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专题 26.5 反比例函数章末七大题型总结（培优篇）
【人教版】
【题型1 反比例函数k的几何意义】......................................................................................................................1
【题型2 反比例函数图象上点的坐标特征的运用】.............................................................................................2
【题型3 反比例函数的图像与性质的运用】.........................................................................................................3
【题型4 反比例函数与一次函数图象的综合判断】.............................................................................................4
【题型5 反比例函数与一次函数图象的交点问题】.............................................................................................6
【题型6 反比例函数与一次函数图象的实际应用】.............................................................................................7
【题型7 反比例函数与一次函数的其他综合运用】.............................................................................................9
【题型1 反比例函数k的几何意义】
2
【例1】（2023春·湖南衡阳·九年级校考期中）如下图，过反比例函数y= （x>0）图像上的一点A作y
x
k
轴的平行线交反比例函数y= （x>0）于点B，连接OA、OB．若S =3，则k的值为（ ）
x △AOB
A．4 B．-2 C．-4 D．-1
【变式1-1】（2023春·江苏无锡·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中有一个6×2的矩形ABCD
3
网格，每个小正方形的边长都是1 个单位长度，反比例函数y=- (x<0)的图像经过格点E（小正方形
2x5
的顶点），反比例函数y= (x>0)的图像经过格点F，同时还经过矩形ABCD的边CD上的G点，连接
2x
EG,FG，则△EFG的面积为 ．
【变式1-2】（2023秋·河南开封·九年级开封市第十三中学校考期末）如图，点A是反比例函数
m n
y= (x<0)图象上一点，AC⊥x轴于点C，与反比例函数 y= (x<0)图象交于点B，AC＝3BC，连
x x
接OA，OB，若△OAB的面积为2，则m+n=（ ）
A．-4 B．-8 C．-10 D．-12
6
【变式1-3】（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）如图，A、B是函数y= 上两点，P为一动点，作
x
PB∥y轴，PA∥x轴，下列说法正确的是（ ）
①△AOP≌△BOP；②S =S ；③若OA=OB，则OP平分∠AOB；④若S =2，则S =8
△AOP △BOP △BOP △ABP
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
【题型2 反比例函数图象上点的坐标特征的运用】
【例2】（2023春·江苏常州·九年级统考期末）已知反比例函数的图象经过三个点（﹣3，﹣4）、（2m，y）、（6m，y），其中m＞0，当y﹣y＝4时，则m＝ ．
1 2 1 2
k
【变式2-1】（2023秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）已知反比例函数y= (k≠0)，在每一个象限内，y随x
x
的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（ ）
A．(2,3) B．(-2,3) C．(0,3) D．(-2,0)
【变式2-2】（2023秋·广西北海·九年级统考期中）如图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该
函数图象上的是（ ）
( 1)
A．(-1,-1) B．(1,-1) C． 2, D．(-2,1)
2
【变式2-3】（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，点A(-2，3)，B(3，2)，
k
C(-6,m)分别在三个不同的象限，若反比例函数y= (k≠0)的图象经过其中两点则m的值为（ ）
x
A．1 B．-1 C．-6 D．6
【题型3 反比例函数的图像与性质的运用】
k
【例3】（2023春·浙江温州·九年级统考期末）已知反比例函数y= (k≠0)，当-2≤x≤-1时，y的最大
x
值是4，则当x≥2时，y有（ ）
A．最小值-4 B．最小值-2 C．最大值-4 D．最大值-2
3
【变式3-1】（2023秋·河南三门峡·九年级统考期末）已知反比例函数y= ，下列结论中不正确的是
x
（ ）
A．其图象经过点(-1,-3) B．其图象分别位于第一、第三象限
C．当x>1时，0 时，x的取值范围是：______
x-1 2
【题型4 反比例函数与一次函数图象的综合判断】
【例4】（2023春·广东中山·九年级广东省中山市中港英文学校校考期中）已知一次函数y=kx+m（k，m
m
为常数，k≠0）的图像如图所示，则正比例函数y=-kx和反比例函数y= 在同一坐标系中的图像大致是
x
（ ）A． B．
C． D．
k
【变式4-1】（2023春·上海静安·九年级上海市回民中学校考期中）若反比例函数y= (x>0)，y随x增大
x
而增大，则y=kx-2的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
m
【变式4-2】（2023秋·湖南怀化·九年级统考期中）函数y= 与y=m(x-1)(m≠0)在同一平面直角坐标
x
系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．k
【变式4-3】（2023春·江苏苏州·九年级校考期中）如图所示，满足函数y=kx-k和y= (k≠0)的大致图
x
像是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
【题型5 反比例函数与一次函数图象的交点问题】
【例5】（2023春·吉林长春·九年级吉林大学附属中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数
k
y=k x+b(k ≠0)的图象与反比例函数y= 2(k ≠0)的图象交于A(m,2)、B(-2,-1)，与y轴交于点C．
1 1 x 2
(1)求k 、k 及b的值；
1 2
(2)△AOB的面积为______．
m
【变式5-1】（2023春·河南南阳·九年级统考期中）如图，A、B两点在函数y = (x>0)的图象上．
1 x(1)求m的值及直线AB的解析式y =kx+b．
2
m
(2)当kx+b≥ (x>0)时，自变量x的取值范围是______．
x
(3)如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点为格点，请直接写出图中阴影部分（不包括边
界）所含格点的个数．
1
(4)请在右图中画出函数y =mx的图象并写出当x= 时y 、y 、y 的大小关系．
3 2 1 2 3
5
【变式5-2】（2023春·江苏淮安·九年级统考期中）如图，将反比例函数y= (x>0)的图象绕坐标原点
x
1
(0，0)顺时针旋转45°，旋转后的图象与x轴相交于A点，若直线y= x与旋转后的图象相交于B，则
2
△OAB的面积为 ．
【变式5-3】（2023春·湖南株洲·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数
m
y =kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y = (m≠0)的图象相交于第一，三象限内的A(3，5)，
1 2 x
B(a，-3)，与x轴交于点C．
(1)求该反比例函数和一次函数的表达式；
(2)在y轴上找一点P使PB-PC最大，求PB-PC的最大值．【题型6 反比例函数与一次函数图象的实际应用】
【例6】（2023春·江苏宿迁·九年级统考期末）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随
上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开
始分散，学生注意力指标y随时间x分钟）变化的函数图像如图所示，当0≤x<10和10≤x<20时，图像是
线段；当20≤x≤45时，图像是反比例函数图像的一部分．
(1)求图中点A的坐标；
(2)王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综
合题讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
【变式6-1】（2023秋·吉林通化·九年级统考期末）为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏法进行消毒，
已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与药物点燃后的时间x（分）满足函数关系式y
＝2x，药物点燃后6分钟燃尽，药物燃尽后，校医每隔6分钟测一次空气中含药量，测得数据如下表：
药物点燃后的时间x（分） 6 12 18 24
空气中的含药量y（毫克/立方米） 12 6 4 3
(1)在如图所示平面直角坐标系中描出以表格中数据
为坐标的各点；
(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一个反比例函数图象上，如果在同一个反比例函数图象上，
求出这个反比例函数图象所对应的函数表达式，如果不在同一个反比例函数图象上，说明理由；
(3)研究表明：空气中每立方米的含药量不低于8毫克，且持续4分钟以上才能有效杀灭空气中的病菌，应用上述发现的规律估算此次消毒能否有效杀灭空气中的病菌？
【变式6-2】（2023秋·河北邢台·九年级校考期末）某品牌热水器中，原有水的温度为20°C，开机通电，
热水器启动开始加热（加热过程中水温y°C与开机时间x分钟满足一次函数关系），当加热到80°C时自
动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温y°C与开机时间x分钟成反比例函数关系）．当水
温降至30°C时，热水器又自动以相同的功率加热至80°C……重复上述过程，如图，根据图像提供的信息，
则
（1）当0≤x≤15时，水温y°C开机时间x分钟的函数表达式 ；
（2）当水温为30°C时，t= ；
（3）通电60分钟时，热水器中水的温度y约为 ．
【变式6-3】（2023春·江苏南京·九年级南师附中新城初中校考期末）如图①，有一块边角料ABCDE，其
中AB，BC，DE，EA是线段，曲线CD可以看成反比例函数图象的一部分．测量发现：∠A=∠E=90°，
AE=5，AB=DE=1，点C到AB，AE所在直线的距离分别为2，4．
(1)小宁把A，B，C，D，E这5个点先描到平面直角坐标系上，记点A的坐标为(-1,0)；点B的坐标为
(-1,1)．
请你在图②中补全平面直角坐标系并画出图形ABCDE；
(2)求直线BC，曲线CD的函数表达式；
(3)小宁想利用这块边角料截取一个矩形MNQP，其中M，N在AE上（点M在点N左侧），点P在线段5
BC上，点Q在曲线CD上．若矩形MNQP的面积是 ，则PM=________________．
3
【题型7 反比例函数与一次函数的其他综合运用】
k
【例7】（2023春·山东济南·九年级统考期末）如图1，点A(m,6)，B(6,1)在反比例函数y= 上，作直线
x
AB，交坐标轴于点M、N，连接OA、OB．
(1)求反比例函数的表达式和m的值；
(2)求△AOB的面积；
(3)如图2，E是线段AB上一点，作AD⊥x轴于点D，过点E作EF∥AD，交反比例函数图象于点F，若
1
EF= AD，求出点E的坐标．
3
1
【变式7-1】（2023春·黑龙江大庆·九年级统考期中）如图，点A ，A ，A …在反比例函数y= (x>0)的
1 2 3 x
图象上，点B ，B ，B ，…B 在y轴上，且∠B OA =∠B B A =∠B B A =⋅⋅⋅⋅⋅⋅，直线y=x
1 2 3 n 1 1 2 1 2 3 2 3
1
与双曲线y= 交于点A ，B A ⊥OA ，B A ⊥B A ，B A ⊥B A …，则B （n为正整数）的坐标
x 1 1 1 1 2 2 1 2 3 3 2 3 n
是 ．【变式7-2】（2023春·江苏苏州·九年级星海实验中学校考期中）【阅读理解】把一个函数图象上每个点的
纵坐标变为原来的倒数（原函数图象上纵坐标为0的点除外）、横坐标不变，可以得到另一个函数的图象，
我们称这个过程为倒数变换．
1
【知识运用】如图1，将y=x的图象经过倒数变换后可得到y= 的图象（部分）．特别地，因为y=x图
x
1
象上纵坐标为0的点是原点，所以该点不作变换，因此y= 的图象上也没有纵坐标为0的点．小明在求
x
1
y=x的图象与y= 的交点时速用了开平方的定义：¿，得x2=1，解得x=±1，则图象交点坐标为(1,1)或
x
(-1,-1)．
【拓展延伸】请根据上述阅读材料完成：
(1)请在图2的平面直角坐标系中画出y=x+1的图象和它经过倒数变换后的图象．
(2)设函数y=x+1的图象和它经过倒数变换后的图象的交点为A，B（点A在左边），直接写出其坐标．
A______，B______；
(3)设C(-1,m)，且S =4，求m．
△ABC
【变式7-3】（2023春·江苏泰州·九年级统考期末）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中
9
画出了y= (x>0)和y=-x+10的图像，两个函数图像交于A(1,9)，B(9,1)两点，在线段AB上选取
x
一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图像于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现PQ的长
度随着点P的运动而变化．为了进一步研究PQ的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题：(1)设点P的横坐标为x，PQ的长度为y，则y与x之间的函数关系式为______(1≤x≤9)；
(2)为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图像：
①列表：
3 9
x 1 2 3 4 6 9
2 2
5 15 7
y 0 m 4 n 0
2 4 2
表中m＝______，n＝______；
②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点；
③连线：请在图2中画出该函数的图像．观察函数图像，当x=______时，y的最大值为______．
18
(3)①已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数关系W =- +24，求m取
n
最大值时矩形的对角线长．
2 6
②如图3，在平面直角坐标系中，直线y=- x-2与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数y=
3 x
(x>0)上的任意一点，过点M作MC⊥x轴于点C，MD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值．
