，养成讲道理、有条理的思维品质.
标
3.通过运用锐角三角函数的概念解决有关现实问题，学生可以简约、精确地描述
发现的数量关系，形成有意识的数据表达.
1．理解并掌握余弦、正切的概念；
知识目标 2．熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算．
教学重点 理解并掌握余弦、正切的概念.
教学难点 熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算.教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 一、复习回顾 导入新知
入
问题引入
设计意图：通过设问，引
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，当锐角 A 确定
导学生回顾正弦函数的概
时，∠A 的对边与斜边的比就随之确定.
念，并引发对本节课内容
的思考，激发学习兴趣；
此时，其他边之间的比是否也确定了呢？ 培养自主学习习惯.
二、探究新
知 二、探究新知
知识点一：余弦
合作探究
如图，△ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中
∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则 成立吗？
为什么？
设计意图：锻炼学生的类
师生活动：学生独立思考提出猜想——成立，并在
比推理和综合应用能力；
教师的引导下共同完成证明.
通过自主探究加深对余弦
定理的理解.
我们来试着证明前面的问题：
∵∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，
∴∠B =∠E．
从而 sinB = sinE，
因此
归纳：
在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角
的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的
大小无关．
如右图所示，在直角三角形中，我们把锐角 A 的
邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作 cosA，即从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角 α，有
cosα = sin(90°－α)．
从而有
sinα = cos(90°－α)．
设计意图：通过练习，巩
固学生对余弦函数的概念
的理解与掌握，锻炼计算
练习1.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝13， 正弦值和余弦值的能力.
AC＝12，则 cosA＝ .
2. 已知直角三角形的斜边与一直角边的比为7：5，
α为其最小的锐角，求α的正弦值和余弦值．
师生活动：学生独立思考并计算，选一名学生作
答，其他同学判断正误.
知识点二：正切
设计意图：考查学生对运
用相似进行证明的掌握；
如图， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中
锻炼自主探究能力和推理
∠A =∠D，∠C = ∠F = 90°，则 成立
能力.
吗？为什么？
师生活动：学生独立完成证明，选学生板书，教师
总结归纳.
∵∠A =∠D ，∠C =∠F = 90°，
∴ Rt△ABC ∽ Rt△DEF.
∴
归纳：
由此可得，在有一个锐角相等的所有直角三角形
中，这个锐角的对边与邻边的比值是一个常数，与
直角三角形的大小无关．
如下图，在直角三角形 ABC 中，我们把锐角 A 的
对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作 tanA， 即
锐角 A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的三角函数. 设计意图：锻炼学生的类
比推理能力.
想一想
如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？
师生活动：学生独立思考，共同作答——互为倒数.
设计意图：通过练习巩固
练习3. 如图，在平面直角坐标系中，若点 P 坐标 学生对正切函数的概念的
为 (3，4)，连接 OP，则 OP 与 x 轴正方向所夹 理解与掌握，锻炼计算正
锐角α的正切值为_____. 切值的能力.
4. 如图，△ABC 中一边 BC 与以 AC 为直径的
⊙O相切与点 C，若 BC = 4，AB = 5，则 tanA
=___.
师生活动：学生独立思考并计算，教师巡视，选两
名学生汇报答案，其他同学判断正误. 设计意图：通过例题，锻
炼学生综合应用勾股定理
计算正弦值、余弦值和正
切值的能力.
知识点三：锐角三角函数
例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB =
10，BC = 6，求 sinA，cosA，tanA 的值.
师生活动：学生独立思考并计算，教师巡视，选一
名学生板书解题过程，教师总结思路.
解：由勾股定理得
设计意图：通过练习进一
步巩固锐角三角函数的求
值方法，锻炼观察发现和
总结能力.
练习5. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 12，AB =13.
sinA =______，cosA =______，
tanA =____，
sinB =______，cosB =______， 设计意图：锻炼学生综合
tanB =____. 分析条件计算余弦值和正
切值的能力，提高解题能
力.
师生活动：学生独立思考并计算，共同作答.教师总
结——在直角三角形中，如果已知两条边的长度，
即可求出所有锐角的正弦、余弦和正切值.
十八、当堂
例 2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC =
练习
6，sinA = ，求 cosA，tanB 的值．
师生活动：学生独立思考并计算，教师巡视，选一 设计意图：考查学生对运
名学生板书解题过程，教师总结思路. 用余弦定理计算邻边的掌
握.
三、当堂练习 设计意图：考查学生对锐
角三角函数的概念和正弦
1. 如图，在 Rt△ABC 中，斜边 AB 的长为 m， 函数的性质的掌握.
∠A = 35°，则直角边 BC 的长是 ( )
设计意图：考查学生综合
应用锐角三角函数的概
念，正确进行计算的能力.
2. sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是 ( )
A. tan70°＜cos70°＜sin70°
B. cos70°＜tan70°＜sin70°
C. sin70°＜cos70°＜tan70°
D. cos70°＜sin70°＜tan70°
设计意图：考查学生综合
应用锐角三角函数的概
3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，cosA = 念，正确进行计算的能力.
，求sinA，tanA 的值．
4. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，
CD⊥AB，垂足为 D. 若 AD = 6，CD = 8. 求
tanB的值.第2课时 余弦函数和正切函数
板书设计 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，锐角∠A 的大小确定的情况下，cosA，tanA 为定
值，与直角三角形的大小无关.
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
在数学学习中，有一些学生往往不注重基本概念、基础知识，认为只要会做题就
可以了，结果往往失分于选择题、填空题等一些概念性较强的题目．通过引导学
教学反思
生进行知识梳理，教会学生如何进行知识的归纳、总结，进一步帮助学生理解、
掌握基本概念和基础知识.
28.1 锐角三角函数
第3 课时 特殊角的三角函数值
教学内容 第3课时 特殊角的三角函数值 课时 1
1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义，
培养学生的抽象、总结能力.
核心素养目 2.通过探索学习特殊角的三角函数值，发展运算能力和推理应用意识，能够自主
标 分析、解决简单的数学问题与实际问题.
3.通过运用特殊角的三角函数值解决有关现实问题，学生可以简约、精确地描述
实际生活中的的数量关系.
1．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；
知识目标 2．能够结合30°、45°、60°的三角函数值解决简单数学问题．
教学重点 能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
教学难点 能够结合30°、45°、60°的三角函数值解决简单数学问题.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 一、复习回顾 导入新知
入
问题引入
设计意图：通过计算，引
导学生回顾锐角三角函数
的概念；并通过计算得到
互余的两角之间的三角函
数值之间的关系，为学习
特殊角的三角函数值做准
备.互余的两角之间的三角函数值之间的关系：
若∠A +∠B = 90°，则 sinA cosB，
cosA sinB， tanA · tanB = .
二、探究新
知
二、探究新知
知识点一：30°、45°、60° 角的三角函数值
设计意图：锻炼学生的类
合作探究
比推理和观察总结能力；
两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个
通过计算特殊角的正弦
锐角的正弦值、余弦值和正切值．
值、余弦值和正切值，加
深对特殊角的三角函数值
的理解与记忆.
(1) (2)
师生活动：学生思考共同作答——有30°、45°、60°
三个锐角，独立完成计算，教师巡视.
如图(1)，设 30° 角所对的直角边长为 a，那么斜边
长为 2a，另一条直角边长为
如图(2)，设两条直角边长为 a，则斜边长为
归纳：
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如右
表：
设计意图：通过练习，巩固学生对 30°、45°、60°
角的三角函数值的掌握，
锻炼运用 30°、45°、60°
角的三角函数值进行计算
例1 求下列各式的值： 的能力.
(1) cos260° + sin260°；
师生活动：学生独立思考并计算，选两名学生板
设计意图：进一步巩固
书，教师巡视；对于有困难的同学，可做出如下提
30°、45°、60°角的三角函
示：cos260° 表示(cos60°)2，即 (cos60°)×(cos60°).
数值；锻炼计算能力.
练习1.计算：
(1) sin30°+ cos45°；
(2) sin230°+ cos230°- tan45°.
师生活动：学生独立思考并计算，教师巡视. 设计意图：培养学生的类
比推理能力，发展逆向思
维；锻炼计算能力，进一
步加强对特殊角的三角函
数值的掌握.
知识点二：通过三角函数值求角度
例2 (1) 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB
= ， BC = ，求∠A 的度数；
图(1) 图(2)
(2) 如图，AO 是圆锥的高，OB 是底面半径，AO
= OB，求α的度数. 设计意图：通过练习巩固
利用三角函数值求角度的
方法.
师生活动：学生在教师的引导下思考解题思路——
我们知道30°、45°、60°角具有特殊的三角函数值，
所以计算∠A、α的三角函数值，如果是特殊值就能
求出对应的度数；学生独立思考完成计算，选两名
学生板书，教师巡视.
设计意图：锻炼学生的综
练习3. 求满足下列条件的锐角α. 合应用能力和计算能力；
考查学生对三角函数值求
(1) 2sinα- = 0； (2) tanα-1 = 0. 角度的掌握.
师生活动：学生独立完成计算教师巡视.
设计意图：锻炼学生的综
例3 已知 △ABC 中的∠A 与锐角∠B 满足 (1－ 合应用能力，提高解题技tanA)2＋|sinB－ |＝0，试判断 △ABC 的形状． 巧.
师生活动：学生独立思考并计算，教师巡视，选一
名学生板书解题过程，教师总结思路.
十九、当堂
练习
练习4. 已知 △ABC 中的锐角∠A 和∠B 满足
| tanB - | ＋ (2sinA - )2 ＝0，求∠A，∠B
设计意图：考查学生对三
的度数. 角函数值求角度的方法的
掌握.
师生活动：学生独立思考并计算，教师巡视.
设计意图：考查学生对特
殊角的三角函数值的掌握.
三、当堂练习
1. tan (α + 20°)＝1，锐角 α 的度数应是 ( ) 设计意图：考查学生综合
应用特殊角的三角函数值
A. 40° B. 30° C. 20° D. 10°
进行计算的能力.
2. 已知∠A 为锐角，sinA = ，则下面正确的是
设计意图：考查结合30°、
( )
45°、60°的三角函数值解
决数学问题的能力.
3. 在 △ABC 中，若 ，则
∠C = °.
4. 如图，在△ABC 中，∠A = 30°， ，求
AB 的长度.
第3课时 特殊角的三角函数值
板书设计
无
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
课程设计中引入非常直接，由三角尺引入，直击课题，同时也对前两节学习的知
教学反思 识进行了整体的复习，效果很好．在讲解特殊角的三角函数值时讲解的也很细，
可以说前面部分的教学很成功，学生理解的很好.28.1 锐角三角函数
第4 课时 用计算器求锐角三角函数值及锐角
教学内容 第4课时 用计算器求锐角三角函数值及锐角 课时 1
1.经历学习掌握用计算器求三角函数值的方法的过程，培养学生的抽象、总结能
力.逐步培养用数学眼光观察世界的习惯，发展好奇心和创新意识.
核心素养目 2.通过探索学习用计算器求三角函数值的方法，发展运算能力和应用意识，在解
标 决实际问题的过程中形成实事求是的科学态度.
3.通过运用计算器求三角函数值解决实际问题，学生能够有意识地运用数学语言
表达显示生活中事物的性质、关系和规律.
1．初步掌握用计算器求三角函数值的方法；
知识目标 2．利用计算器初步探索三角函数的性质．
教学重点 初步掌握用计算器求三角函数值的方法.
教学难点 利用计算器初步探索三角函数的性质.
教学准备 课件、计算器
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 一、复习回顾 导入新知
入
复习引入
填表
设计意图：通过计算，引
导学生回顾 30°、45°、60°
等特殊角三角函数值，为
后面的学习做准备；并顺
势引出对非特殊角的三角
函数求值的探究，激发学
生的探索与和学习兴趣.
通过前面的学习，我们知道当锐角 A 是 30°、
45°、60° 等特殊角时，可以求得这些特殊角的三角
函数值；如果锐角 A 不是这些特殊角，怎样得到它
的三角函数值呢？
二、探究新
知 二、探究新知
知识点一：用计算器求锐角的三角函数值或角的度
数
合作探究
设计意图：经历学习用计
算器求三角函数值的方法
例1 (1) 用计算器求 sin18°的值；
的过程，培养学生的实
(2) 用计算器求 tan30°36′ 的值；
践、总结能力；初步掌握
(3) 已知 sinA = 0.501 8，用计算器求 ∠A 的
用计算器求三角函数值的
度数.方法.
师生活动：学生在教师的引导下完成操作，教师巡
视指导.
解：第一步：按计算器上的 键；
第二步：输入角度值 18 ；
第三步：按 “ = ” 号键，屏幕显示结果
0.309 016 994.
解：方法①
第一步：按计算器上的 键；
第二步：输入角度值30.6 (因为30°36′
= 30.6°)；
第三步：按 “ = ” 号键，屏幕显示结果
0.591 398 351.
方法②：
第一步：按计算器上的 键；
第二步：输入角度值30，分值36 (使用
键)；
第三步：按 “ = ” 号键，屏幕显示结果
0.591 398 351.
解：第一步：按计算器上的 和 键；
第二步：然后输入正弦函数值 0. 501 8；
第三步：按 “ = ” 号键，屏幕显示结果
30.119 158 67° (按实际需要精确).
还可以利用 和 键，进一步得到
∠A = 30°07′08.97″ (这说明锐角 A 精确到 1′ 的结
果为 30°7′，精确到 1″ 的结果为 30°7′9″).
设计意图：通过练习，巩
练习1. 用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)：
固学生对用计算器求三角
(1) sin47°；
函数值的方法的掌握.
(2) sin12°30′；
(3) cos25°18′；
(4) sin18°＋ cos55°－ tan59°.
2. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角
∠A，∠B 的度数 (结果精确到 0.1°)：
(1) sinA＝0.7，sinB＝0.01；
(2) cosA＝0.15，cosB＝0.8；
(3) tanA＝2.4，tanB＝0.5.
师生活动：学生独立操作并计算，教师巡视.
设计意图：锻炼学生利用
计算器求三角函数值的方
知识点二：利用计算器探索三角函数的性质
法的计算能力；培养观察
例2 (1) 通过计算 (可借助计算器)，比较下列各组
总结能力和自主学习习惯.
值的大小，并提出你的猜想：
① sin30°____2sin15°cos15°；
② sin36°____2sin18°cos18°；
③ sin45°____2sin22.5°cos22.5°；④ sin60°____2sin30°cos30°；
⑤ sin80°____2sin40°cos40°.
猜想：
已知 0°＜α＜45°，则 sin2α___2sinαcosα.
师生活动：学生独立操作并计算，教师巡视；师生
共同总结猜想.
设计意图：锻炼学生的证
明能力，提高解题技能；
(2) 如图，在△ABC 中，AB = AC = 1，∠BAC = 初步掌握三角函数的性质.
2α，请利用面积方法验证 (1) 中的结论．
师生活动：教师引导学生思考解题思路，学生独立
完成证明，选一名学生板书，教师规范证明过程.
证明：∵ S = AB · sin2α· AC = sin2α，
△ABC
S = ×2AB·sinα· AC·cosα
△ABC
= sinα· cosα，
∴ sin2α= 2sinαcosα.
设计意图：锻炼学生利用
练习3. (1) 利用计算器求值，并提出猜想 (结果保 计算器求三角函数值的方
留四位小数)： 法的计算能力；培养观察
总结能力和自主学习习惯.
sin25°≈ ，cos65°≈ ；
cos58°≈ ，sin32°≈ ；
sin67°≈ ，cos23°≈ ；
cos17°≈ ，sin73°≈ ．
猜想：已知 0°＜α＜90°，
则 sinα cos(90°- α)，
cosα sin(90°- α).
(2) 利用计算器求值，并提出猜想 (结果保留四位小
数)：
sin20°≈ ，cos20°≈ ，
sin220°≈ ，cos220°≈ ；
sin35°≈ ，cos35°≈ ，
sin235°≈ ，cos235°≈ ；
猜想：
二十、当堂 已知 0°＜α＜90°，则sin2α+ cos2α = .
练习设计意图：考查学生对用
计算器求三角函数值的方
师生活动：学生独立完成计算教师巡视.
法的掌握.
三、当堂练习
1.用计算器求 sin24°37′18″ 的值，以下按键顺序正
设计意图：考查学生运用
确的是 ( )
三角函数值的性质解题的
能力.
2. 下列式子中，不成立的是 ( ) 设计意图：考查学生利用
A．sin35°= cos55° 计算器求值的能力.
B．sin30°+ sin45°= sin75°
C．cos30°= sin60°
D．sin260°+ cos260°= 1
3. 利用计算器求值： 设计意图：考查学生的运
(1) sin40° ≈ (精确到 0.0001)； 用三角函数的性质求角度
数的能力，锻炼计算能力.
(2) sin15°30′ ≈ (精确到 0.0001)；
(3) 若sinα= 0.5225，则α≈ (精确到
0.1°)； 设计意图：考查学生的综
(4) 若sinα= 0.8090，则α≈ (精确到 合应用能力.
0.1°).
4. 已知 sin232°+ cos2α= 1，则锐角α = .
5.在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠BAC = 42°24′，
∠BAC的平分线 AT = 14.7 cm，用计算器求 AC 的
长(精确到0.001 cm).
第4课时 用计算器求锐角三角函数值及锐角
板书设计
无
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
备课时尽可能站在学生的角度思考问题，设计好教学的每一个细节，让学生更多
地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的
教学反思
挫折．舍得把课堂让给学生，尽最大可能在课堂上投入更多的情感因素，丰富课
堂语言，使课堂更加鲜活，充满人性魅力，真正提高课堂教学效率，提高成绩.28.2.1 解直角三角形
教学内容 28.2.1 解直角三角形 课时 1
1.经历探索学习解直角三角形的意义和条件，培养学生的抽象能力和几何直观.能
够在实际情境中发现和提出有意义的数学问题和规律.
核心素养目 2.通过探索学习根据元素间的关系，选择适当的关系式的方法，发展符号运算能
标 力和推理意识，发展质疑问难的批判性思维.
3.通过运用元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素，学生能够形
成数学语言的表达与交流能力，理解数据的意义与价值.
1．理解解直角三角形的意义和条件；
知识目标 2．根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素．
教学重点 理解解直角三角形的意义和条件.
教学难点 根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 一、复习回顾 导入新知
入
复习引入
如图，在 Rt△ABC 中，共有六个元素（三条边， 设计意图：通过计算填
三个角）， 其中∠C = 90°. 空，引导学生回顾直角三
角形的三边、锐角以及边
(1) 三边之间的关系：a2 + b2 =_____； 角之间的关系，为后面的
学习做准备.
(2) 锐角之间的关系：
∠A +∠B =_____；
(3) 边角之间的关系：sinA =_____，
cosA =_____，tanA =_____.
二、探究新
二、探究新知
知
知识点一：已知两边解直角三角形
合作探究
在图中的 Rt△ABC 中，
(1) 根据∠A = 75°，斜边 AB = 6，
你能求出这个直角三角形的其他元
素吗？
(2) 根据 AC = 2.4，AB = 6，你能求出这个直角三
设计意图：通过引导学生
角形的其他元素吗？
根据已知条件计算直角三
角形的其他元素，使学生
师生活动：教师引导学生找出这个直角三角形的其
理解解直角三角形的意义
他元素，后依次计算；选一名学生板书，教师巡视.
和条件.
解：(1)解：(2)
归纳
在直角三角形中，除直角外有 5 个元素(即 3 条边
长、2 个锐角)，只要知道其中的 2 个元素(至少有 1
设计意图：通过例题，巩
个是边长)，就可以求出其余的 3 个未知元素.
固学生对解直角三角形的
意义和条件的理解和掌握.
由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的
过程，叫做解直角三角形.
例 1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC
= ，BC = ，解这个直角三角形. 设计意图：锻炼学生解直
角三角形的能力，进一步
掌握已知两边的条件下，
解直角三角形的方法.
师生活动：学生独立操作并计算，选一名好学生板
书，教师巡视.
练习 1.已知 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a = 30，
b = 20，解此直角三角形. 设计意图：通过例题，引
导学生学习已知一边及一
锐角解直角三角形的方法.
师生活动：学生独立完成计
算，教师巡视后适当讲解.
知识点二：已知一边及一锐角解直角三角形
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B =
35°，b = 20，解这个直角三角形 (结果保留小数
点后一位).设计意图：锻炼学生利用
已知一边及一锐角的条件
解直角三角形的能力.
师生活动：教师引导学生共同分析解题思路，学生
独立计算，教师巡视；学生完成后教师适当讲解.
练习2. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 72°，
设计意图：通过例题，引
c = 14 . 根据条件解直角三角形.
导学生学习已知一锐角三
角函数值解直角三角形的
方法.
师生活动：学生独立完成计算，选一名学生板书，
教师巡视. 设计意图：锻炼学生利用
已知一锐角三角函数值的
条件解直角三角形的能力.
知识点三：已知一锐角三角函数值解直角三角形
例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，cosA =
，BC = 5，试求 AB 的长.
师生活动：教师引导学生共同分析解题思路，学生
独立计算，教师巡视；学生完成后教师适当讲解.
练习3. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = ，
二十一、当 BC = 6，则AB的长为 ( )
堂练习
A．4 B．6 C．8 D．10
设计意图：考查学生能否
根据元素间的关系，选择
适当的关系式，求出所有
未知元素.
4. 如图，在菱形 ABCD 中，AE⊥BC 于点 E，EC
= 4， sinB = ，则菱形的周长是 ( )
A．10 B．20
C．40 D．28设计意图：题2、3考查学
师生活动：学生独立完成计算，选两名学生作答，
生利用已知一边及一锐角
教师巡视.
的条件解直角三角形的能
力.
三、当堂练习
1.在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a，b，c 分别是
∠A，∠B，∠C 的对边，则下列各式正确的是
( )
设计意图：锻炼学生综合
A. b = a·tanA B. b = c·sinA
应用能力，能够根据元素
C. b = c·cosA D. a = c·cosA 间的关系，选择适当的关
系式进行解直角三角形.
2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B =
30°，
设计意图：锻炼作辅助线
构造相应直角三角形，从
AB = 8，则 BC 的长是 ( )
而利用所学解决问题的能
力.
3. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 37°，BC =
32，则 AC = (参考数据：sin37°≈ 0.60，
cos37°≈ 0.80，tan37°≈ 0.75).
4.如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，角
平分线 ，解这个直角三角形.
5.如图，在△ABC 中，∠B = 30°，∠C = 45°，AC
= 2，求 BC 的长.
28.2.1 解直角三角形
板书设计
无
课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.本节课的设计，力求体现新课程理念．给学生自主探索的时间和宽松和谐的氛
教学反思 围，让学生学得更主动、更轻松，力求在探索知识的过程中，培养探索能力、创
新精神和合作精神，激发学生学习数学的积极性和主动性.
28.2.2 应用举例
第1课时 解直角三角形的简单应用
教学内容 第1课时 解直角三角形的简单应用 课时 1
1.经历探索学习解直角三角形的简单应用，培养学生的抽象能力、几何直观与创
新意识；逐步培养用数学眼光观察世界的习惯，形成对数学的好奇心和兴趣，发
展创新意识.
核心素养目
2.通过探索直角三角形的简单应用，发展符号运算能力和推理意识，探究现实情
标
境所蕴含的数学规律，经历“再发现”过程.
3.通过探索直角三角形的简单应用，能够把实际问题中构建普适的数学模型，形
成数学表达和交流能力，形成合理的决策，发展实践能力.
1.通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解题过程中的作用；
知识目标 2.能够把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并运用解直角三角形求解．
教学重点 通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解题过程中的作用.
教学难点 能够把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并运用解直角三角形求解.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 一、创设情境 导入新知
入
情境引入
高跟鞋深受很多女性的喜爱，但如果鞋跟太高， 设计意图：通过精美的图
也有可能“喜剧”变“悲剧”. 片和高跟鞋历史故事的情
境导入，吸引学生的课堂
注意力；激发学生的学习
兴趣和探索欲望.
美国某人体工程学研究人员调查发现，70％以上
的女性喜欢穿鞋跟高度为 6 至 7 cm 左右的高跟
鞋. 但专家认为穿 6 cm 以上的高跟鞋，腿肚、脚
背等处的肌肉非常容易疲劳.
若某成年人的脚掌长为 15 cm，则鞋跟约在 3 cm
左右高度为最佳. 据此，可以算出高跟鞋的鞋底与
地面的夹角为 11° 左右时，人脚的感觉最舒适.你知道专家是怎样计算的吗？
二、探究新
知
二、探究新知
知识点一：利用解直角三角形解决简单实际问题
设计意图：通过问题探究
余解答，引导学生归纳利
合作探究
用解直角三角形解决简单
实际问题的一般方法；考
探究一：棋棋去景点游玩，乘坐登山缆车的吊箱经
查学生的抽象能力和自主
过点 A 到达点 B 时，它走过了 200 m. 在这段
学习能力；锻炼应用能力
路程中缆车行驶的路线与水平面的夹角为 30°，你
和运算能力.
知道缆车上升的垂直高度是多少吗?
探究二：棋棋乘缆车继续从点 B 到达比点 B 高
200 m 的点 C， 如果这段路程缆车的行驶路线与
水平面的夹角为 60°，缆车行进速度为 1 m/s，棋
棋需要多长时间才能到达目的地？
师生活动：教师引导学
生将实际问题抽象为数
学问题；画出相应平面
图形并计算，教师巡视.
设计意图：通过例题，进
一步帮助归纳利用解直角
三角形解决简单实际问题
例1 “神州”九号与“天宫”一号目标飞行器实现 的一般方法；感受锐角三
交会对接的组合体在离地球表面 343 km 的圆形轨 角函数在解题实际问题中
道上运行. 如图，当组合体运行到地球表面 P 点 的作用.
的正上方时，从飞船上能直接看到的地球表面最远
的点在什么位置？最远点与 P 点的距离是多少（地
球半径约为 6400 km，π 取 3.142，结果取整
数）？
师生活动：学生独立思考并计
算，选一名学生板书，教师巡视.
归纳
利用解直角三角形解决实际问题
的一般过程：
1. 将实际问题抽象为数学问题；
画出平面图形，转化为解直角三角形的问题
2. 根据题目条件，解直角三角形；
3. 得到数学问题的答案；
设计意图：锻炼学生利用4. 得到实际问题的答案. 解直角三角形解决简单实
际问题的的能力；感受锐
角三角函数在解题实际问
题中的作用.
练习 1.“欲穷千里目，更上一层楼”是唐代诗人王
之涣的不朽诗句. 如果我们想在地球上看到距观测
点 1000 里处的景色，“更上一层楼”中的楼至少有
多高呢？存在这样的楼房吗 (设 代表地面，O 为
地球球心，C 是地面上一点， = 500 km，地球
的半径为 6 370 km，cos4.5°= 0.997)？
设计意图：通过例题，锻
炼将实际问题抽象为数学
师生活动：学生独立完成计算，教师巡视后适当讲
问题，并画出相应图形；
解.
提高解题能力.
例2 如图，秋千链子的长度为 3 m，静止时的秋
千踏板（大小忽略不计）距地面 0.5 m．秋千向两
边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线
的夹角）约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离为
多少？
师生活动：教师引导学生共同分析解题思路——
根据题意可知秋千踏板与地面的最大距离为 CE 的
长度. 因此，本题可抽象为：已知 DE = 0.5 m，
设计意图：考查学生的抽
AD = AB = 3 m，∠CAB = 60°，∠ACB 为直
象能力和对这类题型解题
角，求 CE 的长；
方法的掌握.
学生独立计算，教师巡视.
练习2. 如图，在电线杆上的 C 处引拉线 CE，CF
固定电线杆. 拉线CE和地面成 60° 角，在离电线
杆 6 米的 A 处测得 AC 与水平面的夹角为 30°，
已知 A 与地面的距离为 1.5 米，求拉线 CE 的长.
二十二、当
堂练习
师生活动：学生独立完成计算，选一名学生板书，
教师巡视.
三、当堂练习设计意图：题1、2考查学
1. 课外活动小组测量学校旗杆的高度. 当太阳光线 生利用解直角三角形解决
与地面成 30° 角时，测得旗杆在地面上的影长为 24 简单实际问题的能力，锻
米，那么旗杆的高度约是 ( ) 炼抽象能力和运算能力.
2. 一次台风将一棵大树刮断，经测量，大树刮断一
端的着地点 B 到树根部 C 的距离为 4 米，倒下
部分 AB 与 地平面BC的夹角为45°，则这棵大树
原高 米.
设计意图：考查对特殊角
的三角函数值的掌握；锻
炼学生利用解直角三角形
解决简单实际问题的能力.
3. 如图，要测量点 B 到河岸 AD 的距离，在 A
点测得∠BAD = 30°，在 C 点测得∠BCD = 60°，
又测得AC = 100米，则 B 点到河岸 AD 的距离
为 ( )
设计意图：考查学生抽象
作图并利用解直角三角形
解决实际问题的能力；锻
炼作辅助线构造相应直角
三角形的能力.
4. (1) 小华去实验楼做实验，两幢实验楼的高度 AB
= CD = 20 m，两楼间的距离 BC = 15 m，已知太
阳光与水平线的夹角为 30°，求南楼的影子在北楼
上有多高；
(2) 小华想：若设计时要求北楼的采光不受南楼的
影响，那么楼间距 BC 长至少应为多少米?
第1课时 解直角三角形的简单应用
利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：
1. 将实际问题抽象为数学问题；
板书设计 画出平面图形，转化为解直角三角形的问题
2. 根据题目条件，解直角三角形；
3. 得到数学问题的答案；
4. 得到实际问题的答案.
课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.本节课为了充分发挥学生的主观能动性，可引导学生通过小组讨论，大胆地发表
教学反思 意见，提高学生学习数学的兴趣．能够使学生自己构造实际问题中的直角三角形
模型，并通过解直角三角形解决实际问题.
28.2.2 应用举例
第2课时 利用仰俯角解直角三角形
教学内容 第2课时 利用仰俯角解直角三角形 课时 1
1.经历探索学习掌握仰角、俯角的意义，培养学生的抽象能力与几何直观；感悟
数学的应用价值.
2.通过学习利用仰角、俯角转化为解直角三角形解决实际问题，理解数学基本概
核心素养目
念和发展的发生、发展过程，发展符号运算能力和推理意识，理解数学与现实世
标
界之间的联系.
3.通过利用仰角、俯角转化为解直角三角形解决实际问题，形成数学模型意识和
观念，培养应用意识，养成用数学语言表达和交流的习惯.
1．使学生掌握仰角、俯角的意义，并学会正确地判断；
知识目标 2．初步掌握将实际问题转化为解直角三角形问题的能力．
教学重点 使学生掌握仰角、俯角的意义，并学会正确地判断.
教学难点 初步掌握将实际问题转化为解直角三角形问题的能力.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 一、创设情境 导入新知
入
情境引入
某探险者某天到达如图所示的点 A 处时，准备 设计意图：通过精美的图
片和探险者登峰的故事导
估算出离他的目的地——海拔 3 500 m 的山峰顶点
入，吸引学生的课堂注意
B 处的水平距离.他能想出一个可行的办法吗？
力；激发学生的学习兴趣
和探索欲望.
通过这节课的学习，相信你也行.二、探究新
知
二、探究新知
设计意图：让学生初步了
知识点一：解与仰俯角有关的问题 解仰俯角的概念，并学会
正确地判断，为后面的学
如图，在进行测量时，从下往上看，视线与水平线 习做准备.
上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线
下方的夹角叫做俯角.
师生活动：教师引导学生掌握仰俯角的概念，并让
设计意图：通过例题，进
学生自己画出一组仰俯角，教师巡视.
一步帮助掌握仰俯角的概
念；感受解直角三角形在
解决实际问题中的作用；
提高解题能力.
例1 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶
部的仰角为 30°，看这栋高楼底部的俯角为 60°，热
气球与高楼的水平距离为 120 m，这栋高楼有多高
（结果精确到 0.1 m）？
师生活动：教师引导学生，共同分析解题思路——
分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线
在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯
角，因此，在图中，α= 30°，β= 60°.
设计意图：锻炼学生利用
俯仰角的概念解直角三角
在 Rt△ABD 中，α= 30°，AD = 120，所以利用解 形，从而解决简单实际问
直角三角形的知识可求出 BD 的长；同理可求出 CD 题的的能力.
的长，进而求得 BC 的长，即这栋楼的高度.
学生独立完成计算，教师巡视.
练习 1.“建筑物 BC 上有一旗杆 AB，由距 BC 40
m 的 D 处观察旗杆顶部 A 的仰角为 54°，观察底
部 B 的仰角为 45°，求旗杆的高度（精确到 0.1
m）.
设计意图：通过例题，学习更多仰角、俯角问题的
常见基本模型的求解方
法；提高解题能力.
师生活动：学生独立完成计算，教师巡视；学生完
成后教师适当讲解.
例2 如图，小明想测量塔 AB 的高度.他在 D 处
仰望塔顶，测得仰角为 30°，再往塔的方向前进 50
m 至 C 处.测得仰角为 60°，小明的身高 1.5 m.那
么该塔有多高? (结果精确到 1 m)，你能帮小明算
出该塔有多高吗?
设计意图：考查学生的抽
象能力和对这类题型解题
方法的掌握.
师生活动：教师引导学生共同分析解题思路——
由图可知，塔高 AB 可以分为上下两部分，上部分
AB′ 可以在 Rt△AD′B′ 和 Rt△AC′B′ 中利用仰角的
正切值求出，B′B 与 D′D 相等.
学生独立计算，教师巡视.
练习2.如图，直升飞机在长 400 米的跨江大桥 AB
的上方 P 点处，在大桥的两端测得飞机的仰角分别
为 37° 和 45°，求飞机的高度.（结果
取整数. 参考数据：sin37°≈ 0.6，cos37°≈ 0.8，
tan 37°≈ 0.75）
二十三、当
堂练习
师生活动：学生独立完成计算，选一名学生板书，
教师巡视.
设计意图：题1、2考查学
生对仰角、俯角概念的掌
握，及解简单的直角三角
形的能力.
三、当堂练习
1. 如图①，在高出海平面 100 米的悬崖顶 A 处，
观测海平面上一艘小船 B，并测得它的俯角为
45°，则船与观测者之间的水平距离 BC =_____米.设计意图：考查对仰角、
俯角概念的掌握；锻炼学
生利用解直角三角形解决
简单实际问题的能力.
2. 如图②，两建筑物 AB 和 CD 的水平距离为 30
米，从A点测得 D 点的俯角为30°，测得 C 点的
俯角为 60°，则建筑物 CD 的高为_____米.
设计意图：考查学生对仰
角、俯角问题的常见基本
3. 如图，在电线杆上离地面高度 5 m 的 C 点处
模型；锻炼利用仰角、俯
引两根拉线固定电线杆，一根拉线 AC 和地面成
角转化解直角三角形解决
60°角， 另一根拉线 BC 和地面成 45°角．则两根
实际问题的能力.
拉线的总长度为 m (结果保留根号).
4. 目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图
所示，新电视塔高 AB 为 610 米，远处有一栋大
楼，某人在楼底 C 处测得塔顶 B的仰角为 45°，在
楼顶 D 处测得塔顶 B 的仰角为 39°．（tan39° ≈
0.81）
(1) 求大楼与电视塔之间的距离 AC；
(2) 求大楼的高度 CD（精确到 1 米）.
B
D 39° E
45°
C A
第2课时 利用仰俯角解直角三角形
仰角、俯角问题的常见基本模型：
板书设计
课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.备课时尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学过程中的每一个细节．上
课前多揣摩，让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，
教学反思 体验成功的喜悦和失败的挫折，舍得把课堂让给学生，让学生做课堂这个小小舞
台的主角．使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下课后多反思，做好反馈工作，不
断总结得失，不断进步．只有这样，才能真正提高课堂教学效率.
28.2.2 应用举例
第3课时 利用方向角、坡度解直角三角形
教学内容 第3课时 利用方向角、坡度解直角三角形 课时 1
1.经历探索学习测量中方位角、坡角、坡度的概念，培养学生的抽象能力与几何
直观；可以从现实世界的客观现象中发现数量关系与空间形式，理解自然现象背
后的数学原理.
核心素养目
2.通过学习利用方向角、坡度解直角三角形并解决实际问题，培养用数学的基本
标
方法去分析、解决数学或实际问题的习惯，逐步形成理性精神.
3.通过应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的问题，形成构建数学
模型的意识和观念，能够精确地描述日常生活中的数量关系与空间形式.
1．知道测量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度与坡角的关系；
知识目标 2．能够应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的问题．
教学重点 知道测量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度与坡角的关系.
教学难点 能够应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的问题.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 一、复习回顾 导入新知
入
复习引入
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标
方向线构成的小于 90° 的角，叫做方向角. 如图： 设计意图：通过复习回顾
方位及方向角的概念，为
学习利用方向角解直角三
角形并解决实际问题做准
备.
二、探究新
知
二、探究新知
知识点一：解与方向角有关的
问题 设计意图：通过解决例
题，进一步巩固方位角的
例 1 如图，一艘海轮位于灯塔 概念；锻炼自主学习能力
P 的北偏东 65° 方向，距离灯 和解题能力，在解题过程
塔 80 n mile 的 A 处，它沿 中自发感悟方法与经验.
正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34°方向上的 B 处，这
时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远（精确到
0.01 n mile）？
师生活动：教师引导学生，共同分析解题思路，
学生独立完成计算，教师巡视.
解：如图，在 Rt△APC 中，
PC = PA·cos(90°－65°)
= 80×cos25°≈ 72.505.
在 Rt△BPC 中，∠B = 34°，
因此，当海轮到达位于灯塔 P的南偏东 34°方向
设计意图：通过例题，进
时，它距离灯塔 P 大约 129.66 n mile.
一步帮助掌握方位角的概
念；感受解直角三角形在
解决实际问题中的作用；
提高解题能力.
例2 如图，海岛 A 的周围 8 海里内有暗礁，渔
船跟踪鱼群由西向东航行，在点 B 处测得海岛 A
位于北偏东 60°，航行 12 海里到达点 C 处，又测
得海岛 A 位于北偏东 30°，如果渔船不改变航向继
续向东航行，有没有触礁的危险？
师生活动：教师引导学生共同分析解题思路，学生
独立计算，教师巡视.
解：过 A 作 AF⊥BC 于点 F，则 AF 的长是 A
到 BC 上所有点中的最短距离.
∵ BD∥CE∥AF，
∴∠DBA =∠BAF = 60°，∠ACE =∠CAF = 30°．
∴∠BAC =∠BAF－∠CAF = 60°－ 30°= 30°.
又∵∠ABC =∠DBF－∠DBA = 90°－ 60°
= 30°=∠BAC，
∴ BC = AC = 12 海里．
设计意图：锻炼学生利用
∴ AF = AC · cos30°= 6 ≈ 10.392 ＞ 8，
方位角的概念解直角三角
形，从而解决简单实际问
故渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险． 题的的能力.
练习1.如图，A，B 两城市相距 200 km. 现计划在
这两座城市间修筑一条高速公路 (即线段 AB)，经
测量，森林保护中心 P 在 A 城市的北偏东 30°和 B
城市的北偏西 45°的方向上．已知森林保护区的范
围在以 P 点为圆心，100 km 为半径的圆形区域
内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保
护区(参考数据： )？师生活动：学生独立完成计算，教师巡视；学生完
成后教师适当讲解.
设计意图：通过实际情境
问题，引发学生思考，发
展空间观念；教师顺势引
出坡角与坡度的概念以及
知识点二：解与坡度有关的问题
坡度与坡角的关系，提高
观察与思考 抽象能力、形成构建数学
模型的意识和观念.
如图，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BC，哪条路
比较陡？
如何用数量来刻画哪条路更陡呢？
设计意图：通过练习帮助
3.坡度与坡角的关系 学生掌握坡角与坡度的概
念及关系；学会应用坡角
与坡度的概念及关系解直
即坡度等于坡角的正切值. 角三角形.
练习
1. 斜坡的坡度是 ，则坡角α=____度.
2. 斜坡的坡角是 45°，则坡比是 _____.
3. 斜坡长是 12 米，坡高 6 米，则坡比是_______.
设计意图：通过例题，锻
炼学生应用坡角与坡度的
概念及关系解直角三角
形；提高解题能力.
师生活动：学生独立完成计算，教师巡视；选一名
学生作答，其他同学判断正误.
例3 如图，一山坡的坡度为 i = 1∶2 . 小刚从山脚A 出发，沿山坡向上走了 240 m 到达点 C. 这座山
坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确
到 0.01°，长度精确到 0.1 m）？
设计意图：考查学生应用
坡角与坡度的概念及关系
解直角三角形的能力，以
及对这类题型解题方法的
掌握.
师生活动：学生独立完成计算，跟随教师引导师生
共同完成例题.
例4 如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 6
m，坝高 23 m，斜坡 AB 的坡度 i = 1∶ 3，斜坡
CD 的坡度 i = 1∶2.5，求：
(1) 斜坡 CD 的坡角α(精确到 1°)；
(2) 坝底 AD 与斜坡 AB 的长度 (精确到 0.1m).
二十四、当
堂练习
设计意图：考查学生应用
坡角与坡度的概念及关系
解直角三角形的能力.
师生活动：学生独立思考完成计算，选一名学生板
书，教师巡视.
三、当堂练习
1. 如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1 : ，坝
设计意图：考查学生应用
高BC = 3 m，则坡面 AB 的长度是
方位角的概念解直角三角
形的能力.
设计意图：考查综合应用
2. 如图，C 岛在 A 岛的北偏东 50° 方向，C 岛在
方位角的概念和方程思
B 岛的北偏西 40° 方向，则从 C 岛看 A，B 两岛
想，解决简单实际问题的
的视角∠ACB 等于 °．
能力.3. 如图所示，某渔船在海面上朝正东方向匀速航
设计意图：考查学生对坡
行，在 A 处观测到灯塔 M 在北偏东 60°方向上．
角与坡度的概念及关系的
航行半小时后到达 B 处，此时观测到灯塔 M 在北
掌握；锻炼应用解直角三
偏东 30°方向上，那么该船继续航行到达离灯塔距
角形的知识解决与坡度有
离最近的位置所需的时间是 .
关的问题.
设计意图：考查学生对方
位角的概念的掌握；锻炼
4. 一段路基的横断面是梯形，高为 4 米，上底的宽
应用解直角三角形的知识
是 12 米，路基左右两边坡面的坡角分别是 45° 和
解决与方位角有关的问题.
30°，求路基下底的宽 (精确到 0.01 米，
1.732 ， 1.414).
5.如图，有一个古建筑 A，它周围 800 米内有古建
筑群，乡村路要由西向东修筑，在 B 点处测得古建
筑 A 在北偏东 60° 方向上，向前直行 1200 米到
达 D 点，这时测得古建筑 A 在 D 点北偏东 30°
方向上，如果不改变修筑的方向，你认为古建筑群
会不会遭到破坏？
第3课时 利用方向角、坡度解直角三角形
1. 坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角，如图中的角 α .
2. 坡度 (或坡比)
如图所示，坡面的铅垂高度 ( h ) 和水平宽度 ( l ) 的
比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作 i， 即 i = h∶l .
板书设计
坡度通常写成 1∶m 的形式，如 i = 1∶6.
3.坡度与坡角的关系
即坡度等于坡角的正切值.
课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.将解直角三角形应用到实际生活中，有利于培养学生的空间想象能力，即要求学
生通过对实物的观察或根据文字语言中的某些条件，画出适合他们的图形．这一
方面在教学过程应由学生展开，并留给学生思考的时间，给学生充分的自主思考
教学反思
空间和时间，让学生积极主动地学习.
29．1 投影
第1 课时 平行投影与中心投影
教学内容 第1课时 平行投影与中心投影 课时 1
1.通过学习平行投影和中心投影的特征，培养学生的抽象概括能力，能够理解自
然现象背后的数学原理.
核心素养目 2.通过探索平行投影和中心投影的作图及平行投影的相关计算，发展学生的应用
标 意识和运算能力，能够建立数学与现实世界之间的逻辑联系.
3.通过运用平行投影和中心投影解决有关现实问题，感悟数学与现实世界的交流
方式，培养数学语言表达能力
1．理解平行投影和中心投影的特征；
知识目标 2．在投影面上画出平面图形的平行投影或中心投影．
教学重点 理解平行投影和中心投影的特征.
教学难点 在投影面上画出平面图形的平行投影或中心投影.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 一、创设情境 导入新知
入
情境引入
观察下列图片，你发现了什么共同点？
设计意图：通过精美的图
片和视频引入，吸引学生
的课堂注意力；让学生积
极思考并总结图片与视频
的共同点，为后面的学习
投影做铺垫.
请欣赏视频：
师生活动：学生独立思考，积极发言，教师根据学生的回答顺势引出今天的课题——投影.
二、探究新
知
二、探究新知
知识点一：投影的概念 设计意图：通过对现实生
活中问题的思考，锻炼学
观察与思考
生的抽象概括能力；回顾
你知道物体与影子之间有什么关系吗？ 投影的概念，为后面的学
习做准备.
师生活动：学生独立思考积极发言，教师总结归纳.
归纳：
一般地，用光线照射物体，在某个平面 (地面、墙
壁等) 上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做
投影线，投影所在的平面叫做投影面．
设计意图：锻炼学生的几
练习1.把下列物体与它们的投影用线连接起来： 何直观；由浅入深，激发
学习自信心.
师生活动：学生独立思考，共同作答.
设计意图：巩固学生对太
知识点二：平行投影与中心投影 阳光线是平行光线的认
识；为学习平行投影以后
观察与思考
面及解决太阳光线有关的
观察下列图片,你认为太阳光线有什么特征？ 题目做准备.师生活动：学生独立思考共同作答——太阳离我们
很遥远，其光线可以看成平行光线.
归纳：
由平行光线形成的投影叫做平行投影．
设计意图：感受平行投影
在生产实际中的作用，激
发学习兴趣；体会我国古
人的聪明智慧、激发民族
自信与爱国精神.
举例说明：
例如，物体在太阳光的照射下形成的影子(简称日
影)就是平行投影.日影的方向可以反映时间，我国古
代的计时器日晷，就是根据日影来观测时间的．
设计意图：通过解答例
题，巩固学生对正弦函数
的概念的理解与掌握.
例1 某校墙边有甲、乙两根木杆，已知乙杆高1.5m
.
(1) 某一时刻甲木杆在阳光下的影子如下图所示，
你能画出此时乙木杆的影子吗？
(2) 当乙木杆移动到什么位置时，其影子刚好不落
在墙上？
(3) 在 (2) 的情况下，如果测得甲、乙木杆的影子长
分别为 1.24 m 和 1 m，那么你能求出甲木杆的高
度吗?师生活动：学生在教师的引导下进行思考，
题 (1) 、(2) ：
提问1：甲木杆的投影线是什么？
预设：DD'.
提问2：甲木杆的投影线与乙木杆的投影线有什么
关系？
预设：因为都是太阳光线，所以平行.
题 (3) ：
设计意图：通过传统艺术
吸引学生的课堂注意力，
初步学习中心投影的概
念；锻炼学生的抽象能力
和数学语言表达能力，发
展空间观念.
提问3：图中的 △ADD' 与 △AEE' 有什么关系？
预设：因为DD'∥EE' ，所以 △ADD' ~ △AEE' .
然后独立完成作图并计算.
观察与思考
你知道皮影戏中的影像是如何形成的吗？
皮影戏是利用灯光的照射，把影子的影态反映在银
幕（投影面）上的表演艺术．
归纳
由同一点 (点光源) 发出的光线形成的投影叫做中
心投影．
设计意图：通过练习，进
一步巩固平行投影和中心
例如：物体在灯泡发出的光照射下形成影子就 投影的概念，学会区分和
是中心投影． 辨认.设计意图：通过例题，进
一步掌握中心投影的概
念；培养运用中心投影解
决几何问题的能力；锻炼
抽象能力和作图能力.
练习2.请你分别指出下面的例子属于什么投影？
设计意图：梳理平行投影
和中心投影的概念；帮助
学生整理平行投影和中心
投影区别和联系.
师生活动：学生独立思考选几名学生作答，其他同
学判断正误.
例2 确定下图中路灯灯泡所在的位置.
二十五、当
堂练习
师生活动：学生独立思考并作图计算，教师巡视，
选一名学生板书解题过程，教师总结思路.
思考：平行投影和中心投影有什么区别和联系呢?
设计意图：题1、2考查学
生对平行投影和中心投影
的概念的掌握，以及能否
进行区分.
师生活动：学生独立思考积极发言，在教师的引导
设计意图：考查学生对中
下共同完成表格（如下）.
心投影的掌握与应用；锻炼抽象能力和空间观念.
设计意图：考查学生综合
已学知识和平行投影的概
念解决实际问题的能力.
三、当堂练习
设计意图：考查学生应用
1.下列物体的影子中，不正确的是 ( ) 中心投影的概念解决实际
问题的能力，锻炼作图能
力.
2. 下面属于中心投影的是 ( )
A. 太阳光下的树影 B. 皮影戏
C. 月光下房屋的影子 D. 海上日出
3. 晚上，人在马路上走过一盏路灯的过程中，其
影子长度的变化情况是 ( )
A. 先变短后变长 B. 先变长后变短
C. 逐渐变短 D. 逐渐变长
4. 小亮在上午 8 时、9 时 30 分、10 时、12 时
四次到室外的阳光下观察广场的旗杆随太阳转动的
情况，他发现这四个时刻广场的旗杆在地面上的影
子的长度各不相同，那么影子最长的时刻为
.
5.确定图中路灯灯泡的位置，并画出小赵在灯光下
的影子．
第1课时 平行投影与中心投影
板书设计
由平行光线形成的投影叫做平行投影．
由同一点 (点光源) 发出的光线形成的投影叫做中心投影．
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结本节以自主探索、合作交流为设计主线，从皮影戏、手影、日晷等学生熟悉的生
教学反思 活实际出发，引入物体投影的相关概念，通过观察图片等活动，使学生认识中心
投影和平行投影的区别与联系，加强主动学习数学的兴趣，体现数学的应用价值.
29．1 投影
第2 课时 正投影
教学内容 第2课时 正投影 课时 1
1.通过对正投影的概念和有关作图的学习，培养学生的空间观念与几何直观.
核心素养目 2.通过探索正投影的性质与勾股定理的综合应用，发展运算能力和推理应用意
标 识，能够运用符号运算等数学方法分析解决实际问题.
3.通过运用正投影的性质解决有关现实问题，培养学生的数据意识和模型观念.
1．理解正投影的概念；
知识目标 2．归纳正投影的性质，正确画出简单平面图形的正投影．
教学重点 理解正投影的概念.
教学难点 归纳正投影的性质，正确画出简单平面图形的正投影.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 一、复习回顾 导入新知
入
复习引入
1. 说一说什么是投影、投影线、投影面.
设计意图：通过复习回
顾，进一步巩固学生对投
2. 什么是平行投影和中心投影？它们有什么区别和 影、平行投影和中心投影
联系？ 的概念，以及平行投影和
中心投影的异同；为后面
3. 做一做： 的学习投影做铺垫.
(1) 物体的影子在正北方，则太阳在物体的 ( )
A. 正北 B. 正南 C. 正西 D. 正东
(2) 太阳发出的光照在物体上得到 ，车
灯发出的光照在物体上得到 ．
师生活动：学生独立思考，选几名学生作答没其他
同学判断正误.
二、探究新知
二、探究新知
知识点一：正投影的概念及性质
观察与思考 设计意图：锻炼学生的观
察能力和概括总结能力；
下图是三角形纸板在光线照射下形成投影，其中图
发展几何直观与空间观
①与图②③的投影线有什么区别？图②③的投影线
念；进一步巩固平行投影
与投影面的位置关系又有什么区别？
与中心投影的概念、初步
学习正投影.
师生活动：学生独立思考积极发言，教师总结归纳.
归纳：
中心投影：投影线集中于一点.
斜投影：投影线互相平行，且斜着照射投影面.
正投影：投影线垂直于投影面.
设计意图：进一步理解正
投影的概念，学习正投影
与平行投影的包含关系.
分类：
设计意图：巩固学生对正投影的概念及性质特征的
掌握，锻炼作图能力和应
用能力.
合作探究
探究1. 如图，把一根直的细铁丝 (记为线段 AB)
如下放置：
(1) 铁丝平行于投影面 p；
(2) 铁丝倾斜于投影面 p；
(3) 铁丝垂直于投影面 p (铁丝与投影面 p 没有交
点).
三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？
师生活动：学生在教师的引导下，作出正投影的投
影线（投影线垂直于投影面p ），共同作答.
结论：
通过观察，我们可以发现：
(1) 当线段 AB 平行于投影面 p 时，它的正投影是
线段 AB ，线段与它的投影的大小关系为
1 1
AB____AB；
1 1
(2) 当线段 AB 倾斜于投影面 p 时，它的正投影是
线段 AB ，线段与它的投影的大小关系为
2 2
AB____AB；
2 2
(3) 当线段 AB 垂直于投影面 p 时，它的正投影是
一个 _______．
设计意图：在探究中进一
步掌握正投影的概念及性
质特征，培养自主学习能
力和几何直观；为后面学
习三视图做准备.
探究2. 如图，把一块正方形硬纸板 ABCD 如下放
置：
(1) 纸板平行于投影面 q；
(2) 纸板倾斜于投影面 q；
(3) 纸板垂直于投影面 q．
三种情形下纸板的正投影各是什么形状？
师生活动：学生独立思考并作图，教师巡视，选学生作答.
结论：
通过观察、测量可知：
(1) 当纸板 ABCD 平行于投影面 q 时，其正投影
与正方形 ABCD 的形状、大小______；
(2) 当纸板 ABCD 倾斜于投影面 q 时，其的正投
影与正方形 ABCD 的形状、大小______；
(3) 当纸板 ABCD 垂直于投影面 q 时，其正投影
成为_________．
设计意图：通过解答例
题，学习几何体的正投影
的作图方法；练习新旧知
归纳：
识，发展几何直观与空间
当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影
观念.
与这个面的形状、大小完全相同．
知识点二：画几何体的正投影
例1 画出如图摆放的正方体在投影面上的正投影．
(1) 正方体的一个面 ABCD 平行于投影面；
(2) 正方体的一个面 ABCD 倾斜于投影面，底面
ADEF 垂直于投影面，并且其对角线 AE 垂直于投
影面．
设计意图：通过练习，进
一步几何体的正投影的作
师生活动：学生在教师的引导下，结合以前学过的
图方法.
三视图进行思考并作图，教师顺势总结——物体正
投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关.
二十六、当
堂练习
练习1.投影线的方向如箭头所示，画出图中圆柱体
的正投影：设计意图：题1、2、3考
查学生对正投影的概念及
性质的掌握.
师生活动：学生独立思考选几名学生作答，其他同
学判断正误.
三、当堂练习
1. 球的正投影是 ( )
A. 圆面 B. 椭圆面 C. 点 D. 圆环
2. 木棒长为 1.2 m，则它的正投影的长一定 ( )
A. 大于 1.2 m B. 小于1.2 m 设计意图：题4、5考查学
生运用正投影的概念及性
C. 等于 1.2 m D. 小于或等于 1.2 m
质作图的能力，锻炼几何
直观与空间观念.
3. 小明在操场上练习双杠时，在练习的过程中他发
现在地上双杠的两横杠的影子 ( )
A. 相交 B. 平行 C. 垂直 D. 无法确定
4. 下图水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如
箭头所示，它的正投影图是 ( )
设计意图：考查学生对正
投影的性质的掌握，以及
运用正投影解决数学问题
的能力.
5.画出下列立体图形投影线从上方射向下方的正投
影．
6. 如图①，已知一根长 8 cm 的木棒 AB 平行于投
影面 α，投影线垂直于 α.
(1) 求影子 AB 的长度；
1 1
(2) 如图②，若将木棒绕其端点 A 逆时针旋转
30°，求旋转后木棒的影长 AB ．
2 2第2课时 正投影
板书设计 当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相
同．
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
本节课的学案设计，力求具体、生动、直观．因此，学生多以操作、观察实物模
型和图片等活动为主．比如通过观察铁丝、圆柱、圆锥等图形在不同位置时的正
教学反思 投影特征，归纳出物体正投影的一般规律，并能根据此规律画出简单平面图形的
正投影．在介绍投影概念时，借助太阳光线进行投影实例的观察，这样不仅直观
而且富有真实感，能激发学生学习兴趣.
29.2 三视图
第1 课时 三视图
教学内容 第1课时 三视图 课时 1
1.经历探索从投影的角度理解视图的概念，培养学生的几何直观与空间观念，发
展合情推理能力和创新意识.
核心素养目 2.通过学习画简单几何体的三视图，发展推理意识，通过学习数学的思维，可以
标 揭示客观事物的本质.
3.通过学习几何体的三视图的简单应用，形成数学表达和交流能力，会用数学思
维分析形成合理的判断，发展实践能力.
1．会从投影的角度理解视图的概念；
知识目标 2．会画简单几何体的三视图．
教学重点 会从投影的角度理解视图的概念.
教学难点 会画简单几何体的三视图.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 一、创设情境 导入新知
入
情境引入
设计意图：通过熟悉的诗
词和精美的图片，吸引学
生的注意力；能够从诗词
中，提炼出数学信息，培
养学生的数学眼光和数学
语言表达能力.“横看成岭侧成峰，远近高低各不同．不识庐山真
面目，只缘身在此山中．”
二、探究新 你能说明是什么原因吗？
知
师生活动：学生独立思考，积极发言，教师顺势引
出今天的学习内容——三视图.
设计意图：用精美的设计
图吸引学生的课堂注意
力；回顾小学学习的三视
图，结合新旧知识，提高
学习自信；锻炼学生的观
二、探究新知
察能力和概括总结能力.
知识点一：三视图的概念及关系
观察与思考
下图为某飞机的设计图，你能指出这些设计图是从
哪几个方向来描绘物体的吗？
设计意图：学生在小学阶
师生活动：学生独立思考积极发言，教师总结归纳
段已经学习了解三视图，
——当我们从某一方向观察一个物体时，所看到的
这里制作直述；帮助学生
图形叫做物体的一个视图.
回顾三视图的概念及性
质；进一步联系三视图与
正投影，能够从投影的角
度理解视图的概念.
概念及性质：
1. 三个投影面
我们用三个互相垂直的平面（例如：墙角处的三面
墙面）作为投影面，其中正对着我们的叫正面，正
面下方的叫水平面，右边的叫做侧面.2. 三视图
将三个投影面展开在一个平面内，得到该物体的三
视图.
设计意图：考查学生对三
视图画法的掌握；通过梳
理归纳进一步回顾三视图
的具体画法和注意事项；
提高作图能力.
三视图是主视图、俯视图、左视图的统称.它是从三
个方向分别表示物体形状的一种常用视图.
知识点二：三视图的画法
例1 画出图中基本几何体的三视图：
师生活动：学生独立完成作图，教师巡视；完成
后，学生在教师的引导下共同总结归纳.
归纳
三视图的具体画法为：
1.确定主视图的位置，画出主视图；
2.在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图长对
正； 设计意图：锻炼作图能力
3.在主视图正右方画出左视图，注意与主视图高平 和应用能力，发展空间观
齐，与俯视图宽相等； 念和几何直观.
4.为表示圆柱、圆锥等的对称轴，规定在视图中加
画点划线表示对称轴.
注意：不可见的轮廓线，用虚线画出.
设计意图：锻炼学生画几
例2 画出如图所示的支架的三视图，其中支架的两 何体的三视图的能力；掌
个台阶的高度和宽度相等． 握运用网格画正方体组拼
的几何体.
师生活动：学生独立完成作图，选一名学生板书，
教师巡视；
二十七、当
例3 画出下面简单组合体的三视图．
堂练习设计意图：考查学生对从
投影角度分析简单几何体
三视图的掌握.
设计意图：考查学生从投
影角度分析不规则几何体
师生活动：学生独立思考选几名学生作答，其他同
三视图的能力.
学判断正误.
三、当堂练习
1. 下图的几何体中，主视图、左视图、俯视图均相
设计意图：考查学生对旋
同的是 ( ) 转的概念的掌握，以及画
简单几何体三视图的能
力；考查学生的空间想象
能力.
A B C D
2．如图摆放的几何体的俯视图是 ( )
A B C D 设计意图：题4、5考查学
生从投影角度分析组合几
何体的三视图的能力；锻
3．将矩形硬纸板绕它的一条边旋转180°所形成的几
炼作图能力.
何体的主视图和俯视图不可能是 ( )
A．矩形、矩形 B．半圆、矩形
C．圆、矩形 D．矩形、半圆
4．下图中①表示的是组合在一起的模块，那么这个
模块的俯视图是 ( )
5. 画出下面几何体的三视图.第1课时 三视图
三视图的具体画法为：
1.确定主视图的位置，画出主视图；
板书设计 2.在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图长对正；
3.在主视图正右方画出左视图，注意与主视图高平齐，与俯视图宽相等；
4.为表示圆柱、圆锥等的对称轴，规定在视图中加画点划线表示对称轴.
注意：不可见的轮廓线，用虚线画出.
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
本节课力求突出具体、生动、直观，因此，学生多以亲自操作、观察实物模型和
图片等活动为主．使用多媒体教学，使学生更直观的感受知识，激发学习兴趣．
教学反思
在本次教学过程中，丰富了学生观察、操作、猜想、想象、交流等活动经验，培
养了学生的观察能力和想象能力，提升了他们的空间观念.
29.2 三视图
第2课时 由三视图确定几何体
教学内容 第2课时 由三视图确定几何体 课时 1
1.经历探索学习根据俯视图画出一个几何体的主视图和左视图，培养学生的空间
观念与几何直观，发展想象力与创新意识.
核心素养目 2.通过学习由三视图确定几何体，理解数学与现实世界之间的联系，培养推理意
标 识和推理能力.
3.通过利用三视图确定几何体解决数学问题，培养应用意识和实践能力，养成用
数学语言表达和交流的习惯.
1．会根据三视图确定简单的几何体；
知识目标 2．体会立体图形的平面视图效果，并会根据三视图还原立体图形．
教学重点 会根据三视图确定简单的几何体.
教学难点 体会立体图形的平面视图效果，并会根据三视图还原立体图形.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 一、设置问题 导入新知
入
问题引入
下面是哪个几何体的三视图？设计意图：通过问题探
究，调动学生的课堂注意
力，激发学习热情；锻炼
学生的几何直观和空间观
念，发展逆向思维.
师生活动：学生独立思考，积极发言，选一名学生
回答问题，其他同学判断.
我们知道，由几何体可以画出三视图，反过来，能
否由三视图还原几何体呢？
二、探究新
知
二、探究新知
知识点一：根据三视图确定几何体
设计意图：通过解答例
观察与思考
题，自主思考总结根据三
例1 如图，分别根据三视图 (1) (2) 想象立体图形 视图确定几何体的方法；
的形状. 锻炼学生的观察能力和空
间想象能力.
(1) 从三个方向看某立体图形，视图都是矩形，可
以想象出：整体是 ，如图①所示；
(2) 从正面、侧面看某立体图形，视图都是等腰三
角形；从上面看，视图是圆；可以想象出：整体是
，如图②所示.
师生活动：教师引导学生分析解题思路——由三视
图想象立体图形时，要先分别根据主视图、俯视图
和左视图想象立体图形的前面、上面和左侧面，然
后再综合考虑整体形状；学生独立思考、共同作答.
设计意图：考查学生对根
据三视图确定几何体的方
法的掌握，锻炼空间想象
练习1.根据下面的三视图说出立体图形的名称. 能力.设计意图：引导学生探究
师生活动：学生独立思考、共同作答.
由三视图确定立体图形的
方法思路和步骤；培养有
条理的思维模式和思维逻
辑，发展推理能力和空间
例2 根据物体的三视图描述该物体的形状.
想象能力.
师生活动：教师引导学生分析解题思路——由主视
图知，物体的正面是正五边形；由俯视图知，由上
往下看到物体有两个面的视图是矩形，它们的交线
是一条棱 (中间的实线表示)，另有两条棱 (虚线表
示) 被遮挡；由左视图知，物体左侧有两个面是矩
设计意图：考查学生是否
形，它们的交线是一条棱 (中间的实线表示)；
掌握由三视图确定立体图
形的方法思路和步骤；锻
学生尝试根据描述画出几何体，教师巡视.
炼数学思维能力.
练习2.根据下列物体的三视图，填出几何体的名
称：
(1) 如图①所示的几何体是_________；
(2) 如图②所示的几何体是_________.
师生活动：学生独立思考后，选一名学生回答问
题，并说明自己的判断依据，其他同学判断正误.
归纳
由三视图想象立体图形时，先分别根据主视图、俯
视图和左视图想象立体图形的前面、底面和左侧面 设计意图：进一步巩固由
的局部形状，然后再综合起来考虑整体形状． 三视图确定立体图形的方
注意：不可见的轮廓线，用虚线画出. 法思路和步骤；锻炼学生
根据几何体的三视图还原
几何体的能力和作图能力.
例3 请根据下面提供的三视图，画出几何图形.设计意图：锻炼学生根据
几何体的三视图还原组合
类几何体的能力和作图能
力.
师生活动：学生独立思考，积极发言，共同分析并
描述该三视图展示的是所以的几何体；学生独立完
成作图，选两名学生板书，教师巡视；
二十八、当 练习 3.请根据下面提供的三视图，画出几何图形.
堂练习
设计意图：考查学生能否
根据三视图确定简单的几
何体.
师生活动：学生在教师的引导下共同分析——该几
何体由两个部分组成上面的几何体是球体，下面的
几何体是正方体；学生独立完成作图.
设计意图：考查学生根据
三、当堂练习
几何体的三视图还原组合
类几何体的能力，锻炼空
1. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是
间想象能力.
( )
设计意图：能否根据三视A．四棱锥 B．四棱柱 图确定简单的几何体，培
养分类讨论能力和发散性
C．三棱锥 D．三棱柱
思维.
2. 下列三视图所对应的实物图是 ( )
设计意图：考查学生对由
三视图确定立体图形的方
法思路和步骤的掌握，锻
炼综合分析，合理猜想的
能力.
3. 一个物体的俯视图是圆，则该物体有可能是 设计意图：考查由三视图
________． 确定立体图形的方法思路
和步骤；锻炼学生根据几
何体的三视图还原几何体
的能力和作图能力.
4. 在一仓库里堆放着若干相同的正方体货箱，仓库
管理员将这堆货箱的三视图画了出来. 如下图所
示，则这堆正方体货箱共有 箱.
5. 根据物体的三视图描述物体的形状.
板书设计
第2课时 由三视图确定几何体无
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
本课时的设计虽然涉及知识丰富，但忽略了学生的接受能力，教学过程中需要老
教学反思 师加以引导．通过很多老师的点评，给出了很多很好的解决问题的办法，在以后
的教学中，要不断完善自己，使自己的教学水平有进一步的提高.
29.2 三视图
第3课时 由三视图求几何体的表面积或体积
教学内容 第3课时 由三视图求几何体的表面积或体积 课时 1
1.经历探索学习根据三视图求几何体的侧面积、表面积和体积，培养学生的抽象
能力与几何直观；可以从现实世界的客观现象中发现数量关系与空间形式.
核心素养目 2.通过学习解决实际生活中与面积、体积等方面有关的实际问题，培养用数学的
标 基本方法去分析、解决数学或实际问题的习惯，逐步形成理性精神.
3.通过应用三视图解决实际生活中与面积、体积等方面有关的实际问题，学习精
确地描述日常生活中的数量关系与空间形式，感悟数据的意义与价值.
1．能根据三视图求几何体的侧面积、表面积和体积等；
知识目标 2．解决实际生活中与面积、体积等方面有关的实际问题．
教学重点 会根据三视图确定简单的几何体.
教学难点 体会立体图形的平面视图效果，并会根据三视图还原立体图形.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 一、复习回顾 导入新知
入
复习引入
如图所示是一个立体图形的三视图，
设计意图：通过问题探
究，回顾由三视图确定立
体图形的方法、调动学生
的课堂注意力；联系新旧
知识、回顾立体图形展开
图的画法，为学习根据三
视图求几何体的侧面积、
表面积和体积等做准备.
(1) 请根据视图说出立体图形的名称，并画出它的
展开图.
(2) 请指出三视图、立体图形、展开图之间的对应
边.
师生活动：学生独立思考并作图，教师巡视.二、探究新
知
二、探究新知
设计意图：通过解答例
知识点一：三视图的有关计算 题，自主思考根据三视图
进行有关计算的方法；锻
合作探究
炼作图能力和应用思维，
例1 某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封 培养自主学习能力.
罐的三视图，请你按照三视图确定制作每个密封罐
所需钢板的面积 (图中尺寸单位：mm).
师生活动：教师引导学生分析解题思路，
分析：
1. 应先由三视图想象出 密封罐的立体形状 ；
2. 画出物体的 展开图 .
学生独立完成绘图.
归纳
1. 三种图形的转化：
2. 由三视图求立体图形的表面积的方法：
(1) 先根据给出的三视图得出立体图形的形状，并 设计意图：考查学生对根
确定其长、宽、高、半径或直径等相关量； 据三视图进行有关计算的
(2) 将立体图形展开成一个平面图形 (展开图)，观 方法的掌握，锻炼空间想
察它的组成部分； 象能力和运算能力.
(3) 根据已知数据，求出展开图的面积即得表面积.
练习1.如图是一个几何体的三视图．根据图示，可
计算出该几何体的侧面积为 ．
设计意图：锻炼运用根据三视图进行有关计算的能
力，提高解题技巧；培养
有条理的思维模式和思维
逻辑，发展推理能力和空
间想象能力.
师生活动：学生独立思考，选一名学生作答，其他
同学判断正误.
例2 如图是一个几何体的三视图，根据所给数据，
求该几何体的表面积和体积.
设计意图：考查学生是否
掌握根据三视图求几何体
的侧面积、表面积和体积
等的方法.
师生活动：教师引导学生分析解题思路——由三视
图可知该几何体是由圆柱、长方体组合而成. 分别
计算它们的表面积和体积，然后相加即可，注意结
合部分的面积要减掉；
学生尝试根据描述画出几何体，教师巡视.
二十九、当
堂练习
练习 2 一个机器零件的三视图如图所示(单位：
cm)，这个机器零件是一个什么样的立体图形？它的
体积是多少？
设计意图：题1、2、3考
师生活动：学生独立思考后，选一名学生回答问
查学生能否根据三视图求
题，并说明自己的判断依据，其他同学判断正误.
几何体的侧面积、表面积
和体积等.
三、当堂练习
1. 一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所
示，则其主视图的面积为 ( )A. 6 B. 8 C. 12 D. 24
设计意图：考查学生对三
种图形的转化、由三视图
求立体图形的表面积的方
法的掌握，锻炼综合分
2. 如图是一个几何体的三视图，根据图中提供的数
析，合理猜想的能力.
据(单位：cm)，可求得这个几何体的体积为
.
设计意图：考查由三视图
确定立体图形的能力和对
三种图形的转化、由三视
图求立体图形体积的方法
的掌握；锻炼空间想象力
3. 如图是某几何体的三视图及相关数据 (单位：
和计算能力.
cm)，则该几何体的侧面积为 cm2.
4. 如图是一个由若干个棱长为 1 cm 的正方体构成
的几何体的三视图．
(1) 请写出构成这个几何体的正方体的个数为 ；
(2) 计算这个几何体的表面为 ．
5. 某一立体图形的三视图如图所示，其中主视图是
半径为 1 的半圆以及高为 1 的矩形；左视图是半
径为 1 的四分之一圆以及高为 1 的矩形；俯视图
是半径为 1 的圆，求此图形的体积 (参考公式：
)．第3课时 由三视图求几何体的表面积或体积
板书设计
无
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
本节重在引导学生总结解决此类问题的方法和规律，探究其实质．在小组讨论的
过程中，学生了解了三视图中相关数据的对应关系，即“长对正，高平齐，宽相
教学反思
等”，找到了解决问题的根本，通过具体的例题，让学生进行练习，巩固学习效
果.
29.3 课题学习 制作立体模型
教学内容 29.3 课题学习 制作立体模型 课时 1
1.经历探索学习根据简单物体的三视图制作原实物图形，培养学生的抽象能力和
几何直观.逐步培养用数学眼光观察世界的意识与习惯.
核心素养目 2.通过探索学习制作立体模型，发展推理意识，经历独立的数学思维过程，理解
标 数学基本概念之间与现实世界之间的联系.的发展质疑问难的批判性思维.
3.通过学习制作立体模型，学生能够形成数学语言的表达与交流能力，理解数据
的意义与价值.
1．能根据简单物体的三视图制作原实物图形；
知识目标 2．能根据实物图制作展开图，根据展开图确定实物图．
教学重点 能根据简单物体的三视图制作原实物图形.
教学难点 能根据实物图制作展开图，根据展开图确定实物图.
教学准备 课件、硬纸板、剪刀、教授、塑料小刀、马铃薯(或胡萝卜、橡皮等)
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 一、创设情境 导入新知
入
图片引入
科学家为了研究化学物质，制作出物质分子的立体
模型.
设计意图：通过多彩精美
的图片，吸引学生的课堂
注意力；从严谨科学到创
意设计、从手工艺术到建
筑模板，让学生感受到模
型被应用于我们生活的方
方面面，在生活娱乐和生
产实际中有着不可或缺的
价值，提高学习本节课的
热情和积极性；逐渐培养
创意设计、创意摆放、创意灯饰： 模型思想和空间想象能力.心灵手巧的折纸和木雕：
各种建筑都离不开它的设计雏形——立体模型
二、探究新
知
设计意图：通过回顾根据
三视图确定立体图形的方
法，巩固平面图形与立体
图形的联系，进一步实现
它们之间的相互转化，帮
二、探究新知
助学生探究立体模型的制
作方法.
知识点：制作立体模型三十、动手
实践
师生活动：教师引导学生分析解题思路，
1. 先根据三视图确定它对应的立体图形；
2. 画出立体图形的 展开图 ； 设计意图：进一步认识平
面图形与立体图形的联
3.把展开图描在硬纸板上，应硬纸板制作立体图形.
系，培养空间想象能力；
锻炼动手实践能力，将对
数学模型的感性认识上升
为理性认识.
三、动手实践
1. 以硬纸板为主要材料，分别做出下面的两组视图
所表示的立体模型.
2. 按照下面给出的两组视图，用马铃薯（或萝卜）
做出相应的实物模型.
设计意图：锻炼动手实践
能力和空间想象力，做到
理论与实践相结合.
师生活动：学生独立思考后，共同回答这几组三视
图确定的是什么立体图形；小组讨论共同操作制作
立体图形的模型，教师巡视，从旁帮助.
3. 下面的每一组平面图形都是由四个等边三角形组
成的.(1) 其中哪些可折叠成三棱锥？把上面的图形描在
纸上， 剪下来，叠一叠，验证你的结论.
(2) 画出由上面图形能折叠成的三棱锥的三视图，
并指出三视图中是怎样体现“长对正，高平齐，宽
相等”的.
(3) 如果上图中小三角形的边长为 1，那么对应的
三棱锥的表面积是多少？
师生活动：学生独立操作、制作立体图形的模型，
教师巡视，从旁帮助；学生积极发言，回答问题
(2)，教师总结归纳；选一名学生回答问题(3)，其他
同学判断正误.
板书设计 29.3 课题学习 制作立体模型
无
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，教师总结归纳.
1. 数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数量关系和空间形式是
从现实世界中抽象出来的.很明显，关于投影和视图的知识是从实际需要 (建筑、
课后小结 制造等)中产生的，它们与实际模型联系得非常紧密.
2. 感性认识需要上升为理性认识，理论指导下的实践会更明确有效.
3. 从技能上说，认识平面图形与立体图形的联系，有 助于根据需要实现它们之
间的相互转化，即学会画立体图形的三视图和由三视图还原立体图形.从能力上
说，认识平面图形与立体图形的联系，对于培养空间想象能力是非常重要的.
三视图和平面展开图是以不同方式描绘立体图形的，它们在生产实际中有直接应
教学反思
用．了解这方面的例子，可以丰富实践知识，进一步认识三视图和平面展开图.下次购买徽信 dzzy888666
