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专题35 一次函数中的翻折
1．在平面直角坐标系中，已知直线y＝﹣ x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在线段OB
上，把△ABC沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，则点C的坐标是（ ）
A．（0，﹣ ） B．（0， ） C．（0，3） D．（0，4）
【答案】B
【分析】设C（0，n），过C作CD⊥AB于D，先求出A，B的坐标，分别为（4，0），（0，
3），得到AB的长，再根据折叠的性质得到AC平分∠OAB，得到CD＝CO＝n，DA＝OA＝4，则
DB＝5﹣4＝1，BC＝3﹣n，在Rt△BCD中，利用勾股定理得到n的方程，解方程求出n即可．
【详解】解：设C（0，n），过C作CD⊥AB于D，如图，
对于直线y＝﹣ x+3，
当x＝0，得y＝3；
当y＝0，x＝4，
∴A（4，0），B（0，3），即OA＝4，OB＝3，
∴AB＝5，
又∵坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，
∴AC平分∠OAB，
∴CD＝CO＝n，则BC＝3﹣n，
∴DA＝OA＝4，
∴DB＝5﹣4＝1，
在Rt△BCD中，DC2+BD2＝BC2，∴n2+12＝（3﹣n）2，解得n＝ ，
∴点C的坐标为（0， ）．
故选：B．
【点睛】本题考查了求直线与坐标轴交点的坐标的方法：分别令x=0或y=0，求对应的y或x的值；
也考查了折叠的性质和勾股定理．
2．如图，直线 分别与 轴交于点 ，点 在线段 上，线段 沿 翻折，点
落在 边上的点 处．以下结论：① ；②直线 的解析式为 ；③点 的
坐标为 ；正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【分析】先求出点 ，点 坐标，由勾股定理可求 的长，可判断①；由折叠的性质可得
， ， ，由勾股定理可求 的长，可得点 坐标，利用待
定系数法可求 解析式，可判断②；由面积公式可求 的长，代入解析式可求点 坐标，可判
断③．
【详解】解： 直线 分别与 、 轴交于点 、 ，
点 ，点 ，
， ，
，故①正确；
线段 沿 翻折，点 落在 边上的点 处，
， ， ，
，
，，
，
点 ，
设直线 解析式为： ，
，
，
直线 解析式为： ，故②正确；
如图，过点 作 于 ，
，
，
，
，
当 时， ，
，
点 ， ，故③正确；
故选：D．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，面积法，勾股
定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
3．如图，直线y x 与x，y轴分别交于A，B两点，若把△AOB沿直线AB翻折，点O落
在C处，则点C的坐标为（ ）A．（1， ） B．（ ， ）
C．（ ， ） D．（ ， ）
【答案】C
【分析】连接OC，过点C作CE⊥x轴于点E，由y=- x+
可得OA=1，OB= ，即知OA= AB，∠OBA=30°，根据把△AOB沿直线AB翻折，点O落在C处，
得△OBC是等边三角形，在Rt△COE中，即可得CE= ，OE=
，从而得到点C的坐标为（ ， ）
【详解】解：连接OC，过点C作CE⊥x轴于点E，如图：在y=- x+ ，当x=0时，y= ；当y=0时，x=1，
∴OA=1，OB= ，
∴AB= =2，
∴OA= AB，
∴∠OBA=30°，
∵把△AOB沿直线AB翻折，点O落在C处，
∴∠OBC=60°，OB=BC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，OC=OB= ，
∴∠EOC=30°，
在Rt△COE中，
CE= OC= ，OE= = ，
∴点C的坐标为（ ， ），
故选：C．
【点睛】本题考查了以直角坐标系为载体，以翻折变换为手段，解特殊直角三角形；解题的关键
是要求有较高的分析问题、解决问题的能力．以解特殊直角三角形为核心．
第II卷（非选择题）
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二、填空题(共0分)
4．直线 与 轴、 轴分别交于点 是 轴上一点，若将 沿 折叠，
点 恰好落在 轴上，则点 的坐标为___________.【答案】（0， ）或（0，- ）
【分析】设沿直线AM将△ABM折叠，点B正好落在x轴上的C点，则有AB=AC，而AB的长度根
据已知可以求出，所以C点的坐标由此求出；又由于折叠得到CM=BM，在直角△CMO中根据勾股
定理可以求出OM，也就求出M的坐标．注意分两种情况求解.
【详解】解：如图所示，当点M在y轴正半轴上时，设沿直线AM将△ABM折叠，点B正好落在x
轴上的C点，则有AB=AC，
∵直线 与 轴、 轴分别交于点A、B，
∴A（5，0），B（0，12），
又OA=5，OB=12，
∴AB=13，
∴点C的坐标为：（-8，0）．
再设M点坐标为（0，b），
则CM=BM=12-b，
∵CM2=CO2+OM2，
∴b= ，
∴M（0， ），如图所示，当点M在y轴负半轴上时，设OM=m，
由折叠知，AB'=AB=13，B'M=BM，BM=OB+OM=12+m，
∴OB'=18，B'M=12+m
根据勾股定理得， ，
∴m= ，
∴M（0，- ）
故答案为：（0， ）或（0，- ）．
【点睛】本题考查翻折变换以及一次函数图象上点的坐标特征，利用折叠知识与直线的关系以及
直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．
5．如图，直线AB与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0， ），D为线段AB上一动
点（D点不与A、B重合），沿OD折叠，点A恰好落在 ABO的边上，则D点坐标是__________．
△
【答案】（ ， ）或（ ，- ）
【分析】由点A和点B的坐标可得∠OAB=60°，∠OBA=30°；设点A关于OD的对称点为A′；根据
题意，需要分两种情况：①当A′落在边AB上时，②当A′落在边OB上时．画出图形，根据背景图形即可求解．
【详解】解：∵A（3，0），B（0，-3 ），
∴OA=3，OB=3 ，
∴AB=6，
∵∠OAB=90°，AB=2OA，
∴∠ABO=30°，∠OAB=60°，
设点A关于OD的对称点为A′．根据题意，需要分两种情况：
①当A′落在边AB上时，如图，
由折叠可知，∠OAA′=∠OA′A=60°，∠ODA=∠ODA′=90°，
∴△OAA′是等边三角形，
∴AA′=3，
∴AD= AA′= ，
过点D作DE⊥x轴于点E，
∴∠AED=90°，∠ADE=30°，
∴AE= AD= ，DE= AD= ，
∴OE=OA-AE= ，
∵点D在第四象限，
∴D（ ，- ）；
②当A′落在边OB上时，此时点A′在y轴上，如图，由折叠可知，∠AOD=∠A′OD=45°，
过点D作DE⊥x轴于点E，
∴∠DEO=∠AED=90°，∠EOD=∠EDO=45°，∠ADE=30°，
设AE=m，则OE=DE= m，
∴m+ m=3，
解得m= ，
∴ m= ，
∵点D在第四象限，
∴D（ ， ），
故答案为：（ ， ）或（ ，- ）．
【点睛】本题在一次函数背景下考查折叠问题，涉及含30°的直角三角形，等腰直角三角形的性质、
解直角三角形等知识，包括分类讨论思想等，关键是根据题意作出图形，解三角形．
6．如图，一次函数 的图像与 轴相交于点 ，与 轴相交于点 ，点D，E分别在线
段 、 上，连接 将 沿 折叠，点 的对应点 恰好在 轴上，且 平分 ，
则点 的坐标是______．【答案】
【分析】过点 作 轴于点 ， 轴于点 ， 交 于点 ，利用角平分线
的性质可得， ，利用折叠，得到 ，进而得到 ，即 点的横纵坐标相
等，设 ，代入一次函数解析式，求出 值，即可得解．
【详解】解：如图，过点 作 轴于点 ， 轴于点 ， 交 于点 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 将 沿 折叠，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即： 点的横纵坐标相等，设 ，
∵点D线段 上，
∴ ，
解得： ，∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用．熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，
以及折叠后的两个三角形全等，是解题的关键．
7．如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 和点 是 上的一点，若将 沿
折叠，点 恰好落在 轴上的点 处，则点 的坐标为______．
【答案】（0，3）
【分析】由解析式令x=0， =8，即B（0，8），令y=0时，x=6，即A（6，0），再根据
勾股定理即可得出AB的长，由折叠的性质，可求得AB′与OB′的长，BM=B′M，然后设MO=x，由
在Rt△OMB′中，OM2+OB′2=B′M2，求出M的坐标．
【详解】解：当x=0时， =8，即B（0，8），
当y=0时，x=6，即A（6，0），
∴AB= ，
由折叠的性质，得：AB=AB′=10，
∴OB′=AB′-OA=10-6=4，
设MO=x，则MB=MB′=8-x，
在Rt△OMB′中，OM2+OB′2=B′M2，
即x2+42=（8-x）2，
解得：x=3，
∴M（0，3）.故答案为：（0，3）.
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合
此函数的解析式是解答此题的关键．
三、解答题(共0分)
8．如图，已知 与x轴、y轴分别相交于点A、点B，若将 折叠，使点A与点
B重合，折痕 与x轴交于点C，与 交点D．
(1)点B的坐标是______；点A的坐标是______．
(2)求直线 的解析式；
(3)在直线 上是否存在一点P，使得 的面积与 的面积相等？若存在，求出点P的坐
标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)
(3)存在， 或
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）设 ，则 ，在 中，利用勾股定理求出，再利用待定系数法求出
直线 的解析式即可．
（3）过点O作 交直线 于M，由 ，可知 ，由
直线 的解析式为 ， ，推出直线 的解析式为 ，由，解得 ，可得 ，根据对称性可知，经过点 与直线
平行的直线与直线 的交点 ，也满足条件．
【详解】（1）令 ，则 ；令 ，则 ，
故点A的坐标为 ，点B的坐标为 ．
故答案为： ， ．
（2）设 ，
∵直线 垂直平分线段 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ．
（3）过点O作 交直线 于M，∵ ，
∴ ，
∵直线 的解析式为 ， ，
∴直线 的解析式为 ，
由 ，解得 ，
∴ ，
根据对称性可知，经过点 与直线 平行的直线与直线 的交点 ，也满足条件，已知
，
设 ，则有 ， ，
∴ ， ，
∴ ．
综上所述，满足条件的点P坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数综合题、翻折变换、线段的垂直平分线的性质、等高模型、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会添加辅助线，构造平行线解决问
题，注意一题多解．
9．如图，已知直线y＝kx＋2 与x轴、y轴分别相交于点A、点B，∠BAO＝30°，若将△AOB沿
直线CD折叠，使点A与点B重台，折痕CD与x轴交于点C，与AB交于点D．
（1）求k的值．
（2）在直线BC上是否存在一点P，使得△ABP的面积与△ABO的面积相等？若存在，求出点P
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在；点 的坐标为 或
【分析】（1）先根据一次函数解析式求出点 的坐标，然后根据 角的直角三角形的性质得出
的长度，根据勾股定理求出 的长，即得 点的坐标，将之代入函数解析式结果可得；
（2）先根据折叠的性质得出 ，然后计算出 ，分情况讨论：①当点 在点
下方时(图1)；②当点 在点 上方时（图 ），分别计算求值即可．
【详解】解：（1）把 代入 中得 ，
∴ ，
∴ ，
在 中，∠BAO＝30°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，把 代入代入 中，
得： ，
解得： ；
（2）由折叠的性质可知 ，
由（1）知 ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
设直线 解析式为 ，
把 ， 代入 中，
，解得 ，
∴直线 解析式为 ，
设 ，
∵ ,
∴ ，
当点 在点 下方时(图1)，∵ ，
∴ ，
∵
＝
＝
＝
＝ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当点 在点 上方时（图 ），
∵
＝
＝
＝ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；综上点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数的综合运用，待定系数法求一次函数解析式以及坐标与图形，轴对
称等知识点，根据题意求出各点的坐标是解题的关键，注意分类讨论．
10．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴， 轴分别交于点 ，点 ，点
在 轴的负半轴上，若将 沿直线 折叠，点 恰好落在 轴正半轴上的点 处．
（ ）直接写出结果：线段 的长__________，点 的坐标__________；
（ ）求直线 的函数表达式；
（ ）点 在直线 上，使得 ，求点 的坐标．
【答案】（ ） ， ；（ ）直线 的函数表达式为 ；（ ） 点坐标为
或 ．
【分析】（1）运用勾股定理即可求出线段 的长；根据折叠得 ，可得点 的坐标；
（2）设点 的坐标为： ，而 ，根据 ，即可求出点 的坐标，运用
待定系数法设直线 的表达式为 ，将点 、点 代入即可求出答案；
（3））设 边 上的高为 ，根据 ，求出 ，即可知道点 的纵坐标，最后
代入直线 的函数表示式中，即可求出答案．
【详解】解：（ ） ， ，
, ，
，
；由折叠得： ，
，
点 的坐标为 ；
故答案为： ， ；
（ ）设点 ，则 ，
由折叠可知， ，
在 中， ，
，
解得： ，
，
设直线 的函数表达式为 ，将 、 代入，
得 ，
解得， ， ，
直线 的函数表达式为 ．
（ ）设 边 上的高为 ，则
， ，
且 ，
，
因此点 的纵坐标为 或 ，
当 时，即 ，解得 ；
当 时，即 ，解得 ，因此，点 坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，折叠的性质，勾股定理，三角形面积公式等．
11．如图，直线 与 轴、 轴分别相交于点 ， ，设 是 上一点，若将 沿
折叠，使点 恰好落在 轴上的点 处．求：
（1）点 的坐标；
（2）直线 所对应的函数关系式．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）由已知可以求得A、B坐标，从而得到OA、OB、AB的值，然后根据对称性得到
AB'的值，进一步可得OB'，从而得到B'坐标；
（2）设OM=m，则 B'M=BM=8-m，由勾股定理可得关于m的方程，解出m后可得M坐标，由
A、M坐标根据待定系数法可以得到AM解析式．
【详解】解： ，令 ，则 ，令 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
由勾股定理得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的坐标为： ．设 ，则 ，
在 中， ，
解得： ，
∴ 的坐标为： ，
设直线 的解析式为 ，
则 解得：
故直线 的解析式为： ．
【点睛】本题考查一次函数与轴对称的综合应用，熟练掌握折叠的性质、一次函数解析式的求法
及勾股定理和方程方法的应用是解题关键．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴，y轴分别交于 ，B两点，点D在
y轴的负半轴上，若将 沿直线 折叠，则点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
（1）求 的长；
（2）求点C，D的坐标；
（3）在y轴上是否存在一点P，使得 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说
明理由．
【答案】（1） ；（2）C（16，0），D（0，-12）；（3）存在，P点的坐标为（0，16）或
（0，0）．【分析】（1）将A（6，0）代入 求得 的值，求得点B的坐标，即可求解；
（2）依据折叠的性质即可得到C（16，0），在Rt△ODC中，依据勾股定理可得m2+162=(m+8)2，
即可得到D（0，-12）；
（3）先求得S 的值，然后依据三角形的面积公式可求得BP的长，从而可得到点P的坐标．
PAB
△
【详解】（1）∵直线 经过点A（6，0），
∴ ，
∴ ，
∴直线的解析式为 ，
令 ，则 ，
∴点B的坐标为（0，8），
∵A（6，0），B（0，8），
∴AO=6，BO=8，
∴AB= ；
（2）∵将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，
∴AB=AC=10，DC=BD，
∴OC=6+10=16，即C（16，0）；
∵A（6，0），B（0，8），C（16，0），
∴OB=8，OC=16，
设OD=m，
∴BD=8+m，
∴DC=BD=8+m，
在Rt△ODC中，m2+162=(m+8)2，
解得m=12，
∴D（0，-12）；
（3）存在，
∵ ，
∴ ，∵点P在y轴上， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴P点的坐标为（0，16）或（0，0）．
【点睛】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、
待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线AB交坐标轴于点A(0，3)、B(4，0)，点C为x轴正半轴上
一点，连接AC，将△ABC沿AC所在的直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合．
（1）求直线AB的关系式；
（2）求出点C的坐标；
（3）点P为直线AB上的点，请求出点P的坐标使 ．
【答案】（1） ；（2） ， ；（3） 或
【分析】（1）利用待定系数法求直线 的解析式；
（2）先利用勾股定理计算出 ，再利用折叠的性质得到 ， ，则 ，
设 ，利用勾股定理得到在 ，解方程求出 得到 点坐标；
（3）设 ，利用三角形面积公式得到 ，然后求出 得到 点坐标．
【详解】解：（1）设直线 的解析式为 ，
把 、 代入得 ，解得 ，
直线 的解析式为 ；（2）在 中， ，
沿 所在的直线折叠，点 恰好与 轴上的点 重合，
， ，
，
设 ，则 ， ，
在 中， ，解得 ，
点坐标为 ， ；
（3）设 ，
，
，
解得 或 ，
点坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解
析式时，先设 ；将自变量 的值及与它对应的函数值 的值代入所设的解析式，得到关于
待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．也考查
了折叠的性质和一次函数图象上点的坐标特征．
14．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴、 轴分别交于点 、点 ,点 在
轴的负半轴上，若将 沿直线 折叠，点 恰好落在 轴正半轴上的点 处.
(1)求 的长;
(2)求点 和点 的坐标;(3) 轴上是否存在一点 ， 使得 ？若存在，直接写出点 的坐标:若不存在，请说
明理由.
【答案】（1）5；（2）C（8，0），D（0，-6）；（3）存在，P点的坐标为（0，36）或（0，-
28）．
【分析】（1）先求得点A和点B的坐标，则可得到OA、OB的长，然后依据勾股定理可求得AB的
长，
（2）依据翻折的性质可得到AC的长，于是可求得OC的长，从而可得到点C的坐标；设OD=x，
则CD=DB=x+4．，Rt△OCD中，依据勾股定理可求得x的值，从而可得到点D（0，-6）．
（3）先求得S 的值，然后依据三角形的面积公式可求得BP的长，从而可得到点P的坐标．
PAB
△
【详解】解：（1）∵直线 与 轴、 轴分别交于点 、点 ，
令x=0得：y=4，
∴B（0，4）．
∴OB=4
令y=0得： ，解得：x=3，
∴A（3，0）．
∴OA=3．
在Rt△OAB中，AB= =5．
（2）∵将 沿直线 折叠，点 恰好落在 轴正半轴上的点 处，
∴AC=AB=5，CD=BD，
∴OC=OA+AC=3+5=8，
∴C（8，0）．
设OD=x，则CD=DB=x+4．
在Rt△OCD中，DC2=OD2+OC2，即（x+4）2=x2+82，解得：x=6，
∴D（0，-6）．
（3）∵ ，
∴S =2× ×6×8=48．
PAB
△
∵点P在y轴上，S =48，
PAB
△∴ BP•OA=48，即 ×3BP=48，解得：BP=32，
∴P点的坐标为（0，36）或（0，-28）．
【点睛】本题主要考查一次函数的综合应用，主要应用了翻折的性质、勾股定理、待定系数法求
函数解析式、三角形的面积公式，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．
15．如图，直线：y＝﹣ x+b与x轴分别交于A（4，0）、B两点，在y轴上有一点N（0，4），
动点M从点A以每秒1个单位的速度匀速沿x轴向左移动．
（1）点B的坐标为 ；
（2）求△MNO的面积S与移动时间t之间的函数关系式；
（3）当t＝ 时，△NOM≌△AOB；
（4）若M在x轴正半轴上，且△NOM≌△AOB，G是线段ON上一点，连结MG，将△MGN沿MG
折叠，点N恰好落在x轴上的H处，求G点的坐标．
【答案】（1）（0，2）（2）S＝|8﹣2t|（3）2或6（4）（0， ﹣1）
【分析】（1）由点A的坐标利用待定系数法可求出b值，再利用一次函数图象上点的坐标特征可
求出点B的坐标；
（2）由点A、H的坐标及点M移动的速度可得出ON、OM的长度，再利用三角形的面积公式即可
找出 MNO的面积S与移动时间t之间的函数关系式；
（3）△由OA＝ON＝4、∠AOB＝∠NOM＝90°，可得出若要 NOM≌△AOB只需OM＝OB＝2，结合
OM＝|4﹣t|可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，△解之即可得出结论；
（4）设点G的坐标为（0，y），则OG＝y，由折叠的性质可找出GH、OH的长度，在Rt GOH
中，利用勾股定理可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． △
【详解】（1）∵直线y＝﹣ x+b过点A（4，0），
∴0＝﹣ ×4+b，解得：b＝2，∴直线AB的函数关系式为y＝﹣ x+2．
当x＝0时，y＝﹣ x+2＝2，
∴点B的坐标为（0，2）．
故答案为（0，2）．
（2）∵A（4，0），N（0，4），动点M从点A以每秒1个单位的速度匀速沿x轴向左移动，
∴OA＝4，ON＝4，OM＝OA﹣AM＝|4﹣t|，
∴S＝ OM•ON＝ |4﹣t|×4＝|8﹣2t|．
（3）∵OA＝ON＝4，∠AOB＝∠NOM＝90°，
∴若要 NOM≌△AOB，只需OM＝OB＝2．
∵OM＝△|4﹣t|，
∴|4﹣t|＝2，
解得：t＝2或6．
故答案为2或6．
（4）设点G的坐标为（0，y），则OG＝y．
根据折叠的性质，可知：MH＝MN＝ ＝2 ，GH＝GN＝4﹣y，
∴OH＝2 ﹣2．
在Rt GOH中，GH2＝OG2+OH2，即（4﹣y）2＝y2+（2 ﹣2）2，
△
解得：y＝ ﹣1，
∴点G的坐标为（0， ﹣1）．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面
积、折叠的性质、全等三角形的判定以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出直线AB的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式找出S关于t的函数关系式；
（3）利用全等三角形的判定定理找出关于t的含绝对值符号的一元一次方程；（4）在Rt GOH
中，利用勾股定理找出关于点G的纵坐标的一元一次方程． △
16．如图1，在平面直角坐标系 中，O为坐标原点，直线 与直线
交于点 ，与x轴分别交于点 和点C．点D为线段 上一动点，将 沿直线
翻折得到 ，线段 交x轴于点F．
（1）填空： ___________ ___________ ___________；
（2）求 的面积；
（3）当点E落在y轴上时，求点E的坐标；
（4）若 为直角三角形，求点D的坐标．
【答案】（1） ，4，8；（2）20；（3）E（0， ）；（4）D（-2，0）或（4-2 ，
0）
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）利用三角形面积公式直接计算即可；
（3）过点A作AM⊥x轴于M，AN⊥y轴于N，则AM=4，AN=2，由折叠得AB=AE，利用勾股定理
列得 ，代入计算即可得到ON的长，由此得到答案；
（4）分两种情况：①当∠EDF=90°时，过A作AG⊥x轴于G，得到AG=DG=4，从而得到答案；当
∠DFE=90°时，由折叠得AE=AB= ， ，设DF=m，则BD=8-m，利用勾
股定理得到 ，求出m，再求OD即可得到答案．【详解】解：（1）将 代入直线 中，得
-6k+3=0，
解得k= ，
∴直线AB的解析式为 ，
将点A的坐标代入，得n=1+3=4，
∴A（2,4），
将点A的坐标代入直线 中，得-4+b=4，
解得b=8，
故答案为： ，4，8；
（2）∵直线AC的解析式为：y=-2x+8，
当y=0时，x=4，
∴C（4，0），
∵ ，
∴BC=10，
∵A（2,4），
∴ 的面积= ；
（3）过点A作AM⊥x轴于M，AN⊥y轴于N，则AM=4，AN=2，
由折叠得AB=AE，
∴ ，
∴ ，
解得OE= （负值已舍去），
又E在y轴负半轴，
∴E（0， ）；（4）分两种情况：
①当∠EDF=90 时，如图，
°
由折叠得∠ADB=∠ADE= （360 -90 ）=135 ，
° ° °
∴∠ADO=135°-90°=45°，
过A作AG⊥x轴于G，
∴AG=DG=4，
∵OG=2，
∴OD=2，
∴D（-2,0）；
②当∠DFE=90°时，如图，
由折叠得AE=AB= ，BD=DE，
∴ ，
由A、B两点坐标可得：BF=2-（-6）=8，
设DF=m，则BD=8-m，∴DE=8-m，
∴ ，
解得 ，
∴OD=DF-OF=2 -2-2=2 -4，
∴D（4-2 ，0），
综上，D（-2，0）或（4-2 ，0）．
【点睛】此题考查一次函数的综合知识，待定系数法求函数解析式，折叠的性质，等腰直角三角
形的性质，勾股定理，熟记各知识点并综合运用是解题的关键．
