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专题26.3 反比例函数综合
一、知识点梳理
一、知识点梳理
确定反比例函数的关系式
确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数 中，只有一个待定系数 ，因
此只需要知道一对 的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出 的值，从而确定其解析式.
用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
（1）设所求的反比例函数为： ( )；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；
（3）解方程求出待定系数 的值；
（4）把求得的 值代回所设的函数关系式 中.
二、题型总结
【题型1 反比例函数与几何综合】
【例1】．如图一次函数y＝kx+b的图像与反比例函数 的图像交于点A（2，5）和点B（n，
2）．(1)求m，n的值；
(2)连接OA，OB，求△OAB的面积．
【答案】(1)m＝10，n＝5
(2)
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）利用待定系数法求得一次函数的解析式，即可求得直线与x轴的交点，然后根据S OAB＝S OAC﹣
△ △
S BOC求得即可．
△
（1）
解：把A（2，5）代入 中，得到m＝10，
∴反比例函数的解析式为y ，
把B（n，2）代入y 中，得到n＝5；
（2）
解：如图所示：
∵一次函数y＝kx+b的图像过点A（2，5）和点B（5，2），
∴ ，解得 ，
∴一次函数为y＝﹣x+7，
令y＝0，则﹣x+7＝0，解得x＝7，
∴C（7，0），
∴S OAB＝S OAC﹣S BOC ．
△ △ △
【点睛】本题考查待定系数法确定函数关系式以及平面直角坐标系下三角形面积，掌握待定系数法以及坐
标系下面积的表示是解决问题的关键．【变式1-1】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与y轴相交于点A，与反比例函数
(k≠0)在第一象限内的图象相交于点B（m，4），过点B作 轴于点C．
(1)求k的值．
(2)求△ABC的面积．
【答案】(1)k=24
(2)24
【分析】（1）将B（m，4）代入 中，求出m得到点B的坐标，将点B的坐标代入 求出k
即可；
（2）先求出点A的坐标，得到AC的长，再根据三角形面积公式求出答案．
（1）
将B（m，4）代入 中， ，解得m=6．
将B（6，4）代入 中， ，解得k=24．
（2）
∵ ，当x=0时， ，
∴OA=4．
∵BC⊥y轴，B（6，4），
∴BC=6，OC=4．
∴AC=8．
∴ ．
【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的综合，求反比例函数解析，求直线与坐标轴的交点，求几何图形的面积，正确掌握反比例函数与一次函数的知识是解题的关键．
【变式1-2】．如图，一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于C（2，n）、D两点，与x
轴，y轴分别交于A、B（0，2）两点，如果△AOC的面积为6．
(1)求点A的坐标；
(2)求一次函数和反比例函数的解析式；
(3)如图2，连接DO并延长交反比例函数的图像于点E，连接CE，求点E的坐标和△COE的面积．
【答案】(1)A(﹣4，0)
(2) ，
(3)E（6，1），8
【分析】（1）由三角形面积求出OA=4，即可求得A（-4，0）．
（2）利用待定系数法即可求出一次函数的解析式，进而求得C点的坐标，把C点的坐标代入 ，求
出m的值，得到反比例函数的解析式；
（3）先联立两函数解析式得出D点坐标，根据中心对称求得E点的坐标，然后根据三角形的面积公式计
算△CED的面积即可．
（1）
如图1，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的面积为6，
∴ ，
∵ ，
∴OA＝4，
∴A(﹣4，0)；
（2）
如图1，把 代入 得
，
解得 ，
∴一次函数的解析式为 ，
把 代入得， ，
∴ ，
∵点C在反比例函数 的图象上，
∴m＝2×3＝6，
∴反比例函数的解析式为 ；
（3）
如图2，作 轴于F， 轴于H，根据题意，得
，
解得 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
＝
=8．
【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，函数图象上点的坐标
特征，三角形面积的计算，解题的关键是注意数形结合的思想运用．
【变式1-3】．如图， 的顶点A是一次函数 的图象与反比例函数 的图象在第
四象限的交点，AB垂直x轴于B，且 ．(1)求这两个函数的解析式；
(2)求出它们的交点A、C的坐标和 AOC的面积．
【答案】(1)反比例函数解析式为 ，一次函数解析式为
(2)A(1，-3)，C(-3，1)，
【分析】（1）由反比例函数k的几何意义即可求出k的值，从而即可得出这两个函数的解析式；
（2）联立反比例函数和一次函数解析式，再根据点A和点C所在的象限，即可求出其坐标．设直线AC与
y轴交于点D，根据一次函数解析式可求出点D坐标，再根据 求解即可．
（1）
∵点A在反比例函数图象上， 轴，且 ，
∴ ，
解得： ．
∵反比例函数图象在第二、四象限，
∴ ，
∴反比例函数解析式为 ，一次函数解析式为 ；
（2）
联立 ，
解得： ， ．
∵点A在第四象限，点C在第二象限，
∴A(1，-3)，C(-3，1)．
如图，设直线AC与y轴交于点D，对于 ，令 ，得： ，
∴D(0，-2)，
∴OD=2．
∵ ， ，
∴ ．
【点睛】本题为反比例函数与一次函数的综合．考查反比例函数k的几何意义，反比例函数图象与一次函
数图象的交点坐标等知识．利用反比例函数k的几何意义求出两个函数的表达式是解题关键．
【题型2 反比例函数与一次函数综合】
【例2】．如图，直线 与双曲线 交于A、B两点，与x轴交于点C，点A的纵
坐标6，点B的坐标为(-3，-2)．
(1)求直线和双曲线的解析式；
(2)结合图像直接写出 时 的取值范围．
【答案】(1) ，(2) 或
【分析】（1）由点B的坐标求出 ，得出双曲线的解析式为 ．求出A的坐标为(1，6)，由点A
和B的坐标以及待定系数法即可求出直线的解析式为 ；
（2）根据求 时 的取值范围，即求 的图像在 的图像下方时 的取值范围，再结合
其交点坐标即可得出答案．
（1）
∵点B(-3，-2)在双曲线 上，
，
双曲线的解析式为 ．
把 代入 得： ，
点的坐标为(1，6)．
直线 经过A、B两点，
，解得 ，
直线的解析式为直线 ；
（2）
∵求 时 的取值范围，即求 的图像在 的图像下方时的 的取值范围，
由图像可知，当 或 时， 的图像在 的图像下方，
∴当 时 的取值范围是 或 ．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式．熟练掌握待定系数法是
解决问题的关键．
【变式2-1】．如图，一次函数 与反比例函数 的图象相交于A（1，6），B（6，1）两点.(1)求一次函数 的表达式与反比例函数 的表达式；
(2)当 时，直接写出自变量x的取值范围为__
(3)求△AOB的面积；
【答案】(1) ；
(2)1＜x＜6或
(3)
【分析】（1）通过待定系数法求函数解析式．
（2）由图象中直线在曲线上方时x的取值范围求解．
（3）设一次函数与 轴的交点为 ，可求得 的坐标，利用 求解．
（1）
解：把（6，1）代入 得 ，
解得k＝6，
∴ ，
将A（1，6），B（6，1）代入 得
，解得
∴ ．
（2）
解：由图象可得当1＜x＜6时，直线在曲线上方，
当 时，也符合题意，∴当 时，自变量x的取值范围为1＜x＜6．
故答案为：1＜x＜6或
（3）
解：设一次函数与 轴的交点为 ，
对于 ，令 ，则 ，解得 ，
∴点 的坐标为(7，0)，
∴ ，
又∵A（1，6），B（6，1），
∴ ．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数交点问题，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系，掌握坐
标系内求三角形面积的方法．
【变式2-2】．如图，一次函数 的图像与反比例函数 （k为常数，且k≠0）的图像都经过点
A（m，2）、B（－2，n）,设直线AB与y轴交于点C．
(1)m=_______, n=________, k=________；
(2)连接OA、OB, 求△AOB的面积；
(3)结合图像直接写出：当__________________时，y>y．
1 2
【答案】(1) ， ，(2)
(3) 或
【分析】（1）把A（m,2）和点B（-2，n）代入 即可得到结论；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）根据图像即可得到结论．
（1）
解：把A（m,2）和点B（-2，n）代入 得， ，
∴点A（1，2），点B（-2，-1）；
把A（1，2）代入 得，k=2；
故答案为： ， ， ；
（2）
如图，
∵一次函数 的图像与y轴交于 （0，1）， ,
∴△AOB的面积= × ；
（3）
由图像知，当-2＜x＜0或x＞1时， ．
故答案为：-2＜x＜0或x＞1．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方
程思想，综合性较强．
【变式2-3】．如图，一次函数 与反比例函数 的图像交于 ， 两点．(1)求一次函数表达式和反比例函数表达式；
(2)直接写出关于x的不等式 的解集；
(3)求 的面积．
【答案】(1)一次函数解析式为 ，反比例函数解析式为：
(2)不等式 的解集为： 或
(3)
【分析】（1）根据待定系数法求得解析式即可；
（2）根据函数图象的性质，结合图象即可求得不等式的解集；
（3）首先求得C点坐标，再利用坐标即可求得 ．
（1）
解：将 代入 ，得m=3，
∴反比例函数解析式为： ，
将 代入 ，得 ，
∴B点坐标为 ，
将A、B两点坐标代入 ，得： ，
解得： ，∴一次函数解析式为 ；
（2）
由图象可知，当一次函数图象在反比例函数下方时， ，
∴不等式 的解集为： 或 ；
（3）
当y=0时， ，
解得： ，
∴C（ ，0），
∴ ，
∴ 的面积为： ．
【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的交点及待定系数法求函数解析式、三角形面积等问题，以
及与函数图象有关的不等式问题，重点在于掌握对应的基本性质，并进行准确求参．
【题型3 反比例函数与最短路径问题】
【例3】．如图，在矩形ABCO中， ，点D是边AB的中点，反比例函数 的图
象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为 ．(1)求反比例函数和直线DE的解析式．
(2)在x轴上找一点P，使 的周长最小，求出此时点P的坐标．
(3)在（2）的条件下， 的周长最小值是_________．
【答案】(1) ；
(2)
(3)
【分析】（1）由已知可得D点坐标，从而得到反比例函数解析式，进而得到E点坐标，再由待定系数法
可以确定直线DE的解析式；
（2）作点D关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点P，连接PD．此时 的周长最小．由作图写
出 的坐标，求出 的解析式，然后令y=0，即可得到P点坐标；
（3）由（2）及勾股定理即可得到 的周长最小值．
（1）
解： 点D是边AB的中点， ，
∴ ，
四边形ABCO是矩形， ，
D点的坐标为
点 在 的图象上，
，
∴反比例函数的解析式为 ，
∵E在反比例函数图象上，∴当 时， ，
∴E点的坐标为 ，
∴直线 过点 和点 ，
，
解得： ，
直线DE的解析式为 ；
（2）
解：如图，作点D关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点P，连接PD．此时 的周长最小，
D点的坐标为 ，
∴ 点的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
直线 过点 和点 ，
解得
∴直线 的解析式为 ，
∵当 时， ，
点P的坐标为 ；（3）
解：由（2）可得：
的周长最小值 ．
因此， 的周长最小值是 ．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法、利用轴
对称求最短路径的方法及勾股定理的应用是解题关键．
【变式3-1】．如图，正方形ABCD的边AB在x轴上，点D的坐标为（2，2），点M是AD的中点，反比
例函数y 的图象经过点M，交BC于点N．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若点P是x轴上的一个动点，求PM+PN的最小值．
【答案】(1)y= ；
(2)
【分析】（1）先确定点M的坐标，再把点M点的坐标代入 中，求出k得到反比例函数解析式；
（2）先画出图形，再根据两点间的距离公式求解即可．
（1）
∵点D坐标为（2，2），
∴OA=2，AD=2，
∵M是AD的中点，
∴点M的坐标是（2，1），
把点M（2，1）代入 ，得k=2×1=2，
∴反比例函数解析式为y= ；
（2）∵正方形ABCD，点D坐标为（2，2），
∴AB=BC=2，
∵点N在 上，OA=2，
∴点N的横坐标为2+2=4，代入 ，得y= ，
∴N(4， )，
作点M关于x轴的对称点M＇（2，-1），连接M＇N，则点P在M＇N与x轴的交点处时，PM＋PN的值
最小，如图，理由如下；
∵点M与点M＇（2，-1）关于x轴的对称，
∴PM＝PM＇，
根据“两点之间，线段最短”可知：当点P在M＇N与x轴的交点处时，PM＇＋PN的值最小，从而PM＋
PN的值最小，
此时，M＇N＝ ，
∴PM＋PN的最小值为 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式及最短路径问题，解题的关键是正确画出图形．
【变式3-2】．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，
点A在反比例函数 的图象上，点D的坐标为 ．
(1)求反比例函数的关系式；(2)若将菱形边OD沿x轴正方向平移，当点D落在函数 的图象上时，求线段OD扫过图形
的面积．
(3)在x轴上是否存在一点P使PA+PB有最小值，若存在，请直接写出点P坐标.
【答案】(1)反比例函数y= (x>0)；
(2)线段OD扫过的面积为 ；
(3)P点作标（ ，0）
【分析】（1）作DE⊥BO，DF⊥x轴于点F，求出A点坐标，求出表达式即可．
（2）将OD向右平移，使点D落在反比例函数y= (x>0)的图象上，求出D′点的纵坐标为3，表示出
DF、OO′再求出线段OD扫过图形的面积．
（3）作B点关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点P，此时PA+PB有最小值，求出直线 的关系式
，再求出P点坐标．
（1）
作DF⊥x轴于点F，
∵点D的坐标为(4，3)，
∴FO=4，DF=3，
∴DO=5，
∴AD=5，
∴A点坐标为：(4，8)，
∴xy=4×8=32，
∴k=32；
反比例函数y= (x>0)
（2）∵将OD向右平移，使点D落在反比例函数y= (x>0)的图象上，
∴DF=3， =3，
∴ 点的纵坐标为3，
∴3= ，x= ，
∴ = ，
∴ = −4= ，
∴平行四边形 平移的面积S= ×3= ；
（3）
作B点关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点P，此时PA+PB有最小值，
∵OB＝OD＝5
∴点B的坐标是(0，5)，
∴点 的坐标是(0，-5)，
设直线 的关系式
把A (4，8)， (0，-5)代入解析式得∶
解得：
当y=0时， ，
∴PA+PB有最小值，P点作标（ ，0 ）【点睛】本题考查了菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的面积、待定系数法求一
次函数，解题的关键是利用菱形性质找出点A、B的坐标，利用坐标求出一次函数．
【变式3-3】．已知反比例函数 和一次函数 ，其中一次函数图象过 ， 两点．
(1)求反比例函数的关系式；
(2)如图，函数 的图象分别与函数 图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使
得 周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式；
（2）作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，交 轴于点 ，进行计算即可；
（1）
解：把 代入 ，得
，解得， ，
所以反比例函数解析式是 ；
（2）
存在点P使△ABP周长最小，理由：
解 和 得，
和 ，
，
和 ，
，
作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，交 轴于点 ，当点 、 、 在一条直线上时，线段 的长
度最短，所以存在点P使△ABP周长最小，
△ABP的周长= ，
，
，
．
【点睛】本题考查函数的综合，掌握待定系数法求函数解析式，利用轴对称求出点 位置是解题关键．
【题型4 反比例函数与平行四边形综合】【例4】．如图，已知一次函数 与反比例函数 的图象交于第一象限内的点 和
，与x轴交于点C．
(1)分别求出这两个函数的表达式；
(2)①观察图象，直接写出不等式 的解集；②请连接OA、OB，并计算△AOB的面积；
(3)是否存在坐标平面内的点P，使得由点O，A，C，P组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出
点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)反比例函数的表达式是：y＝ ，一次函数表达式是：y＝﹣x+7
(2)①x＜0或1≤x≤6；
(3)存在点P的坐标为（8，6）或（﹣6，6）或（6，﹣6）使得由点O，A，C，P组成的四边形是平行四边
形
【分析】（1）直接利用待定系数法分别求出一次函数与反比例函数解析式；
（2）①利用函数图象结合其交点得出不等式kx+b≥ 的解集；②如图所示，过点A作AD⊥x轴于D，过
1
点B作BE⊥x轴于B，则 ，再根据 进行求解即可；
（3）利用平行四边形的性质结合当AP为边和AP为对角线两种情况分别得出答案即可．
（1）
解：∵点A（1，6）在反比例函数y＝ 的图象上，
∴6＝ ，
解得：k＝6，
2∴反比例函数的表达式是：y＝ ；
∵B（6，m）在反比例函数y＝ 的图象上，
∴m＝ ＝1，
∴B（6，1），
将点A（1，6），B（6，1）代入y＝kx+b，可得：
1
，
解得： ，
∴一次函数表达式是：y＝﹣x+7；
（2）
解：①∵点A（1，6），B（6，1），
∴不等式kx+b≥ 的解集是：x＜0或1≤x≤6；
1
故答案为：x＜0或1≤x≤6；
②如图所示，过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于B，
∴ ，
∵A（1，6），B（6，1），
∴OD=1，AD=6，OE=6，BE=1，
∴DE=5，
∵ ，
∴ ；（3）
解：∵C是直线AB与x轴的交点，
∴点C的坐标为（7，0），
如图3-1所示：当AP为边时，
∴AP∥OC， AP＝OC＝7，
∵A（1，6），
∴P点坐标为：（8，6）或（-6，6）；
当AP为对角线时，如图3-2所示，
∵AP与OC的中点坐标相同，
∴ ，
∴ ，∴点P的坐标为（6，-6）；
综上所述存在点P的坐标为（8，6）或（﹣6，6）或（6，﹣6）使得由点O，A，C，P组成的四边形是平
行四边形．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的综合以及待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的性质等知识，
正确数形结合分析是解题关键．
【变式4-1】．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于第二象限内的点
和 ，与x轴交于点C．
(1)分别求出这两个函数的表达式；
(2)不等式 的解集是______．
(3)在坐标平面内是否存在点P，使得由点O，B，C，P组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出
点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=x+6，y=
1 2
(2)x＜-4或-2＜x＜0
(3)（4，4）或（-8，4）或（-4，-4）【分析】（1）将点A，点B代入解析式，即可求解；
（2）结合图象可求解；
（3）分三种情况讨论，由平行四边形的性质可求解．
（1）
解：∵一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= （x＜0）的图象交于第二象限内的点A（-4，2）和B
1 1 2
（-2，m），
代入可得： ，
解得： ，
∴一次函数y=x+6，反比例函数y= ；
1 2
（2）
解：由图象可得：当x＜-4或-2＜x＜0时，kx+b≤ ，
1
故答案为：x＜-4或-2＜x＜0；
（3）
解：∵一次函数y=x+6与x轴交于点C，
1
∴点C（-6，0），
设点P（x，y），
∵点O（0，0），点B（-2，4），点C（-6，0），
∴当OB为对角线时，0+（-2）=（-6）+x，0+4=0+y，
∴x=4，y=4，
∴点P（4，4）；
当BC为对角线时，-2-6=0+x，4+0=0+y，
∴x=-8，y=4，
∴点P（-8，4）；
当CO为对角线时，-6+0=-2+x，0+0=4+y，
∴x=-4，y=-4，
∴点P（-4，-4）；综上所述：点P（4，4）或（-8，4）或（-4，-4）．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，平行四边形的性质，利
用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
【变式4-2】．如图，在 中， ， ， ．一次函数交 轴于点 ，交反
比例函数于 、 两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求 的面积；
(3)问：在直角坐标系中，是否存在一点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，
直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)一次函数解析式为 ，反比例函数解析式为
(2) 的面积为
(3)存在，点 的坐标为 ， ，
【分析】（1）作 垂直于 轴，根据等腰三角形的三线合一求出 ，再由等腰直角三角形OAB求出
点A的坐标，最后用待定系数法求出两个函数解析式即可；
（2）将三角形的面积转化为 ，再根据三角形面积公式进行计算即可；
（3）分别考虑OP，AP，BP为对角线构成的平行四边形，再求出P点坐标即可．
（1）
作 垂直于 轴，垂足为点 ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
∴
∴点
设一次函数解析式为 ，反比例函数解析式为
将点 和 代入 ，得 ， ，
∴一次函数的解析式为 ．
将点 代入 ，得 ．
∴反比例函数的解析式为 ，
即一次函数解析式为 ，反比例函数解析式为 ；
（2）
将两个函数联立得 ，整理得2 ，
解得 ， ，所以 ， ，所以点
，
即 的面积为 ；
（3）由（1），（2）可知 ， ，O(0，0)，
当OP为对角线时，点P ；
当DP为对角线时，点P ；
当AP为对角线时，点P
∴点 的坐标为 ， ， ．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，等腰三角形的判定，勾股定理，
正确的理解题意是解题的关键．
【变式4-3】．如图，一次函数 与 轴交于点A，与反比例函数 的图象相交于B、C两点，
BD⊥ 轴交 轴于点D，OA＝OD， ．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)求点C的坐标，并直接写出不等式 的解集；
(3)在所在平面内，存在点E使以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有满足条件
的点E的坐标．
【答案】(1)一次函数的解析式为： ；反比例函数的解析式为：
(2) 或
(3)（6，4）、（-6，-8）、（-2，4）【分析】（1）首先求出点 的坐标，从而得出 的长，由 ，得出 的长，从而得出点 的坐
标，从而解决问题；
（2）由（1）可联立方程组 ，解方程组得出点 的坐标，根据图象可得答案；
（3）分当 、 、 为对角线三种情形，分别通过对角互相平分进行求解．
（1）
解： 点 是一次函数 与 轴的交点，
令 ，则 ，
即
，
又 ，
，
，
．
轴，
点 的纵坐标为 ，
，
，
，
，
点 的坐标为 ，
把点 分别代入一次函数 与反比例函数 ，
可得： ， ，
， ，
一次函数的解析式为： ，反比例函数的解析式为： ；
（2）
解：由（1）可联立方程组 ，解这个方程组得： 或 ，
点 在第一象限，
故点 坐标为 ，
由图象可得当 或 时， ；
（3）
解：如图，当 为对角线时，取对角线的交点为 ，
根据对角线互相平分，
即 为 的中点，
，
，
设 ，
，
解得： ，
；
如图，当 为对角线时，取对角线的交点为 ，根据对角线互相平分，
即 为 的中点，
，
，
设 ，
，
解得： ，
；
如图，当 为对角线时，取对角线的交点为 ，
根据对角线互相平分，
即 为 的中点，
，
，
设 ，
，
解得： ，
；
符合条件的点 的坐标为： 、 、 ．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象与一次函数图象交点问题，平行四边形的
性质，函数与不等式的关系等知识，解题的关键是运用分类思想来解答．【题型5 反比例与等腰三角形综合】
【例5】．已知一次函数 与反比例函数 的图像交于A(－4，3)、B(2， )两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求 AOB的面积；
(3)点P在 轴上，当 PAO为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
【答案】(1) ，
(2)9
(3)(-8，0)或(-5，0)或(5，0)或( ，0)
【分析】（1）首先把 ， 代入 中，就可以确定m和 n的值，再把A、B两点的坐标代
入 ，可以求得一次函数与反比例函数的表达式；
（2）分别过点A，B作AD⊥ 轴于点D，BE⊥ 轴于点E，设直线AB与 轴交于点C，求出点C的坐标，
求出OC、AD、BE的值，然后利用面积的分割法求出 AOB的面积；
（3）根据AO=OP，AP=AO，AP=OP三种情况，结合△两点间的距离公式分类讨论，得出点 的坐标．
（1）
把A（-4，3）代入 ，得
∴
∴反比例函数的表达式为
把B（2， ）代入 ，得 ，
∴B（2，-6），把A（-4，3），B（2，-6）代入 ，得
， 解得
∴一次函数的表达式为 ；
（2）
如图，分别过点A，B作AD⊥ 轴于点D，BE⊥ 轴于点E，
设直线AB与 轴交于点C，
把 代入 ，
得， 解得 ，
∴C（-2，0）
∴OC=2
∵A（-4，3），B（2，-6）
∴AD=3，BE=6
∴S AOB=S AOC+S BOC= OC●AD+ OC●BE= ×2×3+ ×2×6=9
△ △ △
即 AOB的面积是9；
△
（3）
设P（x，0）
∵A（-4，3）
∴ ，
当OP=OA时，
∵ ，∴ ，
∴x=-5，或x=5，
当AP=AO时，
∵
∴ ， ，
∴x=0（舍去），或x=-8，
当PA=PO时， ，
∴8x+25=0，
∴
∴点P的坐标.为（-8，0）或（-5，0）或（5，0）或（ ，0）
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，解决问题的关键是熟练掌握一次函数性质和反比例
函数性质，两点间的距离公式，等腰三角形的性质，分类讨论．
【变式5-1】．如图，已知一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于 、 两点， 点的坐
标是 ， 点的坐标是 ．
(1)求出两个函数解析式；(2)在 轴正半轴上是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，求 点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ， ．
(2)存在，满足条件的点 的坐标为 或 ．
【分析】（1）把点 ，点 的坐标分别代入两个解析式，可求出 ， ， ， ，进而可得出结论；
（2）设 进而表示出 ， ， ，由于 为等腰三角形，故分三种情况讨论，分别建立方
程，即可得出结论．
（1）
∵反比例函数 的图像过点 ，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为 ，
∵反比例函数 的图像过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵一次函数 的图像过 ， 两点，
∴ ，
解得 ，
∴一次函数的解析式为 ；
故答案为 ，
（2）
设点 ，
∵ ， ，
∴ ，，
，
∵ 为等腰三角形，
∴①当 时， ，
∴ ，
∴ （舍）或 ，
∴ ，
②当 时， ，
∴ ，
∴ （舍），
③当 时， ，
∴ ，
∴ （舍）或 ，
∴ ，
即满足条件的点 的坐标为 或 ．
故答案为：在 轴正半轴存在点 ，使 为等腰三角形，P的坐标为 或 ．
【点睛】此题是反比例函数的综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问
题是解本题的关键．
【变式5-2】．已知，如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0），C（-1，2）是平行四边形OABC的两个
顶点，反比例函数 的图像经过点B．
(1)求出反比例函数的表达式；(2)将平行四边形OABC沿着x轴翻折，点C落在点D处，判断点D是否在反比例函数 的图像上，并
说明理由；
(3)在x轴上是否存在一点P，使 是以OC为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若
不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点D在反比例函数 的图像上，理由见解析
(3)（ ，0）或（ ，0）或P（-2，0）
【分析】（1）过C作CE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴于F，证明△CEO≌△BFA得到OE=AF，CE=BF，求出
点B坐标即可求得m值；
（2）根据翻折性质求得点D坐标，将点D坐标代入反比例函数解析式中判断即可；
（3）先求出OC，分OP=OC、CP=OC两种情况求解即可．
（1）
解：过C作CE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴于F，则∠CEO=∠BFA=90°，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC AB，OC=AB，
∴∠COE=∠BAF，
∴△CEO≌△BFA（AAS），
∴OE=AF，CE=BF，
∵A（2，0），C（-1，2），
∴AF=OE=1，BF=CE=2，OA=2，
∴OF=OA-AF=1，则点B坐标为（1，2），
将点B（1，2）代入 ，得：m=2，∴反比例函数的表达式为 ；
（2）
解：点D在反比例函数 的图像上，理由为：
根据翻折性质得点D坐标为（-1，-2），
∵当x=-1时， =-2，
∴点D在反比例函数 的图像上；
（3）
解：存在，如图，
∴ ，
当OP=OC时，OP= ，则P（ ，0）或P（ ，0），
1 2
当CP=OC时，OP=2OE=2，则点P（-2，0），
3 3
综上，满足条件的点P坐标为（ ，0）或（ ，0）或P（-2，0）．
【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合，涉及平行四边形的性质、反比例函数的性质、待定系数
法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、翻折性质、等腰三角形的性质、坐标与图形等知识，熟练掌
握相关知识的联系与运用，利用数形结合和分类讨论思想求解是解题的关键．
【变式5-3】．如图，反比例函数y= 的图像与一次函数y=mx+b的图像交于两点A(1，3)，B(n，−1)．(1)求反比例函数与一次函数的函数关系式；
(2)根据图像，直接回答：当 取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；
(3)连接AO、BO，求 ABO的面积；
(4)在反比例函数的图△像上找点P，使得点A，O，P构成等腰三角形，直接写出两个满足条件的点P的坐标．
【答案】(1)反比例函数的关系式为y= ，一次函数的关系式为y=x+2；
(2)-3＜x＜0或x＞1；
(3) ABO的面积为4；
(4)△两个满足条件的点P的坐标为（-3，-1）或（3，1）．
【分析】（1）将点A、B的坐标代入反比例函数可得k和n的值，再代入一次函数解析式中，解方程可得
答案；
（2）根据图象，当比变量取相同的值时，函数图象对应的点在上边的函数值大，据此即可确定；
（3）利用直线解析式求出点C的坐标，从而得出 ABO的面积；
（4）根据反比例函数的对称性可得答案． △
（1）
解：将点A（1，3）代入y= 得，
k=1×3=3，
∴反比例函数的关系式为y= ，
将点B（n，-1）代入y= 得，n=-3，
∴B（-3，-1），
∴ ，
解得 ，
∴一次函数的关系式为y=x+2；
（2）
解：由图象得：当-3＜x＜0或x＞1时，一次函数的值大于反比例函数的值；
（3）
解：设直线AB与x轴相交于点C，对于y=x+2，当y=0时，x=-2，
∴C（-2，0），
∴OC=2，
∴△ABO的面积为 ×2×1+ ×2×3=4；
（4）
解：∵A（1，3），B（-3，-1），
∴OA=OB，
∴点P与B重合时， AOP是等腰三角形，
∴P（-3，-1）， △
当P（3，1）时，OA=OP，符合题意，
综上：两个满足条件的点P的坐标为（-3，-1）或（3，1）．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数图象上点的坐标的特征，三角形的
面积，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握反比例函数图象的对称性是解题的关键．
三、课后练习
1．如图，直线一次函数y= x+2与双曲线反比例函数相交于点A（m,3），与x轴交于点C，求反比例函数
解析式．
【答案】
【分析】设反比例函数的解析式为 ，根据点A(m,3)是一次函数 与反比例函数 交点，即可求出点A(2,3)，再将其代入 即可求解．
【详解】设反比例函数的解析式为 ，
∵点A(m,3)是一次函数 与反比例函数 交点，
∴将点A(m,3)代入 中，有 ，
解得 ，
∴点A坐标为(2,3)，
∴将点A(2,3)代入 中，有 ，
则有 ，
即反比例函数的解析式为 ．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题以及求解反比例函数解析式的问题，求出A点坐标
是解答本题的关键．
2．在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点 ．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)请直接写出当 时，反比例函数 的函数值 的取值范围是_______．
【答案】(1)
(2)当 时， 或
【分析】（1）把点 代入一次函数 求得m的值，再把点A的坐标代入 得到k的值，即
可求得反比例函数的表达式；（2）由图象即可得到函数值 的取值范围．
（1）
解：∵一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点 ．
∴ ．
∴点A的坐标是（1，3），
把点（1，3）代入 得到，
∴ ．
∴反比例函数的表达式为 ．
（2）
由图象可知，当 时， 或 ．
故答案为： 或
【点睛】此题是反比例函数和一次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式、根据图形求函数值的
取值范围，熟练掌握函数的性质是解题的关键．
3．如图在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝x﹣2与反比例函数y 的图象交于A、B两点与x轴相交
于点C，已知点A，B的坐标分别为（3n，n）和（m，﹣3）．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)请直接写出不等式x﹣2 的解集；
(3)点P为反比例函数y 图象的任意一点，若 ，求点P的坐标．
【答案】(1) ；
(2) 或 ；
(3)点 的坐标为 或 ．【分析】（1）把点 代入直线 得到关于 的一元一次方程，解之，得到点 的坐标，把点
的坐标代入反比例函数 ，即可求得 的值，即可得到答案，
（2）把点 代入直线 得到关于 的一元一次方程，解之，得到点 的坐标，找出一次函数
图象在反比例函数图象的下方的 的取值范围，即可得到答案；
（3）把 代入一次函数解析式，解之得到点 的坐标，求出 的面积，进一步求得 的面积，
根据三角形面积公式即可求得 的纵坐标，代入反比例函数解析式，即可求得点 的坐标．
（1）
把点 代入直线 得：
，
解得： ，
点 的坐标为： ，
反比例函数 的图象过点 ，
，
即反比例函数的解析式为 ，
（2）
把点 代入直线 得， ，
解得 ，
，
观察函数图象，发现：
当 或 时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
不等式 的解集为： 或 ．
（3）
把 代入 得： ，
解得： ，
即点 的坐标为： ，
，
，，即 ，
，
当点 的纵坐标为3时，则 ，解得 ，
当点 的纵坐标为 时，则 ，解得 ，
点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数
图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题得关键．
4．如图，直线y=kx+b与双曲线y= 相交于A（1，2），B两点，与x轴相交于点C（4，0）．
(1)分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式；
(2)连接OA，OB，求 AOB的面积；
△
(3)直接写出当x＞0时，关于x的不等式kx+b＞ 的解集．
【答案】(1)y= x+ ，y= ；
(2) AOB的面积为 ；
△
(3)1 的解集是1
